CC BY
40
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №7________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.220
Академик АН Республики Таджикистан Н.Раджабов, С.Саидов
К ТЕОРИИ ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРОВСКОГО ТИПА С ДВУМЯ ГРАНИЧНЫМИ СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
Таджикский национальный университет
В статье изучается общее линейное интегральное уравнение вольтеровского типа с двумя граничными особыми точками. При этом существенно используются результаты, полученные ранее авторами для соответствующего модельного уравнения.
Ключевые слова: граничные особые точки - ядро - общее решение.
Пусть Г = {a < x < b} - множество точек на вещественной оси. На Г рассмотрим интегральное уравнение
p(-x)+\(, Klxb-1Р]dt=f(x)’ x 6 Г (1)
где K(x,t) - заданная непрерывная функция в прямоугольнике R = {а < x <b, a <t< b}, f(x) -
заданная функция на Г , p(x) - искомая функция. Предполагается, что K(а, а) ^ 0.
Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций p(x) 6 C(Г), pa) = 0 со следующим асимптотическим поведением
p(х) — 0 (х - а )
, є > 0 при x ^а. (2)
Изучению интегрального уравнения (1) при К (хД) = А(^), А(а) Ф 0 посвящены работы
[1,2]. Проблеме исследования одномерных и многомерных интегральных уравнений типа Вольтера с граничными и внутренними сингулярными точками, сингулярными областями посвящены работы
[3,4] . Целью настоящей работы является изучение уравнения (1) при К(хД) Ф А(^) . Уравнение (1) представим в следующем виде
Нх)+! >Л=Л(хХ (3)
где
Адрес для корреспонденции: Раджабов Нусрат. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
X
/х (х) = /(х)
К (х, і) - К (а, а)
-ф(і) йі.
(4)
(I — а)(Ь —1)
Предположим, что в (4) неизвестная функция (р''х), ядро К 'хД) такие, что функция /у(х) е С[а,Ъ], К (х, х) е С[а,Ъ], К (а, а) < 0. Тогда, согласно теореме 1 из [1], интегральное урав-
нение (3) всегда разрешимо и его общее решение даётся формулой
К ( а)|
. ( х - а ) Ь-а
^=І тх) С +
С + /(х) -К(а)|
х - а)( Ь - і Ь - х Л і - а
К ( а )|
Ь-а
/х(і)
(і - а)(Ь - і)
йі = К [ех, /х(х)], (5)
где К (а) = К (а, а), с - произвольная постоянная. Теперь значение /г (х) из равенства (4) подставляем в равенство (5) после тех слагаемых, которые зависят от неизвестной функции <р(х) перенося в левой части, будем имеет:
(р( х) +
+
X
ф(і)йі -1
•К (х, і) - К (а, а)
(і — а)(Ь — і)
К ( а)\
(^)Ь-^'(*) - І
К ( а)\
х - а )( Ь - і
Ь - х А і - а
х-а)(Ь - і
К (а, а) ,}К (і,т) - К (а, а)
-йі\
(і - а)(Ь - і) * (т- а)(Ь - т)
(р(т)йт =
Ь - х А і - а
К(а, а)
(і - а)(Ь - і)
/ (і )йі = КК(а) [е„ / (х)].
Последнее равенство перепишем в виде
х
(р(х) + І [К (х, і) - К (а, а) -М (х, г)]
<р(т)йі
(т - а)(Ь - і)
= Ка [^ /(х)] ,
(6)
где
х
М (х, т) = К (а, а) І
х - а )( Ь - і
К ( а)\
Ь - х Л і - а
( К (і ,т)- К (а, а) ) (і - а)(Ь - і)
йі.
В дальнейшем будем предполагать, что К(х,т) в окрестности точек (х, т) = 'а, а) удовлетворяет следующему условию
\К (х, т) - К (а, а)\ < Н (х - а)У (г- а)Уу при (х,г) ^ (а, а),
(7)
\К (а, а)| Ь - а
где У\ >' , У2 >
\К (а, а)| Ь - а
\Ь ( а
Теперь, умножая обе стороны интегрального уравнения (6) на 'Ь — х) ъ-а и вводя в рассмотрение новую неизвестную функцию
х
а
х
а
а
а
Т
|к ( а
/(х) = ср(х)(Ь - х) ь-‘ приходим к решению следующего интегрального уравнения
■К^ х,т)
/(х) + {'
т - а
/(т')йт = Е(х, с),
(8)
(9)
где
к (х, т) =
\к (а)|
(К (х, т) - К (а, а)) (Ь - х)ь-а -М (х, т)(Ь - х) ‘
\к (а)|
(Ь -т)
\к (а )|
Е(х с) = Ка \^\ , /(х)] (Ь - х)‘
\к (а )|
Теперь уточним, при каких условиях на К(х, 1) и функции /(х) интегральное уравнение (9) будет интегральным уравнением Вольтера со слабой особенностью.
Пусть К(х, 1) в окрестности точек (х, 1) = (а, а) удовлетворяет условию (7).
Тогда имеем
М(х,т)(Ь - х) ь а = К (а, а)| (х - а) ь а I-
т ' 1
В силу условия (7), имеем
-а
К (1,т) - К (а, а) (1 - а)(Ь -1)
Л
Ж1.
\к (
|к (а
|к (а
(Ь - х)ь а М (х, т)| < К (а, а)Н | (х - а) ь а (Ь - 1)ь а (1; - а)
\к (а)|
- у1- к-------1
ь а
Ж =
\к±
. а)х у - 1кМ-1 1кИ-1
|К(а, а)\Н(х-а)ь-а | (1-а)1 ь-а (Ь-1)ь-а &.
(10)
Из неравенства (10) следует, что когда К(х, 1) в окрестности точек (х, 1) = (а, а) удовлетворяет условия (7), тогда ядро интегрального уравнения (9) имеет слабую особенность по переменной т . Кроме того, если /(х) е С [а, Ь\, / (а) = 0 с асимптотическим поведением
/(х) = 0 (х-а)
\К (а)\
, у >-------при х ^ а,
Ь-а
(11)
тогда интегральное уравнение (9) будет интегральным уравнением Вольтера второго рода с непрерывной правой частью и слабой особенностью, следовательно, имеет единственное решение, которое даётся формулой.
А
/(х) = Е [с, х) -1Г(хД) / [c,t\ Ж1,
а
т
т
а
где Г(х^) - резольвента интегрального уравнения в (9). Принимая во внимание (8), будем имееть
\к (а
Ь-х
(12)
Таким образом, доказана
Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1), К ( х, / )е С ( Я ), К (а, а) < 0, в окрестности точек (х, ^) = (а, а) удовлетворяет условию (7). Функция /(х) е С [а, Ъ\, /(а) = 0 с асим-
птотическим поведением (11). Тогда интегральное уравнение (1) всегда разрешимо и его общее решение из класса С [а, Ь) даётся формулой (12), где ^ - произвольная постоянная.
Теперь допустим, что К (а, а) > 0 . Тогда, как следует из (5), в этом случае, если решение уравнения (3) существует, тогда оно представимо в виде
<Р(. х) = / (х) - К (а, а)}
К (а,а)
ГЪ - х 1 і Ъ-а
1 х - а V Ъ - і )
В этом уравнении вместо (х), подставляя его значение по формуле (4) , после некоторых преобразований приходим к решению следующего интегрального уравнения.
Ц( х, і )р(і) (і - а)(Ъ - і)
Ж = Ма [/(Х)] ,
(13)
где
х
О (х, і) = К(х, і) - К (а, а) - }
Г ъ - х і т - а 1
^ х - а ) V Ъ-т)_
К ( а )
Ъ-а К (т, і) - К (а, а) (т- а)(Ъ -т)
Жт, К (а, а) > 0
х
Ма [/(х)] = /(х) - К(а а)\
_К ( а ) Ъ-а
х - а А Ъ - і
/ (і)
(і - а)(Ъ - і)
Жі
К(а,а)
Умножая обе стороны равенства (13) на (х — а) Ь-а , после ввода в рассмотрение новой неизвестной
К ( а )
функции о (х) = ср{'хх — а ) Ь—а , приходим к решению следующего интегрального уравнения
а
х
(х н
W ( х, і)
(і - а)(Ъ - і)
-а
(і )Ж = Е1 [/ (^
(14)
где
а
х
а
а
а
а
к (а,а)
(х, г) = (х — ауЬа (К (х, г) — К (а, а)) — }(—) Ь—а Кг) — К (а а) ёт,
к (а,а)
Ь — т
г
к(а,а) к(а,а)
(т — а )( Ь — т)
Е , [ f (х)] = (х — а) Ь—" Ма [/(х)] = (х — а) Ь—а /(х) —
к(а,а)
х
-К ( а, а )}|
Ь — х Л Ь—а , Г (г)
------I (г—а)Ь—а ------------------ёг.
Ь — т) v ' (г — а)(Ь — г)
Пусть функция К(х,г) удовлетворяет следующему условию
К (х, г) — К (а, а) = 0 (х — а)е (г — а)7ъ при (х, г) ^ (а, а)
(15)
Тогда для ~^(х, г) имеет место следующая оценка
, | К (а,а) х,/
(х, г)| < М (х — а) Ь—а е (г — а)/з + М}1
К(а,а)
^ ] ^(т-а)-1 (4—аУ-т
( Ь — т)
= (г—а)
К(а,а)
К(а,а) х
К(а,а)
М(х — а) Ь—а + М(Ь — х) Ь—а }(Ь — т) 1 Ь—а (т — а1 ёт
При выполнении условия (15), ядро интегрального уравнения (13) будет иметь слабую особенность. Если /(а) = 0 с асимптотическим поведением
/ (х) = 0 (х — а)
, е > 0 при х ^ а,
(16)
тогда интегральное уравнение (13) имеет единственное решение, которое дается формулой
X
о( х) = Е1 [/(х)]— } Г ( хг) Е1 [/(х)]ёг.
а
Вместо о(х') и Е, [ г (х)] , подставляя их значение, получим
К (а,а) К ( а,а) х К (а,а)
(х — а(р(х) = (х — а) Ь—а Ма [/(х)] — }Г(хД) (г — а) Ь—а Ма [/(х)] ёг
Отсюда
К (а,а)
г — а Л Ь—а
(р(х) = Ма [/(х)] — }(^т^ I а Ма [^(х)ёг •
Итак, доказана
Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1), К (х, г) е С (Я), К (а, а) > 0, в окрестности точек (х, г) = (а, а) удовлетворяет условию (15). Функция /(х) е С [а, Ь], /(а) = 0 с асим-
а
а
х
а
птотическим поведением (16). Тогда интегральное уравнение (1) в классе С\а, Ь) имеет единственное решение, которое даётся формулой (17), где Ма [/(х)] даётся формулой
К (а,а)
М
[ / (х)] = / (х) - К (а а)|
\Ь - х 1 і—а | Ь-а
^ х - а ) 1Ь - і)
/(і)
(і - а)(Ь - і)
Замечание 1. Если выполнены все условия теоремы 1, тогда решение вида (12) в точке х = а обращается в нуль и его поведение определяется из следующей асимптотической формулы
(р(х) = 0
( х - а )
К ( а Ь-а
При этом решение вида (12) в точке х = Ь не ограничено и его поведение определяется из следующей асимптотической формулы
(р(х) = О
■ К(а)| '
(Ь - х) Ь-а
, при X ^ Ь.
Замечание 2. Если выполнены все условия теоремы 1, тогда решение интегрального уравнения (1) обладает следующими свойствами
ІІШ
х—> а
■ К(а) -
(х - а )Ь-а <р(х)
К ( а)
= С (Ь - а) Ь-а , ііш
- , . КМ
(Ь - х)К((Р(х) = С (Ь - а) Ь-а .
Замечание 3. Если выполнены все условия теоремы 2, тогда решение вида (17) в точке х = а обращается в нуль со следующим асимптотическим поведением
(р(х) = 0 (х - а)
, при х ^ а.
При этом, если р( Ь) = 0 с асимптотическим поведением
/ (х) = 0 ( Ь - х)
К (а, а) Ь - а
тогда это решение в точке х = Ь обращается в нуль со следующим асимптотическим поведением
(р( х) = 0
( Ь - х )
К (а
Ь-а
, при х ^ Ь.
Поступило 08.06.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Раджабов Н., Саидов С. - Материалы научной конференции «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения». - Душанбе, 2011, с.102-107.
а
2. Раджабов Н., Саидов С. - Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения», 27-30 июня 2011г. - Стерлитамак-Уфа: Гилем, 2011, с.72-74.
3. Rajabov N. Volterra type Integral Equation with boundary and interior fixed singularity and supersingularity Kernels and their application. - Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011, 282 p.
4. Раджабов Н., Раджабова Л. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Вольтера с фиксированными сингулярными и сверх- сингулярными ядрами и их приложения. -Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011, 502 с.
Н.Рачабов, С.Саидов
ДОИР БА НАЗАРИЯИ МУОДИЛАХОИ ИНТЕГРАЛИИ НАМУДИ ВОЛТЕРРА БО ДУ НУЦТАИ МАХСУСИ САРХАДЙ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола муодилаи интегралии намуди Волтерра бо ду нуктаи махсуси сархддй дар х,олати умумй омухта шудааст. Вобаста аз аломати K(a, a), хдлли умумии муодила ёфта шуда-аст. Барои омухтани х,олати умумй, мувофикан натичах,ои барои муодилаи характеристикй ба даст овардаи муаллифон истифода бурда шудааст.
Калима^ои калиди: ду нуцтаи махсус - махсуси саруадй - уолати умумй.
N.Rajabov, S.Saidov TO THEORY OF THE GENERAL. VOLTERRA TYPE INTEGRAL EQUATION WITH TWO BOUNDARY SINGULAR POINTS
Tajik National University In this work, investigation one class general Volterra type Integral Equation with two boundary singular points. In depend from signs K(a,a), found general solution this integral equation. Found condition too K(x, t), when this integral equation has unique solution Key words: boundary singular points - kernel - general solution.
