К теории симметричных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью в ядре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №3-4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.987.1

Л.Н.Раджабова, Г.Н.Шукурова К ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА С ОСОБЕННОСТЬЮ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ

ОСОБЕННОСТЬЮ В ЯДРЕ

l УГА1

АРИФМ!

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 16.02.2017 г.)

В работе исследованы некоторые случаи симметричного интегрального уравнения типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью в ядре. Для данного интегрального уравнения получены явные решения, содержащие произвольные постоянные. Для определения произвольных постоянных ставятся и решаются задачи типа .

Ключевые слова: интегральные уравнения типа Вольтерра, вольные постоянные, задача типа Коши.

Через L = jx: —a < x < a j обознач

сество тс

енность, произ-

оси. На L рассмот-

рим интегральное уравнение

x г

(x)+J p (x, t) + q (x, t) ln

u

(t)

(1)

где p (x, t), q (x, t), f (x) - заданые функции на L, u (x) - искомая функция.

Интегральное уравнение (1) при q (x, t) = 0 на множестве точек Г = {x :0 < x < aj является модельным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с фиксированной левой граничной точкой, теория которой построена в [1]. При p(x,t) = p = const, q(x,t) = q = const интегральное

уравнение (1) изучено на Г [3]. Исследованию двум!

[4-6].

щаю:

, а для четных и нечетных значений p (х, ^), q (x, ^) исследовано в интегральных уравнений в данном направлении посвящены работы

>$уУ .V -

гегрального уравнения (1) будем искать в классе функций u (x)е C (L ), обра-я в нуль в начале координат с асимптотическим поведением

/X

Для нахожден

u ( x )

ия решения

= о

, а > 0 при x ^ 0. интегрального уравнения (1) разобьем отрезок L на два отрезка

Адрес для корреспонденции: Раджабова Лутфия Нусратовна, Шукурова Ганджина Нарзикуловна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]; [email protected]

L1 = {x: -

x: -a< x<

0!,

L2 = {x :0 < x < a! .

Тогда L = L1\JL2\J{0}.

После некоторых преобразований уравнение (1) представим в в

системы уравнений:

u ( x) +

p ( x, t) + q ( x, t) ln

x

p ( x, -t) + q ( x, -t) ln —

p f (x), x e ^

u (-x )+Я

p (-x, t) + q (

t ](t)+

......,f (-x),-x E ^

Система уравнений (2) в случае p(x, t) = p = const и q(x, t) = q = const примет вид:

= у ^

f (x ), x e L2

p(-x,-t) + q(-x,-t)ln|x| Ju(-t) j>= f (-x), —

i x ) + J

0

/(-x ) + Для данной системы инт

p + qln x| j[u (t)

7I |[u(') + i-')]"i = f (-x), -xeL2.

^Jk

ий получим характерис

d

й

интегральных уравнений получим характ ( Dx )2 <9 ( x ) + 2 pDx3( x ) + 2 <( x ) = ( D

истическое уравнение вида: )2F (x), x e L2,

где Dx=xdx' 9( x)=u (x)+u (-x), F (x)=f (x)+

ма 1. Пусть в интегральном ура<

f(-x).

Теорема 1.7 Пусть в интегральном уравнении (1) р < 0, q > 0, р2 — 2q > 0, f(х)е L,

f (0) = 0 с асимптотическим поведением f (х) = 0 ^х^1 ^, ^ > при х ^ 0. Тогда интегральное

уравнение (1) в классе функций и (х)е С (Ь), обращающихся в нуль в точке х = 0, всегда разрешимо, общее решение содержит две произвольные постоянные и выражается формулой:

Cx* + C20x-2 ] + Kp,q [f (x)], x e Li

1 [C-0x* + C2V2 ] + Kp+,q [f (x)], x e L2

где

x

КР* [/ (х)] = —/ (-х) +

/ (< ) + / (-< )

dt, х е Ь1,

К, [/ (х)] = / (х)

+

2^р2 - 2,

л

I

й I у .

■^11 у.

/ (у)+/ (-у)

Л,х е ¿2,

/ = — р — ^р2 — 2,, /2 = —р + ^р2 — 2,, С)0, С° - произвольные постоянные. Аналогичным образом находим решение уравнения (1) для других знаков р и ,:

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) р < 0, , < 0, р2 — 2, > 0, /(х

/ (0) = 0 с асимптотическим поведением / (х) = 0 [х^2 , 52 >/2 при х ^ 0. Тогда интегральное

уравнение (1) в классе функций и (х )еС (Ь) , обращающихся в нуль в точке х = 0, всегда разрешимо, общее решение содержит одну произвольную постоянную и выражается формулой:

и

( х ) =

1 С0 хм2 + К

2 3

где С30 - произвольная постоянная,

х е ¿2

2 С х/2 + кр,, [/ (х)], х е А =— р — л1 р2 — 2, < 0, / =

(4)

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении

х ) = 0 [

с асимптотическ ением

f ( 0 ) = 0

уравнение (1) в классе функций и (х) общее решение содер

е

С40 х^ +

— 2, > 0.

— 2, > 0, f(x)е С(Ь), при х ^ 0. Тогда интегральное

ащаю

пост

нуль в точке х = 0, всегда разрешимо, выражается формулой:

(5)

где С

, 2 4 „ ( х)] .

Д Сх" + к—,, [/(х)],

/С4 ^ 12 г— Г-

- произвольная постоянная, / = —р — ^р2 — 2, < 0, / = — р + ур2 — 2, > 0.

Пусть в интегральн

Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (1) р > 0, , > 0р2 — 2, > 0, /(х) е С(Ь),

/ (0) = 0 с асимптотическим поведением / (х) = 0 [ха], а> 0 при х ^ 0. Тогда интегральное

уравнение (1) в классе функций и (х)е С(Ь), обращающихся в нуль в точке х = 0, имеет единственное решение, которое выражается формулой:

[/ (х)],

'( х ) =

К—,, [/(х)] ,

х е ¿2 х е Ь

х

1

1

<

0

<

где /л1 = — р — у/р2 — 2д < 0, /л2 = — р + ^р2 — 2д < 0.

Полученные представления многообразия решений через произвольные функции дают возможность для интегрального уравнения (1) ставить и исследовать краевые задачи, когда условия заданы на особом многообразии.

Задача N1. Требуется найти решение интегрального уравнени

....... С (£, вы-

ия (1) и

полнении условий р < 0, д > 0, р — 2q >0 по граничным условиям:

V

х!|—А (х) — Я (и (х))]1 0 = А,

где А и В - заданные числа.

Разрешимость задачи N подтверждает теорема:

Теорема 5. Пусть в интегральном уравнении (1) параметры р и д,

ряют условиям теоремы (1). Тогда задача N имеет еди формулой (3), где

^и (х) + ^ (и (х )Щ о= B, ^ — а:

тция f (х ) удовлетво-шение, которое выражается

ное реш

2В

Задача N. Требует полнении условий р < 0

, д < 0,р 2 — 2д > о „о

О Лх|Г и (х)1=0 у

Н2 — Л

„ V/

рального уравнения (1) из класса С (£) при вы-граничным услови

овиям:

где А1 - заданное число, ^

Теорема 6. Пусть в инте

к =— р + -

Л,

у1р2 — 2д >0.

, ^ ^ юм уравнении (1) параметры р и д, функция f (х) удовлетво-

условиям теоремы 2. Тогда задача Ы2

ряют у<

формулой (4), где С =

адача N 3. Требуетс полнении условий р > 0,

имеет единственное решение, которое выражается

лой (4), где с30 = 2 Д,

ется найти решение интегрального уравнения (1) из класса С (£) при вы-д < 0, р — 2д > 0 по граничному условию:

|х|и (х)

где В1 - заданное число, ¡лА = ¡л2 = — р + ^р2 — 2д > 0.

Теорема 7. Пусть в интегральном уравнении (1) параметры р и ,, функция / (х) удовлетворяют условиям теоремы 3. Тогда задача N имеет единственное решение, которое выражается формулой (5), где = 2В1.

Ч

оступило 16.02.2017 г.

V

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджабов Н. Интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения. - Душанбе: Деваштич, 2007, 222 с.

2. Раджабов Н. Об одном классе модельного сингулярного интегрального уравнения, обобщающего одномерное интегральное уравнение Вольтерра с левой граничной сингулярной точкой в ядре. -Вестник ТНУ (научный журнал), 2012, №1/1(77) сер.естеств.н, с.21-32.

3. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. К теории одного класса симметричного интегрального уравнения Вольтерра с внутренней сингулярной и логарифмической особенностью. - Вестник Таджикского технического университета. Научно-теоретический журнал, 2015, №3 (31), с.10-13.

4. Раджабов Н., Зарипов С. К теории одного класса двумерного симметричного интегрального уравнения вольтерровского типа с одной граничной и одной внутренней сингулярной линиями. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №12, с. 962-970.

5. Раджабова Л.Н., Раджабов Н. К теории одного класса двумерного слабосингулярного интеграль-

ного уравнения типа Вольтерра на первом квадранте. - ДАН РТ, 2014, т. 57, №6, с. 443-451. 6. Раджабова Л.Н., Шукурова Г.Н. К теории двумерных уравнений типа Вольтерра с особенностью и логарифмической особенностью в ядре. - Мат-лы междунар. науч. конф. посвящ. 75-летию проф. Сабирова Т.С. - Душанбе, 2015, с.143-144.

XV V о-у

Л.Н.Рачабова, Г.Н.Шукурова

БА НАЗАРИЯИ МУОДИЛАХРИ ИНТЕГРАЛИИ СИММЕТРИИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО МАХСУСИЯТ ВА МАХСУСИЯТИ ЛОГАРИФМЙ ДАР ЯДРО

Донишго^и миллии Тоцикистон

л

Донишго^и мил

Дар макола якчанд долатдои муодилаи интегралии симметрии намуди Волтерра бо махсусият ва махсусияти логирифмй дар ядро тадкик карда шудааст. Барои муодилаи додашуда далли ошкор ёфта шудааст, ки дорои доимидои ихтиёрй мебошанд. Барои муайян намудани доимидои ихтиёрй масъаладои намуди Коши гузошта ва дал карда шудааст. Калима^ои калиди: муодилаи интегралии намуди Волтерра, махсусияти логарифмы, доимии ихтиёрй, масъалаи намуди Коши.

L.N.Rajabovа, G.N.ShukurovB

ON THE THEORY OF SYMMETRIC INTEGRAL EQUATIONS OF VOLTERRA TYPE WITH SINGULARITY AND LOGARITHMIC SINGULARITY IN THE KERNEL

Tajik National University

In the paper some cases of symmetric integral equations of Volterra type with a singularity and a logarithmic singularity in the kernel are investigated. For data of integral equations explicit solu-tions,containing arbitrary constants are obtained. To determine the arbitrary constants are the Cauchy-type problem is set and solved.

Key words: integral equation of Volterra type, logarithmic singularity, arbitrary constant, Cauchy problem type.

irithmic singularity, arbitrary constant, Cauchy

sO

^ л- v w

A Jv JV