Взаимная индуктивность круговых и квадратных контуров с параллельными осями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

aDOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-392-101-106 УДК 621.3.011.3: 629.5.06з

Г.Н. Цицикян

Филиал «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГОВЫХ И КВАДРАТНЫХ КОНТУРОВ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ

Объект и цель научной работы. Взаимная индуктивность контуров в приложении к задачам бесконтактной передачи электроэнергии.

Материалы и методы. Использованы методы теоретической электротехники.

Основные результаты. Проведен сопоставительный анализ взаимной индуктивности круговых соосных и квадратных контуров и контуров со смещенными осями.

Заключение. На основе рекомендуемых расчетных выражений получены сравнительные оценки взаимной индуктивности, в том числе между круговыми и квадратными контурами при условии равновеликости площадей. Ключевые слова: беспроводная передача электроэнергии, взаимная индуктивность круговых и квадратных контуров.

Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-392-101-106 UDC 621.3.011.3: 629.5.06

G. Tsitsikyan

SET Branch of Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

RECIPROCAL INDUCTANCE OF CIRCULAR AND SQUARE CIRCUITS WITH PARALLEL AXES

Object and purpose of research. Reciprocal inductance of circuits in terms of non-contact power transfer. Materials and methods. This study was performed as per the methods of theoretical electric engineering. Main results. This paper compares reciprocal inductances of coaxial circular and square circuits, as well as those of non-coaxial circuits.

Conclusion. Recommended calculation expressions yielded comparative estimates of reciprocal inductances, including the cases of circular and square circuits (under conditions that their areas are equivalent). Keywords: wireless power transfer, reciprocal inductance, circular and square circuits. Author declares lack of the possible conflicts of interests.

Для беспроводной передачи электроэнергии на морские объекты, когда система передачи содержит первичную передающую катушку и приемную вторичную, важнейшее значение приобретает оценка взаимной индуктивности M и качественных характеристик системы. В последнее время все большее внимание уделяется расчетной оценке индуктивных параметров в системах передачи электроэнергии

и в других технических приложениях, например ИРГО-технологиях1, в системах бесконтактной передачи энергии для периферийных устройств и терминалов [1, 2]. В настоящей статье будут даны оценки взаимной индуктивности как для катушек,

1 Технологии идентификации и отслеживания меток,

прикрепленных к объектам.

Для цитирования: Цицикян Г.Н. Взаимная индуктивность круговых и квадратных контуров с параллельными осями. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; 2(392): 101-106.

For citations: Tsitsikyan G. Reciprocal inductance of circular and square circuits with parallel axes. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; 2(392): 101-106 (in Russian).

обладающих симметрией вращения, так и для плоских квадратных катушек. В работах, связанных с определением коэффициентов взаимной индукции круговых контуров, расположенных в параллельных плоскостях, наибольшее внимание уделено соосным контурам, и соответствующие выражения представлены значительным числом видоизменений как с помощью замкнутых выражений, так и с помощью рядов [3-6]. Результаты анализа, относящегося к определению взаимной индуктивности контуров со смещенными параллельными осями, не отличаются таким многообразием и довольно ограничены, о чем будет сказано ниже.

Как известно, в основе определения взаимной индуктивности контуров содержится выражение для векторного магнитного потенциала контура [3]

A = !dL,

4п r

тивности соосных контуров с радиусами R1 и R2 при Ç2 < 1,0 можем записать

До R1R2 П cos фd ф

M =

-l-

(R12 + R22 + z2)1/2 0 (1 - Z cos ф)1/2 Ц0 RiR2 П œ 1y 3 2

12 + R22+ z2)1/2 0COS фè1 + 2ZC0S ф + 8Z C0S ф +

( Ri

15 c,3 3 35 y4 4 63 c,5 5 | +—Z cor ф +-Z cor ф +-Z cor ф +... dф. (3)

48

128

256

(1)

который в системе с симметрией вращения будет иметь одну круговую компоненту Аф:

Строгое выражение для взаимной индуктивности соосных контуров дано в Приложении.

Здесь использовано разложение в ряд (1 - x)-1/2 при x2 < 1. Интегрированием первого члена получим ноль, второго члена - (n/4)Z, третий член дает ноль, для четвертого члена

15 15Z3

— Z3 cos4 ф = —— (cos4ф + 4cos 2ф + 3), 48 48-8

A Д0i П R cos фdф

ф = 2п 0 (R 2 + р2 + z2 - 2Rp cos ф)1/2

ДоiR

cos фd ф

2п(R2 + р2 + z2)1/2 0 (

1 -

2Rp cos ф

R 2 + р2 + z2

1/2 '

(2)

Полагая теперь R = R1 и р = R2 (рис. 1) и обо-

2R1R2 z й

значая —----- через z, для взаимной индук-

R12 + R22 + z2

пятый дает ноль, для шестого имеем

63 63Z6

-Z6cos6 ф =--— (^6ф + 6cos4ф + 15cos2ф +10)

256 256-32

и т.д.

Поэтому для M можем записать

M ■

Д0 R1R2

( R12 + R22 + z 2)1/2

J

z г- R

г

J

Рис. 1. Соосные контуры с радиусами R1 и R2

в параллельных плоскостях

Fig. 1. Parallel coaxial circuits with radii R1 and R2

y y3 15-3 63-10 Z+nZ3-+nZ5

48-8

Д0 R1R2

256-32

+...

П у

хт Z

( R12 + R22 + z 2)1/2 4

л 15^2 315

1+—Z2 +—Z4+...

32 1024

Д0 n( R1R2)2

2(R12 + R22 + z 2)3/2

л 15 ^ 315 ^4

1+—Z2 +—Z4+...

32 1024

(4)

в полном соответствии с выражением, данным в [6], но с учетом разницы в обозначениях: Ль Я2 взамен а, Ь и Z взамен у.

В случае сдвинутых на расстояние х параллельных осей коэффициент взаимной индукции (рис. 2) записан в виде [6]

M

Ц0 nRi2 R22

2(R12 + R22 + z2 + x 2)3/2

i - 3 5+H z2| i-

2 32 1

2Ц ö i^ 2 o24œ 7 s —5 +—(а2 + ß2)| i—5 2 0 16 H V 4

(5)

где Z|

2R1R2

„2 n 2 2 2

R12 + R22 + z2 + x2

5 =

R12 + R22 + z2 + x2

а

2 xR

R12 + R22 + z2 + x2

ß =

2 xR2

R12 + R22 + z2 + x2

При х = 0, а = в = 5 = 0 (5) переходит в (4) по первым двум членам ряда.

Рассмотрим пример расчета по формуле (5) при следующих условиях:

я1 = Я2 = Я, z = х = 0,5Я.

Тогда х^о = 0,8, 5 = 0,1, а = в = 0,4. Результат расчета по формуле (5) после подстановки значений дает

М ■■

Ц0nRR/2 [0,85 - 0,015 + 0,2475] =

2-2,5

= ц0nR • 0,1369 = ц0R-0,430!

2

а по формуле (4) при Z

(6)

M =

где Z

ц ü nRR2 J

2(R2 + R22 j + z2)

2 = 2R1iR2 J 'iJ = R2 + r2 + z 2 R1i + R2 J + z

л 15 ^2 315

i+—Z2 +—Z4

32 J 1024 J

(7)

которые подразделены дисковые катушки.

— с -ГА

... к

z R

г

v J

Рис. 2. Круговые контуры со смещенными параллельными осями

Fig. 2. Non-coaxial parallel circular circuits

Альтернативное выражение для случая двух контуров, ось одного из которых смещена на расстояние х (рис. 2), приведено в [7] и записано в виде

m = J

п

i -

-cos Ф

.3/2

^(k )d Ф,

(8)

где

2,25

М = ц0пЯ • 0,2315 = ц0Я • 0,7273.

Вместе с тем следует отметить, что расчет по методу, изложенному в [4] для контуров со сдвинутыми осями, для рассматриваемого случая приводит к результату М @ ц0Я0,64 и разница оказывается весьма заметной. Поэтому использовать формулу (5) не рекомендуется при малых значениях z и х.

Результаты (4) можно обобщить на случай плоских дисковых катушек посредством двукратного суммирования. Так, (4) можно в этом случае записать в виде

М = Му

¿=1 У=1

Ф(1 ) = í 2 - k ö K (k ) - k E (k ) = k

4R1R2 v

1 --

K (k) - E (k )

;(9)

( R1 + R2v)2 + z2

œ

v =

2

, x X i + —- 2—cos Ф

v R22 R

1/2

2

(10)

(ii)

0

Как видим, для получения результата в этом случае необходимо однократное интегрирование по 9.

Проведем сопоставление численного результата по выражению (4) для коэффициента взаимной индукции соосных контуров с результатом, получаемым в соответствии с формулой, данной в [1, 3] для соосных контуров в виде

М = п(Я,Я2)1/2ш3п (1 + 3т2 +15т4 +...), (12) 2 1 2 I 8 64 0

W1 и W2 - число слоев, на

где m = -

[->/ъ

i +

Vi-I

k 2 • k 2

4 R1R2

( R1 + R2)2 + z2'

(13)

x

2

x

0

2

k

и

При Я2 = 0,5ЯЬ г = Я1, к2 = 0,61538 и да = 023443 по выражению (12) будем иметь М = (п/2)^Яг0,08197, а в соответствии с (4) -(л/2)цсЯг0,08182, что говорит о практическом совпадении численных оценок. Отметим, что для значений к > 0,6 рекомендуемое выражение для определения М в справочной книге [4] записано в виде

M = Д0

4R1R2

1 +

1 - к

(1 - к2)2

-+--— +.

64

ln

(1 - к2)1/2

-2 + -

-к2 (1 - к2)2

128

+...

(14)

и результат подстановки в (14) к2 = 0,61538 и (1 - к2) = 0,38462 приводит к следующей оценке для М:

М = П |0 Я10,57384(2,04759 - 2 + 0,09616 - 0,00116) = = П |0 Я1 • 0,08183.

Это практически не отличается от оценок, полученных выше. Следует только отметить, что вычисления в соответствии с формулой (14) оказываются более трудоемкими.

Рассмотрим два параллельных квадратных контура с общей осью с длинами сторон, равными I,

l

с расстоянием между центрами, равным г. Допустим, что выполняется условие пЯ2 = I2 и, соответственно, I = п1/2Я, что означает равенство охватываемых площадей для контуров радиуса Я и квадратных контуров с длиной стороны I. Будем сравнивать взаимную индуктивность по выражению (4) при Я1 = Я2 = Я и взаимную индуктивность для квадратных контуров при одних и тех же значениях г и условии I = п1/2Я.

Расчет взаимной индуктивности для квадратных контуров при наложенных условиях проведем с использованием формулы, данной в [8]. На рис. 3 изображены два параллельных квадратных контура длиной I с расстоянием по общей оси, равным г. Формула для взаимной индуктивности таких контуров записывается в виде [8]

M =

2Д0/

ln

œ 12

\ 1/2

-+ 1

ln

1 +

^ z2 2 + ~Т 12

è 1 0

х 1/2

' z2

v1 +12 0

è 1 0

\ 1/2

4+1

i2

è1 0

>1/2

z

+ —+ 1

^ z2 2 T + 2 12

è1 0

>1/2

(15)

В формуле (15) для М по сравнению с аналогичной формулой в [8] применено обозначение г вместо к и третий член дополнен показателем степени 1/2, отсутствующим в оригинале. Сопоставим численные результаты по формулам (4) и (15) при Я1 = Я2 = Я и I = п1/2Я для случаев, когда г = Я, (С = 2/3) и когда г = 0,5Я, (С = 2/2,25).

В первом случае по формулам (4) и (15) получаем

M

Д0nR

2-33/2 R

л 15 4 315 16

3, 1 +---+---

31 32 9 1024 81

= Д0 nR-0,1221,

M = д0nR - 2п 3/2 х

ln

(п1/2 + (П +1)1/2 )-

ln

1 + | 2 + -П

1/2

1 +1 П

1/2

Рис. 3. Соосные квадратные контуры с длиной стороны l в параллельных плоскостях Fig. 3. Parallel coaxial square circuits with side length l

-2| -+1 . n

1/2 1 œ 1 >1/2

+^112+è П+2

Д0nR - 0,1224.

n

z

Во втором случае по формуле (4) получаем

M = |0 nR

1

2- 2,25'

3/2

1 +

15

32 è 2,25

315

1024 è 2,25

= ц0nR • 0,2315,

а по формуле (15) M = ц 0 nR • 0,2764,

и разница становится заметнее. С другой стороны, при z = 1,5R в соответствии с (4) имеем ^nR 0,0638 против ^0nR 0,06274, и с увеличением z в соответствии с (15) различие будет все менее заметным. Отсюда вывод, что формула (15) может быть использована в определенном диапазоне изменения z и для оценки коэффициента M круговых соосных контуров при условии равновеликости охватываемых площадей. Упомянутая выше RFID-тех-нология затронута в статье [9] с выводом выражений для коэффициентов само- и взаимоиндукции компланарных симметрично расположенных рамочных антенн.

Приложение

Annex

Вывод строгой формулы для взаимной индуктивности соосных контуров в соответствии с общим выражением

lo ^ f dlj - dl2

M =

4п Ц r

(п. 1)

где г - расстояние между элементами и ё12, дан

в [10], но без учета множителя ■Ц°. С учетом мно-

4п

жителя — величину М можно записать в виде 4п

m=1° [( Ri + R2)2 +z 2 ^1/2 х

10

1+(k' )2

K (k ) - E(k )

где (k')2 = 1 - k2 = 1 -

4R^2

( Rj + R2)2 + z 2

(п. 2)

(п. 3)

K(k) и E(k) — полные эллиптические интегралы первого и второго родов.

Библиографический список

1. Lee Y. Antenna Circuit Design for RFID Applications // Microchip. 2003. AN710. P. 1-50.

2. Wireless power transmission for implantable devices using inductive component of closed Magnetic circuit / Jung K.H. [et. al] // Electronics letters. 2009. Vol. 45(1). P. 21-22.

3. Smythe W.R. Static and Dynamic electricity. Philadelphia, PA: Taylor and Francis, 1989. 623 p.

4. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивно-стей. Справочная книга. Ленинград: Энергоатом-издат, 1986. 488 с.

5. Цицикян Г.Н. О коэффициентах взаимной индукции и силах взаимодействия круговых коаксиальных контуров // Электричество. 2019. № 6. С. 59-65.

6. Raju S., Wu R., Chan M., Yue C.P. Modeling of mutual coupling between planar inductors in wireless power applications // IEEE Trans. on power electronics. 2014. Vol. 29. № 1. P. 481-490.

7. Ren Y. Magnetic force calculation between misaligned coils for a superconducting magnet // IEEE Trans. on applied superconductivity. 2016. Vol. 20. № 6. P. 2350-2353.

8. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Автономные электроэнергетические системы. Вопросы электробезопасности и электромагнитной совместимости. Санкт-Петербург: ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2017. 106 с.

9. Цицикян Г.Н., Сенченко А.И. Взаимная индуктивность двух прямоугольных компланарных контуров с симметричным внутренним расположением // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2018. № 3. С. 42-47.

10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва: Наука. ГРФМЛ, 1973. 736 с.

References

1. Y. Lee. Antenna Circuit Design for RFID Applications // Microchip. 2003. AN710. P. 1-50.

2. Wireless power transmission for implantable devices using inductive component of closed Magnetic circuit / Jung K.H. [et. al] // Electronics letters. 2009. Vol. 45(1). P. 21-22.

3. W.R. Smythe. Static and Dynamic electricity. Philadelphia, PA: Taylor and Francis, 1989. 623 p.

4. P. Kalantarov, L. Tseitlin. Calculation of inductances. Reference book. Leningrad: Energoatomizdat, 1986. 488 p. (in Russian).

5. G. Tsitsikyan. On reciprocal induction coefficients and interaction forces of circular coaxial circuits //

Elektrichestvo (Electricity). 2019. No. 6. P. 59-65 (in Russian).

6. S. Raju, R. Wu, M. Chan, C.P. Yue. Modeling of mutual coupling between planar inductors in wireless power applications // IEEE Trans. on power electronics. 2014. Vol. 29. № 1. P. 481-490.

7. Y. Ren. Magnetic force calculation between misaligned coils for a superconducting magnet // IEEE Trans. on applied superconductivity. 2016. Vol. 20. № 6. P. 2350-2353.

8. G. Tsitsikyan, M. Antipov. Autonomous electric power systems. Safety and electromagnetic compatibility. St. Petersburg, Krylov State Research Centre, 2017. 106 p. (in Russian).

9. G. Tsitsikyan, A. Senchenko. Mutual inductance of two coplanar rectangular contours with symmetrical internal arrangement // Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2018. No. 3. P. 42-47 (in Russian).

10. M. Lavrentyev, B. Shabat. Methods of complex variable theory. Moscow: Nauka, GRFML, 1973. 736 p. (in Russian).

Сведения об авторе

Цицикян Георгий Николаевич, д.т.н., профессор, начальник сектора - заместитель начальника отдела филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, 6. Тел.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: George20021940@mail.ru.

About the author

Georgy N. Tsitsikyan, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector -Deputy Head of Department, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: George20021940@mail.ru.

Поступила / Received: 13.02.20 Принята в печать / Accepted: 29.05.20 © Цицикян Г.Н., 2020