ОБ УСЛОВИЯХ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (34). 2020

УДК 517.968

ОБ УСЛОВИЯХ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ЧАСТНЫМИ

ИНТЕГРАЛАМИ

Е. А. Созонтова

В работе получены условия однозначной разрешимости системы уравнений Вольтерра с частными интегралами в п-мерном пространстве.

Ключевые слова: система с частными интегралами, условие разрешимости, дифференциальное уравнение.

В области П = {х\ < х\ < х\, х2 < х2 < х2,...,хП < хп < х^} рассматривается система уравнений с частными интегралами (термин встречается, например, в [1]):

п %к п _

Фз =Т,(азк^ (Е ЬНфг)Мк) + !з, (3 = 1,п), (1)

к=\ хк г=\

где фз = фз (х\,..., хп) неизвестные функции, азк, Ькг, ¡з - переменные коэффициенты и свободный член, зависящие от (х\,..., хп). Предпола-коэффициенты данной системы непрерывны в п и выпол~ нено условие

Д(х\,х2,... ,хп) = det \\aik(х\,х2,... ,хп= 0. (2)

Уравнения с частными интегралами рассматривались, например, в [2]. Система (1) при п = 2 и п = 3 рассматривалась соответственно в [3; 4]. В частности, в обозначенных работах получены условия разре-

п = 2 п = 3

© Созонтова Е. А., 2020.

Целью данной работы является обобщение применяемого в этих работах метода исследования систем вида (1) для произвольного п.

Обозначим входящие в (1) интегралы по хк через Мк соответственно (к = 1~п):

Хк п

Мк = /(£ Ъкгфг)сИк, (к =1,п). (3)

к

Тогда, учитывая (2) и известные свойства определителей, найдем

Мк

(-1)к+1ф1 А

«21 «31

«п1

+ ... +

( 1)к+2ф2 А

(-1)к+пФ

А

«11

«31

«п1

«11 «21

«п-1,1

«2,к-1 «2,к+1 . . . «2п «3,к-1 «3,к+1 . . . «3п

« п,к - 1 « п,к +1

«1,к-1 «1,к+1 . . . «1п «3,к-1 «3,к+1 . . . «3п

+

«п,к-1 «п,к+1 . . . «пп

«1,к-1 «1,к+1 . . . «2,к-1 «2,к+1 . . .

+

«1п «2п

«п-1,к-1 «п-1,к+1 . . . «п— 1 ,п

А

«11 . . . «1,к— 1 /1 «1,к+1 «21 . . . «2,к—1 /2 «2,к+1

«п1 . . . «п,к—1 /п «п,к+1

«1п «2п

или кратко

Мк = Е((-1)к+гА*кФг)А—1 - АкА-1, (к = 1,п),

г=1

(4)

где А^ получается из А путем вычеркивания строки с номером г и к Ак А к

столбцом (/1} /2,..., /п).

Далее введем новые функции ик по формулам

«

пп

1

«

пп

п _

Е(-1)к+гАгкф = ик, (к = 1,п)

г=1

и будем рассматривать (5) как систему линейных уравнений для определения ф\, ф2,..., фп. Пусть определитель этой системы А* удовлетво-

ряет условию

А*

А\\ А2\ А\2 А22

А\п А2п . . .

Тогда по формулам Крамера получаем

Ап\ Ап2

А пп

= 0.

(6)

фк

(-1)к+Ч А*

А\2 А\з

Ак-\,2 Ак+\,2 Ак-\,3 Ак+\,3

А

\п

Ак — \ ,п Ак+\ ,п

. Ап2

. Ап3

. А пп

+ . . . +

(-1)

к+п

Пп

А*

А\\ А\2

Ак—\,\ Ак

к- \,2

А А

к+\,\ к+\,2

+

Ап\ Ап2

А\,п—\ . . . Ак—\,п—\ Ак+\,п—\ . . . Ап,п— \

или кратко

фк = Е АгкЩ, (к = 1,п),

г=\

(7)

( \}А» Ак, А*к получается из А* путем вычеркивания строки

где Агк

с номером I и столбца с номером к.

С другой стороны, подставляя (10.5) в (10.4), получим

мк = А - Ат, (к = 1п).

Подставим теперь значения из (7) в левые части (8)

(10.8)

Хк п

!(Е ЬкгЕ АзгЩ )&к = А - Ак, (к = 1,П)

х° г=\ з=\

хк

В результате получим систему

дХк = Е ВзгЩ + Гк, (к = 1,п)

з=\

(9)

t п

£ bkiAji, если j = к,

_ t i=1

ji

Е bkiAji + (ln А)Хк , если j = к,

i=1

Fk = (Ak А"1)хк А.

Хк=Хк

Так как из обозначений Mk следуют тождества Mk\Хк=Хк = 0 (к = 1, и),

то из (8) следуют граничные значения:

ик\хк=х0к = дк(х1,...,Хк-1,Хк+1,...,Хи), (к = 1,п). (10)

Таким образом, система (1) оказывается редуцированной к задаче (9) - (Ю). Известно [5], что указанная задача является однозначно разрешимой.

Итак, справедливо утверждение

Теорема 1. Если в замыкании области Б выполняются условия (2), (6), то систем,а (1) однозначно разрешима.

Список литературы

1. Appel J. М., Kalitvin A. S., Zabreiko P. P. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations. New York, 2000.

2. Жегалов В. И. Решение уравнений Вольтерра с частными интегралами с помощью дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2008. Т. Ц. № 1. С. 874 882.

3. Жегалов В. И., Созонтова Е. А. Условия разрешимости одной системы интегральных уравнений в квадратурах // Дифференц. уравнения. 2015. № 1. С. 958 961.

4. Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости трехмерной системы интегральных уравнений в квадратурах // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. 2015. №10. С. 4-0^4-6.

5. ЧекмаревТ. В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 16Ц-1622.

Summary

Sozontova E. A. On the conditions of unambiguous solvability of a system of Volterra equations with partial integrals

In this paper, we obtain conditions for unambiguous solvability of a system of Volterra equations with partial integrals in n- dimensional space. Keywords: system with private integrals, the condition of solvability, differential equation.

References

1. Appel J. M., Kalitvin A. S., Zabreiko P. P. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations, New York, 2000, 386 p.

2. Zhegalov V. I. Eeshenie uravnenij Vol'terra s chastnymi integralami s pomoshch'yu differencial'nyh uravnenij (Solution of Volterra partial integral equations with the use of differential equations), Differen-cial'nye uravneniya — Differential equations, 2008, vol. 44, no. 7, pp. 874-882.

3. Zhegalov V. I., Sozontova E. A. Usloviya razreshimosti odnoj sistemy integral'nyh uravnenij v kvadraturah (Conditions for the solvability of a system of integral equations by quadratures), Differen-cial'nye uravneniya — Differential equations, 2015, vol. 51, no. 7, pp. 958-961.

4. Sozontova E. A. Ob usloviyah razreshimosti trekhmernoj sistemy integral'nyh uravnenij v kvadraturah (On the solvability conditions of a three-dimensional system of integral equations in quadratures), Vestnik SamGU. Estestvennonauehnaya seriya — Samara State University Review. Natural science series, 2015, no. 10, pp. 40-46.

5. Chekmaryov T. V. Formuly resheniya zadachi Gursa dlya odnoj linejnoj sistemy uravnenij s chastnymi proizvodnymi (Formulas for solving the Goursat problem for single linear system of partial differential equations), Differencial'nye uravneniya — Differential equations, 1982, vol. 18, no. 9, pp. 1614-1622.

Для цитирования: Созонтова Е. А. Об условиях однозначной разрешимости системы уравнений Вольтерра с частными интегралами // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 1 (34)- С. 29-34-

For citation: Sozontova Е. A. On the conditions of unambiguous solvability of a system of Volterra equations with partial integrals, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2020, 1 (34), pp. 29-34.

Елабужский институт ФГАОУ ВО КФУ Поступила 29.02.2020