CC BY
1012. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1984. 39, № 2. 3-56.
13. Ratiu T. The motion of the free n-dimensional rigid body // Ind. Univ. Math. J. 1980. 29. 609-629.
14. Болсинов А.В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейства функций в инволюции // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. 55, № 1. 69-89.
15. Bolsinov A.V., Oshemkov A.A. Bi-hamiltonian structures and singularities of integrable systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. 14. 431-454.
16. Frahm F. Uber gewisse differentialgleichungen // Math. Ann. 1874. 8. 35-44.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 539.31
К ВОПРОСУ О ФЛАТТЕРЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПОЛОСЫ И. А. Кийко1, В. В. Показеев2
В точном решении задачи выделен новый безразмерный параметр, в зависимости от величины которого критическая скорость флаттера может изменяться от мгновенно-модульной до предельно модульной.
Ключевые слова: флаттер, вязкоупругая полоса, новый параметр, критическая скорость.
A new dimensionless parameter is selected in the exact solution of the problem. Depending on this parameter, the critical velocity of flutter can range from instantaneous modular to limit modular.
Key words: flutter, viscoelastic strip, new parameter, critical velocity.
Первые исследования флаттера вязкоупругой пластины были выполнены в работах [1-3]; в них принята постановка Мовчана [4] с заменой модуля Юнга на интегральный модуль-оператор теории вязко-упругости, использованы методы Бубнова-Галеркина и усреднения [5]. Было обнаружено, что критическая скорость потока примерно вдвое меньше, чем для соответствующей упругой пластины с мгновенным модулем Юнга, и это отношение не зависит от "вязких" свойств материала. Поскольку речь шла об асимптотической устойчивости, результат публикации [6] представлялся естественным: строгими оценками было показано, что критическая скорость, найденная по предельному модулю, обеспечивает достаточное условие устойчивых колебаний. В работе [7] предложен новый метод решения задачи о флаттере вязко-упругой пластины: в пространстве изображений Лапласа по времени находится решение соответствующей краевой задачи как аналитической функции комплексного параметра преобразования, характер особых точек (полюсов и точек ветвления) этой функции определяет асимптотику решения при t ^ ж [8]. Результаты работы [7] и последующих [9-11] состоят в следующем: точными и приближенными решениями устанавливается, что критическая скорость флаттера равна мгновенно-модульной, критическая скорость дивергенции — предельно модульной, а "вязкие" свойства материала сказываются на характере колебаний в докритической (при флаттере) области.
Разноречивость данных о критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины не находила физического объяснения, частично эта проблема разрешается в предлагаемой заметке. Приводится точное решение задачи о флаттере вязкоупругой полосы при продольном обтекании (в рамках поршневой теории), материал полосы линейный вязкоупругий с экспоненциальным ядром релаксации. Выделяется безразмерный параметр — приведенное время релаксации, — который соотносится с безразмерным периодом основного тона собственных колебаний полосы. Показано, что в зависимости от величины этого отношения критическая скорость флаттера может изменяться от мгновенно-модульной до предельно модульной.
1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elast5539@mail.ru.
2 Показеев Валерий Викто'рович — канд. физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей математики МГТУ "МАМИ", e-mail: vm@mami.ru.
1. Постановка задачи. В плоскости ху полоса занимает область \х\ < то, 0 ^ у ^ 1; с одной стороны она обтекается плоскопараллельным потоком газа с невозмущенными параметрами ро, ао (давление, скорость звука), скорость потока ио направлена вдоль оси Ох. Материал полосы линейный вязкоупругий, напряжение с деформацией связано соотношением
t
а = Е^е - А0/ r(t - т)е(т) dr^ = Е(1 - A0r*)e(í),
где Е — мгновенный модуль, Ао — параметр вязкости. Уравнение колебаний пластины имеет вид
здесь О = ЕЬ3/(12(1 — V2)); р, V — плотность и коэффициент Пуассона материала полосы соответственно; Ь — ее толщина; 7 — показатель политропы газа. На кромках у = 0, у = 1 приняты условия шарнирного опирания:
д2ш . .
У = 0, у = 1, ш = 0, 0у2=0. (2)
Примем Г*(£) = ехр(—в^), введем безразмерные координаты х/1, у/1, время в и скорость М = ио/ао, оставив за ними прежние обозначения; уравнение (1) при этом запишется в виде
а 2 „ ^ дш дw д2ш
(1 - АП)Л2<ш + а3М—+а1 — + а2^=0. (3)
Здесь обозначено
12(1 - U2)jpq13CQ _ ,
а 1 =-h3Ea0-Хо = А1хо, Хо = (31/с0,
(Е\1/2 12(1 - v2)12 2 л, 2 со = ( ■— J , а2 =-^-Хо = А2Хо,
= 12(1 = 4, 14=.-', Л = А1//9<1.
Возмущение, ограниченное на бесконечности и удовлетворяющее условиям (2), выберем в виде
t = 0, w = Ъ\ ехр(—гаж) sin тту, = 62 ехр(—гах) sin тту,
соответственно этому примем
w(x, y, t) = A(t) exp(-iax) sin ny. Подставим это выражение в (3) и перейдем к изображению Лапласа по времени, в результате получим
A(s) j2( 1 - АГ(з)) + sa1 + s2a2 - iaMa3 = B(s), (4)
где j2 = (n2 + a2)2, r(s) = 1/(1 + s), B(s) определяется начальными данными. Из (4) определим A(s) = B(s)(1 + s)/Ao(s), где
Ao(s) = A2XOs3 + (Aixo + A2x0)s2 + (A1X0 + 1 - iaMAs)s + (1 - А) - iaMAs. (5)
Здесь Ak = A'k/j2, k = 1, 2, 3.
Как видно, особые точки А($) — это только полюсы, т.е. корни уравнения До($) = 0, обозначим их вт. Если для любого т выполнено условие Ие вт < 0, то решение экспоненциально затухает (асимптотически устойчиво); если же для какого-то из корней Иевт > 0, то решение асимптотически неустойчиво; границе устойчивости и неустойчивости отвечает равенство Ие вт = 0 при условии, что остальные корни имеют отрицательные действительные части. Расчеты [7, 9] показывают, что с ростом М один из корней (пусть это будет $1) наиболее быстро движется к мнимой оси и при каком-то значении Мо становится чисто мнимым. Положим $1 = гу и подставим в (5), в результате получим систему уравнений
А2Х2у4 - (1 - А2х2)у2 - (1 - Л) = 0,
(6)
аМоАз = у(1 + А1Х0 - У2А2х2).
Если из первого (биквадратного) уравнения определен параметр у, то из второго находится Мо = Мо (а). По определению полагаем Мкр = Мо(акр), акр находится из условия шшМо(а).
а
2. Исследование системы уравнений (6). В первое (основное) уравнение (6) входит параметр у/А^Хо-, который с точностью до множителя представляет собой отношение периода основного тона собственных колебаний полосы ко времени релаксации материала; весьма "удачным" оказалось то, что квадрат этого параметра стоит в скобках рядом с единицей. Отсюда следует порядок рассмотрения.
(а) Асимптотика 1: у/А^Хо "С 1 — "большое" время релаксации. Обозначим А2Х0 = ^ тогда первое из уравнений (6) примет вид Ьу4 — у2 — (1 — X) = 0, его решением с точностью до малых высшего порядка является у2 = Ъ~1 + (1 — Л). Из второго уравнения (6) с той же точностью получим Мо = А\/{а,А^ у/А^). Это хорошо известное выражение [12] для Мо в задаче о флаттере упругой полосы с мгновенным модулем.
(б) Асимптотика 2: \[АъХ<л ^ 1 — "малое" время релаксации. В тех же обозначениях основное уравнение примет вид Ьу4 + Ьу2 - (1 - Л) = 0, его решением с точностью до слагаемых порядка Ь-1 является
у2 = —-— М---—]. Из второго уравнения (6) будем иметь
М0 = у/1-\А1/{аМ У/А*)-
Очевидно, что это — выражение Мо для упругой полосы с предельным модулем. (в) Промежуточный случай: А2Х0 = 1. Из системы (6) находим
у = (1 - А)1^ Мо = (1 - Л)1/4 (1 - \/Г^А + А^у/М)
Это значение близко к мгновенно-модульному.
Теперь становятся понятными результаты расчетов [7, 9—11]: параметры выбраны так, что реализован случай "большого" времени релаксации. Приведем цитату из [7]: "Мкр и МКрр различаются только в четвертом знаке после запятой, и эта разница убывает с ростом времени релаксации". Заметим, что случай малого времени релаксации физически трудно осуществить, а в задачах флаттера он теряет практическую значимость: в реальных процессах частота колебаний имеет порядок 102 Гц, следовательно, время релаксации настолько мало, что материал практически сразу после начала процесса колебаний становится упругим с предельным модулем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ларионов Г. С. Устойчивость колебаний вязкоупругой пластинки при больших сверхзвуковых скоростях // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Вып. 3. Ташкент, 1970. 156-163.
2. Матяш В.И. Флаттер вязкоупругой пластинки // Механ. полимеров. 1971. № 6. 1077-1083.
3. Ларионов Г.С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1974. № 4. 95-100.
4. Мовчан А.А. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе. М.: Изд-во АН СССР, 1955.
5. Ильюшин А.А., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах нелинейных интегродифференциаль-ных уравнений // Докл. АН СССР. 1969. 188, № 1. 49-52.
6. Кийко И.А. Флаттер вязкоупругой пластины // Прикл. матем. и механ. 1996. 60, вып. 1. 172-175.
7. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. 401, № 3. 342-344.
8. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975.
9. Показеев В.В. Флаттер вязкоупругой прямоугольной пластины // Изв. ТулГУ. Сер. матем., механ., информ. 2005. 11, вып. 3. 132-138.
10. Показеев В.В. Флаттер упругой и вязкоупругой консольно закрепленной полосы // Прикл. матем. и механ. 2008. 72, вып. 4. 625-632.
11. Кийко И.А., Лунев А.В. Флаттер вязкоупругой полосы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 68-69.
12. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.
Поступила в редакцию 21.03.2012
УДК 533.6.013.12
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОНСТРУКТИВНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПАРАШЮТА С ЧЕТЫРЬМЯ СТРОПАМИ
М. В. Джалалова1, С. В. Леонов2
Исследовано влияние различной конструктивной проницаемости (дополнительной перфорации) на аэродинамические характеристики, форму и устойчивость моделей квадратного парашюта с четырьмя стропами, изготовленными из ткани, коэффициент воздухопроницаемости которой равен нулю. Приведены расчетная форма купола парашюта и распределение усилий вдоль каркасных лент купола.
Ключевые слова: парашют, устойчивость, конструктивная проницаемость, метод сосредоточенных масс.
The influence of various structural permeabilities (additional perforation) on the aerodynamic characteristics, shape, and stability of square parachute models with four suspension lines is studied. The parachute is made of a fabric whose air permeability coefficient is equal to zero. The shape of the parachute canopy and the force distribution along the frame ribbons of the canopy are presented.
Key words: parachute, stability, structural permeability, lumped mass method.
Описание эксперимента. В результате экспериментальных исследований, проведенных в аэродинамической трубе А-6 Института механики МГУ, было установлено, что парашют с непроницаемым квадратным куполом при наличии четырех строп неустойчив в потоке. Для стабилизации моделей парашюта были рассмотрены различные варианты дополнительной конструктивной проницаемости (в виде круглых отверстий).
Каждая из моделей имела четыре стропы длиной 45 см, пришитые к углам квадрата (раскрой представлял собой квадрат со стороной 30 см, т.е. площадь купола в раскрое Sn = 0,09 м2). Модели парашютов отличались величиной и характером конструктивной проницаемости. Участок, в котором располагались отверстия, представлял собой круг радиуса R = 15 см, вписанный в квадрат. Этот участок условно при помощи концентрических окружностей был разделен на четыре зоны, имеющие равновеликие площади. Зона № 1 (центральная) — круг радиуса R = 7,5 см. Все остальные зоны были выполнены в виде колец, причем внутренний радиус кольца каждой из последующих зон равнялся наружному радиусу кольца предыдущей зоны (радиусы 7,5; 10,6; 13; 15 см).
Для каждого варианта парашюта измерялись нагрузки на модель в коуше при скоростях набегающего потока V = 20, 30, 40 м/с, а также проводились киносъемка и регистрация статической нагрузки, действующей на парашют. Ввиду недостаточного количества моделей парашюта из полиуретана основные исследования выполнялись с моделями из непроницаемой ткани (арт. 52188 ДС). Обнаружено, что на устойчивость купола влияет не только расположение отверстий по зонам, но и их форма; от скорости набегающего потока форма купола практически не зависит, более существенное влияние на нее оказывает значение конструктивной проницаемости Кп (отношение площади всех отверстий к площади купола). Для
1 Джалалова Маргарита Васильевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: margarita-vd@mail.ru.
2 Леонов Сергей Вячеславович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ парашютостроения, e-mail: sertak@orc.ru.
