К теории одного класса интегральных уравнений Вольтерра первого рода с фиксированными граничными и внутренними сингулярными точками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.220

Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов

К ТЕОРИИ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ

Таджикский национальный университет

Изучен новый класс интегральных уравнений первого рода типов Вольтерра с граничными и внутренними особыми точками.

Ключевые слова: интегральные уравнения первого рода - граничная сингулярная точка - внутренняя сингулярная точка.

Пусть Г = |х : а < х < Ьмножество точек на вещественной оси. На Г рассмотрим следующий интегральный оператор

«')

п:

-dt

- a

a

при условии, что р( х) е С (г) , р(а) = 0 с асимптотическим поведением

р(х) = о (х — а)е , £> 0, при х ^ а. (1)

Если р( х) е С (г) и обладает свойством (1), тогда непосредственной проверкой легко можно убедиться в справедливости следующих равенств

Гx^aVW^ wплb„iГх-о.уЖ

(Щ )' M-jln I ^ dt, 2!(п: )3 M = jln>

dt,

t - a 11 - a

3,(п а )4 (((={ - ( х—а К - •......--(п а Г (х—аН *■

а ^ ' а ^ '

Непосредственной проверкой легко можно видеть, что дифференциальный оператор

=( х — а) I"(П )—'

является обратным к интегральному оператору Пха . Имеет место следующее равенство

(па )—1(п) р(х)=(па) (па)1 р м=р м. (2)

Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат. Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Приведённое выше свойство интегрального оператора Пх даёт возможность найти решения следующих интегральных уравнений

П ^ (р) = / (х) (3)

(4)

а 4 у

Решения интегральных уравнений (3) и (4) будем искать в классе функций р(х)е С (г) , р( а) = 0 с асимптотическим поведением (1).

Исследованиям интегральных уравнений второго рода с интегральным оператором ПX и его

степеней посвящены работы [1-5]. Целью настоящей работы является нахождение явных решений ряда интегральных уравнений первого рода, ядро которых имеет логарифмическую особенность и сингулярную особенность.

Используя свойства интегрального оператора ПX (2), легко можно видеть, что если решение интегрального уравнения (3) существует, тогда оно представимо в виде

р(х) = (ПГ /(X) = ^ (/) . (х - а) /¡Т . (5)

Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (3), /(х) е С'(г), / (а) = 0 с асимптотическим поведением

/ (х) = о (х - а)е , £> 0, при х ^ а . (6)

Тогда интегральное уравнение (3) в классе С (г), обращающееся в нуль в точке х = а, имеет

единственное решение, которое даётся формулой (5).

Для нахождения решения интегрального уравнения (4), используя приведённые выше свойства интегрального оператора Пха , уравнение (4) представим в следующем виде

П!(Пх Г (р) = / (х). (7)

Пусть в уравнении (7) / (х) е е Сп+1 (г), Г (а) = 0 с асимптотическим поведением (6). В равенстве (7), действуя п -раз при помощи интегрального оператора (Пха ) , находим значение р(х) в виде

и

р( х ) = ^ [(их)"1 ](/)-^ (11 / (х).

(8)

Если / (х) е СП (г), / (а) = 0 с асимптотическим поведением (6) при х ^ а, тогда решение вида

(8) существует. Итак, доказана

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (2), /(х) еС(п+1)(Г), /(а) = 0

= 0 с асимптоти-

ческим поведением (6). Тогда интегральное уравнение (3) в классе С (г), обращающееся в нуль в

точке х = а, имеет единственное решение, которое даётся формулой (8).

Аналогичным образом для интегрального уравнения первого рода с правой граничной сингулярной точкой вида

П (*) = } * = 9 (х)

(9)

имеют место следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (9), 9 (х )е С '(г), 9 (Ь) = 0 с асимптотическим поведением

9 (х) = о (Ь - х)£ , £ > 0, при х ^ Ь .

(10)

Тогда интегральное уравнение (9) в классе С (г), обращающееся в нуль в точке х = а, имеет единственное решение, которое задаётся формулой

¥( х ) = (П»)" 9 (х ) = Щ (9)--( Ь - х)

Л 9 ( х )

Лх

Для интегрального уравнения

¡п (Я № * = 9 (х)

(11)

= 0 с асимптоти-

имеют место следующие утверждения

Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (11), 9(х) е С^п+1) (г), 9 ( Ь) = 0

ческим поведением (10). Тогда интегральное уравнение (11) в классе С (г), обращающееся в нуль в точке х = Ь, имеет единственное решение, которое даётся формулой

1 П<п+1>, ч 1

Пх ) = ^ [(П х' \ (»)- ^ (Щ)'"11» (х).

Теперь рассмотрим интегральное уравнение первого рода с внутренней сингулярной точкой следующего вида

л

/ М

х — с с( г)

г — с г—а

-ёг = Е(х), се Г,

(12)

где с еГ, Е (л) - заданная функция, с( х)— искомая функция.

Фиксируем точку х = с на Г. Далее обозначим Г = {х : а < х < , Г = {х : с < х < Ь}. Пусть х еГ . Тогда |х — с| = с — х и уравнение (12) принимает следующий вид

с — х)с(г) ,

Г М 1С) ёг = — Е (х), х еГ .

Г I с — г) г—а 4 7

Когда х еГ2, тогда х — с = х — с и уравнение (12) принимает вид

/МI Т—7 С) * = Е (х), * «Г,.

(г)

Таким образом, задача свелась к нахождению решений интегральных уравнений типов (4), (11). Из теорем 4 и 2 следует

Теорема 5. Пусть в интегральном уравнении (16), Е(х) е С(г) , Е (с) = 0

тическим поведением

I = 0 с асимпто-

Е (х ) = о

х — с

, £ > 0 при х ^ с.

Тогда интегральное уравнение (12) в классе С (г) , обращающееся в нуль в точке х = с, имеет единственное решение, которое даётся формулой

ю

( х ) =

-1 ()(П+1) [Е (х)], когда х е Г1, — (Бх )(п+1) [Е (х)], когда х е Г2.

Рассмотрим интегральное уравнение с двумя граничными сингулярными точками следующе-

го вида

/ М

х — а V Ь — г

Ь — х Д г — а

П( г)

-ёг = Г (х), х еГ,

(13)

(г — а) (Ь — г)

где Г (х) - заданная 0( х) искомая функция. Решение интегрального уравнения (13) будем искать в классе функций 0(х) е С (г) , 0(а) = 0 с асимптотическим поведением

с

х

<

0(х) = о (х - а)£ , £ > 0, при х ^ а.

(14)

Интегральное уравнение (13) при п = 0 принимает вид

«(')

тхь («И-

& = Г (х), х ег.

(15)

<' - а) (Ь -')

Решение интегрального уравнения (15) будем искать в классе функций «(х)е С (г), «(а) = 0 с асимптотическим поведением (14) и О(Ь) = 0 с асимптотическим поведением

«(х) = о (Ь - х)£ , £ > 0, при х ^ Ь.

В этом случае правая часть уравнения (15), то есть функция Г (х), также в точках х = а и х = Ь обращается в нуль с асимптотическими поведениями

Г (х) = о (х - а)£ , £ > 0, при х ^ а, Г (х) = о (Ь - х)£ , £ > 0, при х ^ Ь.

(16)

(17)

Предполагая, что решение интегрального уравнения (15) существует и его правая часть дифференцируема, дифференцируем обе части уравнения (15), затем умножая на (х - а) <Ь - х), получим

« (х) = (х - а) <Ь - х) ^ - (Г) = (ГД )-1 (Г) .

(18)

Непосредственной проверкой легко можно видеть, что если Г (х) е е С'(г), Г (а) = 0, Г (Ь) = 0 с

асимптотическими поведениями (15), (17), тогда решение интегрального уравнения (15) существует и

даётся формулой (18).

Таким образом, доказана следующая

Теорема 6. Пусть в интегральном уравнении (15), Г (х)ее С'(г), Г (а ) = 0, Г (Ь ) = 0 с

асимптотическими поведениями (16) и (17). Тогда интегральное уравнение (15) в классе С (г), обращающееся в нуль в точках х = а, х = Ь, имеет единственное решение, которое даётся формулой (18).

Заметим, что интегральное уравнение (15) имеет решение, неограниченное в точке х = Ь. Пусть в интегральном уравнении (15) правая часть - функция Г (х), представима в виде обобщённо-

го равномерно сходящего степенного ряда по степеням

х-а Ь - х

ш г \к+у

x — a 1

F (x) = ^ I-— I , у = const > 0, x e[a, b) . (19)

к=0 V b — x J

Решение интегрального уравнения (15) будем искать в виде

ш ( x — а !к+г

Q(x) = - , У = const > 0, x e [a,b), (20)

к=0 V b — x J где неизвестные постоянные.

Значения F (x) и Q(x) из (19), (20), подставляя в (15), затем вычисляя соответствующие

f Л к+У

( x — a |

интегралы и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях I -I при к = 0,1,2,....., на-

V b — x J

ходим в виде

fit = F (b — a)(к + у), к = 0,1,2,.....,.

Подставляя найденные значения в формулу (20), находим решение интегрального уравнения (15) в виде

ш / _ \к+г

Q(x) = Z(b — a)(к + r)Fk (--aJ , x e [a,b) . (21)

Непосредственной проверкой легко можно убедиться, что если ряд вида (19) сходится абсолютно и равномерно для всех x e [a, b) , тогда ряд вида (21) также сходится абсолютно и равномерно для всех

x e [a, b) .

Решение вида (21) в точке x = a обращается в нуль с асимптотическим поведением

Q(x) = o (x — a)

у > 0, при x ^ a . (22)

Решение вида (21) в точке х = Ь обращается в бесконечность и его поведение может быть разным.

Например, если |Г| ^т-М-, к = 0,1,..., тогда поведение 0(х) при х ^Ь определяется

( Ь — а ) (к + /)

из следующей асимптотической формулы

Q( x ) = O

(x—a)—у txp (b—f

при x ^ b .

Итак, доказана

Теорема 7. Пусть в интегральном уравнении (15) функцию Г (х) представимы в виде равномерно сходящегося обобщённого степенного ряда вида (19) для всех х е [а, Ь). Тогда интегральное

уравнение (15) в классе функций «(х), представимых в виде (20), всегда разрешимо и его единственное решение даётся формулой (21). Причём это решение в точке х = а обращается в нуль с асимптотическим поведением (22), а в точке х = Ь обращается в бесконечность.

Непосредственной проверкой легко можно убедиться, что если функция «(х)е С (г),

«(а) = 0 с асимптотическим поведением (14), тогда интегральный оператор Т*ъ обладает следующими свойствами

(TXb) j+ (Q)=-

1

j !(b - а)

л

-j м

x-а Vb -1

b-x Л t - а

Q( t)

(t - а)(b -1)

dt, j = 0,1,.....n .

(23)

На основании тождества (23) интегральное уравнение (13) можем записать в следующем виде

n!(b - а)n (Taxb )n+1 (Q) = F (x) .

(24)

Находим решение интегрального уравнения (13). Пусть в интегральном уравнении (13) правая часть функции Г (х) имеет непрерывные производные (п +1) -го порядка на г . Тогда в равенстве (24),

(п +1) раз действуя при помощи интегрального оператора (Т*ь ) и каждый раз разделяя полученное равенство на (Ь - а), находим решение интегрального уравнения (24) или (13) в виде

1 V \(п+1)

Q( x ) =

•( Г ( F ( x )).

(25)

I = О с асимпто-

n!(b - а )'

Таким образом, доказано следующее утверждение

Теорема 8. Пусть в интегральном уравнении (13), F ( x )е C (n+1)(r), F (а ) = 0

тическим поведением (16). Тогда интегральное уравнение (13) в классе C (г), обращающееся в нуль в точке x = а, имеет единственное решение, которое даётся формулой (25).

Теперь находим решения интегрального уравнения (13), неограниченное в точке x = b . Пусть в интегральном уравнении (13) функция F(x) представима в виде (19). Решение интегрального

уравнения (13) будем искать в виде (20). Подставляя значение F (x) и Q( x) соответственно из (19) и (20) в (13), получим

ад x

IP k м

k=0

x - а V b -1

b - x A t - а

t - а

k+y

dt

b -1J (t - а) (b -1)

= =

k=0

x - а

b - x

k+y

(26)

Непосредственным вычислением легко можно видеть, что

x

j М

x - а V b -1 b - x Л t - а

t - а

\k+y

dt

n!

x - а

\k+y

b -1J (t - а) (b -1) (b - а )(k + y)n+11 b

-x

а

а

Подставляя в (26) эти значения интегралов, получим

ж I / \к+Г да /■ \к+7

_п!_( х — а | х — а

к к(Ь — а)(к + у)п+11Ь — х) Ь — х.

Отсюда находим

о =( Ь — а)(к + /Г Г к = 012

°к , Гк , к 0,1,2,......

п!

Подставляя найденное значение О в формулу (20), находим решение интегрального уравнения (13) в виде

\п+1 , \к+Г

Q(x) = ¿(b — a)(к + у)" Fk I— | +у, у = const > 0, x e [a,b) .

к=0 n! V b — x

(27)

Легко можно видеть, что если ряд вида (19) для всех х е [а, Ь) сходится абсолютно и равномерно, тогда ряд вида (27) также сходится абсолютно и равномерно для всех х е [а, Ь) . Таким образом, доказана

Теорема 9. Пусть в интегральном уравнении (13) функция Г (х) разлагается в абсолютно и

равномерно сходящийся обобщённый степенной ряд вида (19) для всех х е [а, Ь) . Тогда интегральное уравнение (13) в классе функций О(х), представимых в виде (20), всегда разрешимо и его единственное решение даётся формулой (27). Причём это решение в точке х = а обращается в нуль с асимптотическим поведением (22), а в точке х = Ь обращается в бесконечность.

Поступило 10.03.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rajabov N. Volterra Type Integral Equations with Boundary and Interior Fixed Singularity and Super-singularity Kernels and Their Application. LAP LAMBERT. - Leipzig: Acad. Publ., 2011, 282 p.

2. Раджабов Н., Раджабова Л. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Воль-терра с фиксированными сингулярными и сверх-сингулярными ядрами и их приложения. LAP LAMBERT. - Leipzig: Acad. Publ., 2012. 502 p.

3. Раджабов Н. К теории одного класса интегральных уравнений типа Вольтерра с граничной фиксированной особенностью в ядре. - ДАН России, 2014, т. 49, № 1, с.17-21.

4. Rajabov N. About New Class of Volterra Type Integral Equations with Boundary Singularity in Kernels. - Advances in Applied Mathematics and Approximation Theory and Statistics 2013, № 41, USA, pp. 41-60.

5. Rajabov N., Saidov S. About New Class of Volterra Type Integral Equation with Two Boundary Singularity in Kernels. - Proceedings of the 2014 International conference on Pure Mathematics - Applied Mathematic (PM-AM(4)), Venice, Italy, March 15-17, 2014, pp. 214-217.

Н.Рачабов

ДОИР БА НАЗАРИЯИ ЯК СИНФИ МУОДИЛА^ОИ ИНТЕГРАЛИИ ВОЛЬТЕРРА ЧИНСИ ЯК БО НУЦТА^ОИ САРХАДИ ВА ДОХИЛИИ

МАХСУСИ ЦАЙДКАРДАШУДА

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола муодилах,ои интегралии Волтерра чинси як бо нуктах,ои махсуси кайдкардашудаи сархади ва дохили омухта шудааст.

Калима^ои калиди: муодила^ои интегралии цинси як - нуцта^ои махсуси сархади - нуцта^ои махсуси дохили.

N.Rajabov

TO THEORY ONE CLASS OF FIRST KIND VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION WITH BOUNDARY AND INTERIOR FIXED SINGULAR POINT

Tajik National University In this work, we investigated one new class of the first kind Volterra type integral equation with boundary and interior singular points.

Key words: first kind integral equation - boundary singular point - interior singular point.