К УСЛОВИЯМ РАЗРЕШИМОСТИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (34). 2020

УДК 517.956

К УСЛОВИЯМ РАЗРЕШИМОСТИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

В работе исследованы характеристические задачи для системы гиперболического типа с двумя независимыми переменными. С помощью метода Римана и теории интегральных уравнений получены условия однозначной разрешимости поставленных задач. Ключевые слова: гиперболическая система, метод Римана, характеристическая задача.

В области D = {x0 < x < x\, y0 < y < yi} рассматривается система

I uXy + aiux + biUy + civx + diVy + eiu + fiv = gu I Vxy + a2Ux + b2Uy + C2Vx + d2Vy + e2u + f2v = g2,

ГЛ cl д ко с t ь коэффициентов которой определяется включениями

Данная система является одним из частных случаев систем с доминирующими частными производными. Как известно [1, с. 67], для системы (1) существует единственное решение следующей задачи.

Задача 1 (вспомогательная). В области Б найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям

Е. А. Созонтова

ai, a2, Ci, C2 E C(1'0), bi, ci, a, d2 E C(0i,

ei, e2, fi, f2 E C(0'0).

(2)

u(xo,y) = Pi(y), u(x,yo)= rfi(x), v(xo,y) = ф2(у), v(x,yo) = ф2(x)•

© Созонтова E. A., 2020.

При этом предполагается, что ф1, ф2 £ С 1(Х), ■ф1, ф2 £ С 1(У) и выполняются условия согласования:

ф1(Уо) = ^1(х0), ф2(Уо) = ^2(хо).

(4)

В настоящей статье получены условия однозначной разрешимости характеристических задач с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника. Отметим, что задачи для гиперболических уравнений с доминирующей частной производной с условиями на всех характеристиках рассмотрены, например, в рабо-Тс1х 12. 31. В статье 141 подобные задачи рассмотрены для гиперболической системы с кратными доминирующими производными. Для систем уравнений подобные задачи рассматривались, например, в [5].

Задача 2 (задача с условиями на трех характеристиках). Найти в области Б регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям:

Будем исследовать разрешимость задачи 2 путем сведения ее к задаче 1. Для этого приведем формулы решения задачи 1, полученные методом Римана [1, с. 66]:

и(хо,у) = ф1 (у), и(х,уг) = Ш1(х), у(хо,у) = ф2(У), У(х,уо) = ф2(х),

(5)

где ш1 £ С 1(У1).

и(х,у) = Яп(х,уо,х,у)и(х,уо) + Яи(х,уо ,х,у)у(х,уо) + +Яп(х0, у, х, у)и(хо,у) + Яп(хо, у, х, у)ь(х0, у)--Яп(хо,уо,х,у)и(хо,уо) - Яп(хо,уо,х,у)и(хо,уо)-

X

- /[(Я11а - ЪЯи - ¿1Я21)(а,уо,х,у)и(а,уо) +

хо

+ (Я12а - ЪЯп - ^Я22)(а,уо,х,у)у(а,уо)}йа- (6)

У

- I [(Яне - а1Яц - С1Я21)(хо, в,х,у)и(хо, в) +

+ (Я12в - аЯ12 - гЛЯ22)(хо,в,х,у)у(хо,в)Щв+

X У

+ //(Япд1 + Я12§2)(а, в,х,у)йайв,

у(х,у) = Я21(х,уо,х,у)и(х,уо) + П22(х,уо,х,у)у(х,уо) + +Я21(хо,у,х,у)и(хо,у) + Я22(хо,у,х,у)у(хо,у)--Я21(хо,уо,х,у)и(хо,уо) - Я22(хо,уо,х,у)и(хо,уо)-

X

- / [(Я21а - ЬЯи - ¿2Я2\){а,уо,х,у)и(а,уо) +

хо

+ (Я22а - Ь2Ях2 - d2Я22)(а,yо,х,у)ь(а,уо)№а- (7)

У

- / [(Я21/3 - а2Яп - О2Я21)(х0, в,х,у)и(хо, в) +

Уо

+ (Я22в - а2Я12 - С2Я22)(хо,в,х,у)у(хо,в)№+

X У

+ //(Я21У1 + Я22д2)(а, в,x,y)dаdв■

хо У0

Здесь Я^ = 1,2) являются решениями интегральной системы

(1.160) из [1], которая всегда имеет единственное решение.

По данным (5) необходимо получить и(х,уо) = ф1(х). Положим в (6) у = у1, получим следующее интегральное уравнение:

Яп(х,уо,х,у1)и(х,уо) + X (Я)

+ ЛЬпЯп + dlЯ2l - Я11а)(а,уо,х,у1 )u(а,yо)dа = Б^х),

хо

Б^х) = Ш1(х) - Яи(х,уо,х,у1)ф2(х) - Я11 (хо,у1,х,у1)ф1(у1)-Я12 (хо ,у1,х, у1)ф2(у1)+Я11 (хо,уо, х, у1)ф1(уо)+Я12(хо, уо,х, у1)ф2(уо) +

X

+ /(Я12а - ЬЯ12 - dlЯ22)(а,yо,x,yl)ф2(а)dа+

хо У1

+ ¡[(Яц/з - а1Яц - С1Я21)(хо, в,х,у1)ф1(в) +

Уо

+ (Я12в - аЯ12 - С1Я22)(хо,в,х,у1)ф2 (в )¥в -

х У1

-/ 1(Яцд1 + Яl2g2)(а,в,x,yl)dаdв

хо Уо

известная функция. Так как Я11(х, уо,х, у) = 0, уравнение (8) является уравнением Вольтерра второго рода для определения и(х,уо), решение которого существует и единственно в классе непрерывных функций [6, § 28]. Следовательно, в этом случае задача 2 редуцируется к задаче 1 и справедливо утверждение

Теорема 1. Если в замыкании области Б выполняются включения (2), то существует единственное решение задачи 2.

Задача 3 (задача с условиями на всех сторонах характеристического прямоугольника). Найти в области Б регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям

и{хо,у) = Ф1 (у), и{х,у1) = Ш1(Х), ь(х,уо) = ф2(х), Ь(х1,у)= Ш2{у),

где шг е С 1(Уг), Ш2 е С1(Х).

Исследовать задачу 3, так же как и задачу 2, будем с помощью редукции к задаче 1. Для этого по данным (9) определим и(х,у0) = = ф\(х), у(х0,у) = ф2 (у) .Положим в (6) у = уь а в (7) - х = хг. Получим систему двух интегральных уравнений:

Яп(х,уо,х,у1)и(х,уо) +

х

+ /(ЬгЯц + ¿гЯ2\ - ЯПа)(а,уо,х,у1)и(а,уо)йа + +

хо

У1

+ f (aiRi2 + c\R22 - Ri2ß)(xo,ß,x,yi)v(xo,ß)dß+

У0

+Ri2(xo,yi ,x,yi)v(xo,yi) = Fi(x), R22(x0,y,xi,y)v(x0,y) +

У1

+ J(a2Ri2 + C2R22 - R22ß)(xo,ß,xi,y)v(xo,ß)dß + +

У0

x

+ f (b2Rii + d2R2i - R2ia)(a,yo,xi,y)u(a,yo)da+

(10)

x0

+R2i(xi,yo ,xi,y)u(xi,yo) = F2(y),

где Яг(х), Я2(у) - известные функции в силу условий (9). Так как Яц(х, у0, х, уг) = 0, Я22(х0,у,хг,у) = 0, то решение системы (10) (и(х,у0), у(х0,у)) существует и единственно в классе непрерывных функций [7, с. 33]. Итак, справедлива

Теорема 2. Если в замыкании области Б выполняются включения (2), то существует единственное решение задачи 3.

Список литературы

1. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Уткина Е. А. Теорема единственности решения одной задачи Дирихле // Изв. вузов. Математика. 2011. № 5. С. 62-67.

3. Уткина Е. А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 4- С. 400^404-

4. Миронова Л. Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными // Вестн. Сам,, гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2006. № 43■ С. 31 37.

5. Созонтова Е. А. О характеристических задачах для одной системы гиперболического типа в трехмерном пространстве / / Вестник СамЕУ. Естественнонаучная серия. 2013. № 6 (107). С. 74 846. МюнтцГ. Интегральные уравнения. Л.; М.: ГТТИ, 1934. Т. 1.

330 с.

7. Миронова Л. Б. Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Ка-ЗсШЬ! Казанск. ун-т, 2005. 140 с.

Summary

Sozontova Е. A. On the solvability conditions of characteristic problems for a single hyperbolic system

In this paper, characteristic problems for a hyperbolic system with two independent variables are investigated. Using the Eiemann method and the theory of integral equations, the conditions for unambiguous solvability of the problems are obtained.

Keywords: hyperbolic system, Eiemann method, characteristic problem.

References

1. Bicadze A. V. Nekotorye klassy uravnenij v chastnyh proizvodnyh (Some classes of partial differential equations), Moscow: Nauka, 1981, 448 p.

2. Utkina Е. A. Teorema edinstvennosti resheniya odnoj zadachi Dirihle (A uniqueness theorem for solution of one Dirichlet problem), Izvestiya vuzov. Matematika - Russian Mathematics, 2011, no. 5, pp. 62-67.

3. Utkina E. A. Zadacha Dirihle dlya odnogo uravneniya chetvertogo poryadka (Dirichlet problem for a fourth-order equation), Differen-cial'nye uravneniya - Differential equations, 2011, vol. 47, no. 4, pp. 400-404.

4. Mironova L. В. О harakteristicheskih zadachah dlya odnoj sistemy s dvukratnymi starshimi chastnymi proizvodnymi (On characteristic problems for single system with two-fold higher partial derivatives), Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki, Samara state technical University Review. Series: Physical and mathematical Sciences, 2006, no. 43, pp. 31-37.

5. Sozontova E. А. О harakteristicheskih zadachah dlya odnoj sistemy giperbolicheskogo tipa v trekhmernom prostranstve (On characteristic problems for single hyperbolic system in three-dimensional space) Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaya seriya, Samara State University Review. Natural science series, 2013, no. 6, pp. 74-84.

6. Myuntc G. IntegraPnye uravneniya (Integral equations), vol. 1, Liningrad-Moscow: STTP, 1934, 330 p.

7. Mironova L. B. Linejnye sistemy uravnenij s kratnymi starshimi chastnymi proizvodnymi (Linear systems of equations with multiple higher partial derivatives), Candidate's thesis, Kazan University, 2005, 140 p.

Для цитирования: Созонтова E. А. К условиям разрешимости характеристических задач для одной системы гиперболического типа // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 1 (34). С. 22-28.

For citation: Sozontova Е. A. On the solvability conditions of characteristic problems for a single hyperbolic system, Bulletin of Syktyvkar

University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2020, 1 (34), pp. 22-28.

Елабужский институт ФГАОУ ВО КФУ Поступила 05.02.2020