CC BY
5
2020 Математика и механика № 65
удк.512.545 м8с 06б15, 08в15
б01 10.17223/19988621/65/2
Н.В. Баянова, А.В. Зенков, Г.В. Прусакова
К ТЕОРИИ МНОГООБРАЗИЙ О-АППРОКСИМИРУЕМЫХ РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП
Изучаются свойства некоторых о-аппроксимируемых многообразий реше-точно упорядоченных групп и уточняются ранее полученные результаты о строении решетки многообразий решеточно упорядоченных групп.
Ключевые слова: решеточно упорядоченная группа, о-аппроксимируемое многообразие, накрытие.
1. Введение
Напомним, что решеточно упорядоченная группа (£ -группа) - это алгебраическая система О сигнатуры £ = (е,~1 , •, л, ^ , совмещающая в себе структуру группы и решеточного порядка, связанные естественными соотношениями
х(и V V)у = хиу V xvy, х(и л V)у = хиу л xvy.
Если всякие два элемента решеточно упорядоченной группы сравнимы, то группу называют линейно упорядоченной. Решеточно упорядоченные группы, их многообразия и связанные с этим вопросы представлений £ -групп порядковыми автоморфизмами подходящих линейно упорядоченных множеств интенсивно исследовались различными авторами. Результаты этих исследований отражены в монографической литературе (см., например, [1, 2]).
Одним из важных классов решеточно упорядоченных групп является многообразие Я всех о-аппроксимируемых £ -групп, т.е. £ -групп, которые аппроксимируются линейно упорядоченными группами. Хорошо известно (см., например, [1]), что Я определяется тождеством
(х л у1 х-у е = е. (1)
Любое многообразие £ -групп, содержащееся в Я, называется о-аппроксими-руемым многообразием £ -групп. Множество Ь0 всех о-аппроксимируемых многообразий частично упорядочено относительно теоретико-множественного включения; более того, Ь0 - решетка относительно стандартно определяемых операций пересечения и объединения многообразий. Отметим, что Ь0 является полной под-решеткой решетки Ь многообразий всех £ -групп.
Целью работы является уточнение свойств о-аппроксимируемых многообразий, которые были введены и изучены в работах [3-5], и рассмотрение новых о-аппроксимируемых многообразий, которые представляются достаточно интересными.
Напомним некоторые стандартные обозначения и факты о решеточно упорядоченных и линейно упорядоченных группах, которые будут использоваться в дальнейшем. Пусть х - произвольный элемент £ -группы О. Тогда |х| = х V х- -его модуль, х+ = х V е - положительная часть. Для положительных элементов
х, у е О запись х << у означает, что для любого п е N верно хп < у (х много меньше у). Если существуют такие числа т, п е N что хп >у и у" > х, то элемент х архимедово эквивалентен элементу у, этот факт символически обозначается х ~ у. Всюду подгруппа Н линейно упорядоченной группы О линейно упорядочена посредством индуцированного порядка, т.е. х <у в Н тогда и только тогда, когда х < у в О.
Так как каждая I -группа в Я есть поддекартово произведение линейно упорядоченных групп, то любое о-аппроксимируемое многообразие X определяется линейно упорядоченными группами, содержащимися в нем. Чтобы проверить, будет ли любая £ -группа в X удовлетворять некоторому тождеству, достаточно показать, что линейно упорядоченные группы в X удовлетворяют ему.
Подгруппа Н линейно упорядоченной группы О называется выпуклой, если для любых И\, И2 е Н, g е О неравенство И\ < g < И2 влечет g е Н. Система Ь(О) всех выпуклых подгрупп линейно упорядоченной группы О линейно упорядочена относительно теоретико-множественного включения, является полной относительно объединений и пересечений и инфраинвариантной, т.е. для любой Н е Ь(О) подгруппа g lHg е Ь(О) для любого g е О. Скачком выпуклых подгрупп будем называть всякую пару С, Б е Ь(О), что С с Б и между ними нет выпуклых подгрупп. Этот факт будем записывать в виде С ■ Б. Так как между С и Б нет выпуклых подгрупп, то С < Б и фактор-группа Б/С архимедова, что в силу теоремы Гель-дера означает, что она изоморфна подгруппе аддитивной группы Я действительных чисел с естественным порядком. Отметим, что всякий неединичный элемент g е О определяет скачок С ■ Б выпуклых подгрупп, где С - наибольшая выпуклая подгруппа со свойством g г С, Б - наименьшая выпуклая подгруппа со свойством g е Б. Для скачка С ■ Б и любого х е О пара подгрупп С с Б образует скачок, который называется сопряженным с исходным скачком. Если Б = Бх, то будем говорить, что скачок С ■ Б инвариантен относительно сопряжения элементом х. Далее, будем считать, что элементы х, у группы О лежат в одном скачке (определяют один скачок), если найдется такой скачок С ■ Б выпуклых подгрупп, что х, у е Б \ С. Очевидно, что х ~ у тогда и только тогда, когда эти элементы определяют один скачок выпуклых подгрупп, а х << у тогда и только тогда, когда скачок выпуклых подгрупп, определяемый х, расположен в системе Ь(О) ниже скачка, определяемого у. Поэтому в любой упорядоченной группе всегда выполнено |[х, у]| << |х| V |у|.
Пусть Уь У2 е Ь, тогда У накрывает У2, если У з У2, У Ф У2 и из У з из У2 следует VI = и или У2 = и. Отметим, что решетка Ь всех многообразий решеточно упорядоченных групп обладает свойством накрытия [2].
Через уаг^ (О) обозначаем многообразие I -групп, порожденное I -группой О.
2. Основной результат
В работе [6] Н.Я. Медведев построил первое о-аппроксимируемое многообразие У, которое не имеет накрытий в решетке Ь0 и содержит все о-аппроксимируемые накрытия многообразия абелевых I -групп А. Позднее в [5] были определены еще четыре о-аппроксимируемых многообразия с аналогичными свойствами. Покажем, что на самом деле этих многообразий в два раза меньше.
Далее, если не оговорено противное, рассматриваются только о-аппроксими-руемые многообразия. Через Н обозначим многообразие, задаваемое следующей
бесконечной системой тождеств:
|(|[х,у]|2 V(|х| V|у|)|[х,у] (х| V|у|)-1)| [х,у]|-21 л
|([х^у]Г л(х| V|у|)[х,у]| (х|VIу|)-1)| [х^_у]|-т|= е, (2)
где m > 3 - натуральное число. Это многообразие было введено и изучалось в [5]. В частности, доказано, что H не имеет накрытий в решетке L0 и строго содержит V (Теоремы 1, 3).
В работе [3] было введено многообразие C, определяемое при помощи следующей бесконечной системы тождественных неравенств: ([а, Ь] V e) л a << a V где e < a < Ь. Очевидно, что указанную систему тождественных неравенств можно записать в виде
[а, Ь]+ л a << a[a Ь]+. (3)
Основным результатом работы [3] стало доказательство того, что многообразие C содержит все о-аппроксимируемые накрытия многообразия абелевых £ -групп A. В работе [4] было доказано, что V строго содержится в C. Наконец в [5] (Теорема 2) показано, что C не имеет накрытий в решетке L0.
В работе [7] М.Е. НиББ и КЯ. ЯеШу на решетке Ь всех многообразий £ -групп определили нетождественный автоморфизм 2-го порядка © следующим образом. Пусть U = {Оi | i е I} - некоторое многообразие £ -групп. Тогда ©(Ц) = U = = {О i | I е I}, где £ -группа О i получена из Оi обращением порядка, т.е. х <у в группе О i тогда и только тогда, когда х > у в группе О,-.
В этой же работе был указан способ получения базиса тождеств Ц, если известен базис тождеств многообразия Ц. Пусть х = (х1,х2,...,хп)- набор переменных, Тогда всякое £ -групповое слово V (х) от этих переменных представимо в виде V (х) = V л (х), где I, 3 - конечные множества индексов, (х) -групповое слово. Отметим, что такое представление не является единственным. Определим ^Я(х) = V л (м>и(х)-1). Тогда V(х) = е - тождество Цтогда и только тогда,
когда V Я(х) = е - тождество Ц . Несложно проверить следующие соотношения:
1) если V = w1 • w2, то Vя = ^2Я • ;
2) если V = w1 V w2, то wЯ = w1Я V w2Я ;
3) если V = w1 лw2, то wЯ = w1Я лw2Я ;
4) (w-1)Я = (Vя )-1;
5) МЯ = |^|.
Используя эти факты, можно показать, что многообразие Я всех о-аппрокси-мируемых £ -групп реверсивно, т.е. Я = Я . В [5] (Предложение 2) показано, что V = V. Следовательно, многообразия Н, С о-аппроксимируемы, строго содержат V, не имеют накрытий в решетке Ь0 и определяются соответственно тождествами:
Н* :|(|[х,у]|2 V(х|VIу|)-11[х,у]| (|х|V|у|))|[х,у]|-2|л ЦМГ л(х|V|у|)-1 |[х,у]| (х|VIу))| [х,у]|-т|= е; (4)
С : [а, Ь]+ л а << [а Ь]+а. (5)
Пусть Бр - бесконечная циклическая подгруппа мультипликативной группы положительных действительных чисел, порожденная числом р Ф 1, и А - такая
подгруппа аддитивной группы Я действительных чисел с естественным порядком, что для любого a е A верно Pa, р-1а е A. Полупрямое произведение A и Вр обозначим через 7р = AAВр. Всякий элемент g е Tp единственным образом можно
представить в виде g = (Р к, а), где а е A, к е Z. Операция умножения элементов определена по правилу
(Рк, а!)(Р^, а2) = (Рк+*, Р^ + а2).
Считаем, что g = (Р к, а) > е тогда и только тогда, когда к > 0 или к = 0 и а > 0. Тогда 7р - линейно упорядоченная группа.
В работе [5] (Леммы 3 - 6) доказано, что многообразие Н содержит 7Р при Р > 1 и не содержит 7р, если р < 1, а многообразие С не содержит 7р при р > 1 и содержит 7р при р < 1. Из сказанного выше, очевидно, следует, что Н Ф С.
Несложно показать, что (7р )* = 7 ! Следовательно, многообразие С* содержит 7р
при р > 1 и не содержит 7р, если р < 1.
Как обычно, лексикографическое произведение линейно упорядоченных групп О и Н обозначаем О х Н . Ясно, что О х Н является линейно упорядоченной
группой. Предложение 2 работы [4] утверждает, что многообразие С (а следовательно, и С*) замкнуто относительно лексикографических произведений. Следующее утверждение показывает, что это не так.
Предложение 1. При любых р, а Ф 1 линейно упорядоченная группа 7р х 7а
не принадлежит многообразию С.
Доказательство. Возможны следующие случаи: 1) р, а < 1, 2) р > 1 > а , 3) Р, а > 1, 4) р < 1 < а. Рассматривая первый случай, полагаем а = ((1, г), (1,0)), где
г > 0 и Ь = ((Р-2,0), (а,0)). Из определения лексикографического порядка и порядка на группе 7р следует е < а < Ь. Непосредственные вычисления показывают,
что [а, Ь] = ((1,(Р-2 - 1)г),(1,0)) > е. Следовательно, а [а, Ь] = ((1,р-2г),(1,0)) > е и а л [а, Ь] = ((1, г1), (1,0)), где г1 = шт(г,( р-2 - 1)г), что влечет а л [а, Ь]~ а [а, Ь]. Противоречие с системой неравенств (3); поэтому в рассматриваемом случае многообразие С не замкнуто относительно лексикографических произведений.
Во втором случае рассмотрим а = ((1,г), (1,0)), г > 0 и Ь = ((р2,0), (а,0)). Очевидно, что е < а <Ь и [а,Ь] = ((1,(р2 - 1)г), (1,0)) > е. Теперь, как и выше, получаем а л [а, Ь] = ((1, г1), (1,0)), где г1 = шт(г,( р-2 - 1)г), а [а, Ь] = ((1, р2г),(1,0)) > е, что противоречит системе неравенств (3).
В двух последних случаях берем а = ((1,0), (1, г)), г > 0 и Ь = ((1,0), (а, 0)). Ясно, что е<а<Ь и [а,Ь] = ((1,0),(1,(а-1)г))>е. Следовательно, ал[а,Ь]~а[а,Ь], что невозможно. #
В работе [5] было показано, что многообразие Н не замкнуто относительно лексикографических произведений, что позволяло утверждать, с учетом Предложения 2 из работы [4], что С Ф Н . На самом деле верно.
Предложение 2. Многообразие £- групп С совпадает с многообразием £- групп Н .
Доказательство. Пусть С Ф Н . Тогда найдется линейно упорядоченная группа, отличающая эти многообразия. Предположим сначала, что существует линейно упорядоченная группа О е Н* \ С. Тогда в ней найдутся такие Ь > а > е, что для них не имеет места система неравенств (3).
Если [а, Ь] < е, то [а, Ь]+л а = е и а [а, Ь]+= а, следовательно, система неравенств (3) выполнена. Поэтому [а,Ь] >е, что влечет аь >а. Если аь >>а, то [а, Ь] >> а, и в этом случае, имеет место система неравенств (3). Следовательно, аь ~ а. Предположим, что Ь ~ а. Тогда [а, Ь] << а, что означает выполнимость системы неравенств (3). Значит, аь ~а <<Ь.
Рассмотрим скачок С ■ Б выпуклых подгрупп, определяемый элементом а. Из архимедовой эквивалентности элементов а и аь следует, что они лежат в одном скачке. Поэтому указанный скачок инвариантен относительно сопряжения элементом Ь. Обозначим через Е подгруппу группы О, порожденную элементом
Ь и подгруппой Б. Ясно, что С < Е. В силу условия аЬ ~ а <<Ь получаем, что Ь >> ё, где ё е Б и поэтому индуцированный Е порядок на фактор-группу Е / С является лексикографическим. Используя теорему о гомоморфизмах, видим, что фактор-группа Е/С порядково изоморфна полупрямому произведению (Б/С) А (Ь), где Ь - образ элемента Ь при естественном гомоморфизме группы Е на Е / С. Отождествив Б / С с соответствующей подгруппой аддитивной группы Я действительных чисел с естественным порядком, получаем, что автоморфизм сопряжения Ь элементов группы Б / С есть умножение на некоторое положительное действительное число р. Если Р = 1, то это влечет [а, Ь] еС, что означает [а, Ь] << а, а это, как отмечено выше, влечет выполнимость системы неравенств (3). Поэтому, в силу условия аЬ >а, получаем, что р> 1. Таким образом, Н* содержит группу Тр при Р> 1, что невозможно.
Предположим теперь, что существует линейно упорядоченная группа ОеС\Н*. Тогда в ней найдутся такие х,у и натуральное т > 3, что
|[х,у]|2 <(|х|VIу|)-1|[х,у]| (|х|VIу|)<|[х,у]|т . Последнее неравенство означает, что |[х,у]|~ | [х,у] | Iх'. Если, как и выше, рассмотреть скачок С ■ Б выпуклых подгрупп, определяемый элементом |[х,у]|, то он будет инвариантен относительно сопряжения элементом | х | V | у |. Теперь, повторяя рассуждения, приходим к выводу, что С содержит группу Тр при р> 1, что невозможно. #
Таким образом, Теорема 4 работы [5] может быть переформулирована следующим образом: «Многообразия I- групп V, С, С* различны».
Пусть Цра= уаг^ (ГрХ Та). Рассмотрим многообразие X = С VС*. Хорошо известно (см., например, [6], Лемма 4), что всякая линейно упорядоченная группа из объединения двух многообразий принадлежит одному из них. Учитывая Предло-
жение 1, получаем, что линейно упорядоченная группа Тр х Та не принадлежит многообразию X при любых р, а ф 1. Следовательно, многообразие Пр а не содержится в X и поэтому X с Я.
Для произвольного положительного числа Рф 1 и натурального п через Т^п
обозначим подгруппу группы Тр элементов вида g = (впк, а), где а е А, к е Z. Теперь в группе Тр х Та для натуральных п, т можно рассмотреть подгруппу
Трп х Тат . Далее, Прп,ат = УЗГ^ (Трп х Тат ).
Предложение 3. Для подходящих натуральных чисел п, т многообразие I- групп П^п ат строго содержится в многообразии I- групп Пр а.
Доказательство. Рассмотрим случай р<1 <а. Найдутся натуральные числа
п, т, (, к, такие, что р-1 <к <р-п, а <к,(<ат.
Пусть х,уе Т^п х Т^т. Тогда | х | V| у|= (g1,g2), где gl = (рпк1,а!),
g2 = (атк2,а2). Из определения лексикографического порядка на группе Т^„ хТ^т
следует, что g2 > е или g2 = е и g1 > е. Модуль коммутатора |[х, у] |= ((1, а3), (1, а4)) и а4 > 0 или а4 = 0 и а3 > 0.
Пусть а4 > 0. Тогда g 2> е и, более того, к2 > 0. Следовательно,
|[х,у]||х|у|у| = ((1,рпк1 а3),(1,атк2а4)). Так как атк2 >ат >г, то |[х,у]||хМу| >|[х,у]|(.
Далее, пусть а4 = 0 и а3 > 0. Тогда к; ф 0. Если к; < 0, то рпк1 = р-п(-к1) >к.
Следовательно, рпк1 а3 >ка3, что влечет |[х,у]||х|у|у| >|[х,у]|к . Если к1 > 0, то
рпк1 <рп < 1. Поэтому впк1ка3 <а3, что означает к
(| х | V| у |)-1 |[х,у]|к (| х | V| у |)<|[х,у]|. Разобранные случаи позволяют утверждать, что тождество
|(| [х,у]| А|[х,у]||х^М)|[х^у]Г|А А|(|[х,у]|к А |[х,у]||хМу|)|[х,у] |к | А А | (| [х,у]| V (| х | V! у |)-1 |[х,у]|к (| х | V| у |)) | [х,у]|-1|= е (6)
верно в группе Т^п х Т^т, значит, и в любой группе из многообразия ат.
Покажем, что (6) не выполнено в группе Трх Та. Пусть х = ((1,0), (1, г)), где г > 0 и у = ((1,0), (а,0)). Ясно, что у > х > е. Поэтому | х | V| у| = у и [х, у] = ((1,0), (1, г1)) > е, так как г1 = (а -1) г > 0. Следовательно, выполнено (| х | V | у |)-11[х, у]| (| х | V | у |) = ((1,0), (1, аг1)). Так как а < /, то аг1 < (г1. Значит, имеет место следующее неравенство: (| х | V| у|)-1 |[х,у]| (| х | V| у|)<|[х,у]|*. Неравенство (| х| V| у|)-11[х,у]| (| х| V| у|)<|[х,у]|к вытекает из неравенства а<к. Очевид-
но, что ak >1 и поэтому (| x| v|y|) 1 |[x,y]|k (| x| v|y|)>|[x,y]|. Остальные случаи
рассматриваются аналогично. #
Теперь можно показать, что многообразие R всех о-аппроксимируемых £- групп не является накрытием X в решетке L0. Действительно, предположив противное, получим, что верно R = X v Up a = X v a„ для подходящих натуральных чисел n и т. Отсюда вытекает Tp х Ta e X или Tp х Ta e Ua„, что одинаково невозможно. Однако открытым остается вопрос о существовании накрытия X в решетке L0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984. 300 с.
2. Kopytov V.M., Medvedev N.Ya. The theory of lattice-ordered groups. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1994. 374 p.
3. Andersen M., Darnel M., Feil T. A variety of lattice-ordered groups containing all repre-sentable covers of the abelian variety // Order. 1991. V. 7. P. 401-405. DOI: 10.1007/ BF00383204.
4. Молочко С.В., Морозова С.В. К теории многообразий решеточно упорядоченных групп // Сибирский матем. журнал. 1997. Т. 38. № 1. С. 151-160.
5. Medvedev N.Ya., Morozova S.V. On covers in the lattice of representable ^-varieties // Czechoslovak Mathematical Journal. 1998. V. 48(123). P. 821-831.
6. Медведев Н.Я. О решетке о-аппроксимируемых i- многообразий // Czechoslovak Mathematical Journal. 1984. V. 34(109). P. 6-17.
7. Huss M.E., Reilly N.R. On reversing the order of a lattice ordered group // J. Algebra. 1984. V. 91. P. 176-191. DOI: 10.1016/0021-8693(84)90133-9.
Статья поступила 12.11.2019 г.
Bayanova N.V., Zenkov A.V., Prusakova G.V. (2020) ON THE THEORY OF REPRESANTABLE VARIETIES OF LATTICE-ORDERED GROUPS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 65. pp. 22-29
DOI 10.17223/19988621/65/2
Keywords: lattice-ordered group, representable varieties, cover.
Recall that a lattice-ordered group (or I - group, for short) is an algebraic system G of a signature i = ^e,-1, •, л, v^ combining the structure of a group and the structure of lattice that are naturally related via x(u v v)y = xuy v xvy, x(u л v)y = xuyл xvy. An I -group G is totally ordered if every two elements of G are comparable.
The non-empty class M of I - group is an I - variety if and only if M is closed under the formation of I - subgroup, the homomorphic images and the Cartesianproducts [1, 2]. The set L of all I - varieties is a lattice under naturally defined operations of join and meet [1, 2]. Let U,V be I - varieties and U с V .If there is no I - variety S such that U с S с V, then V covers U in the
lattice L. The i -variety R defined by the identity (x л y y )v e = e is called the i -variety of representable I - groups. Any I - variety V, V с R is called a representable I - variety. Since each I -group in R is a subdirect product of totally ordered groups, any representable I -variety is uniquely determined by it's totally ordered groups. The set L0 of all representable I - varieties is a complete lattice under naturally defined operations of join and meet [2].
Let Bp be an infinite cyclic subgroup of the multiplicative group of positive real numbers generated by the number p^ 1 and A is a subgroup of the additive group of real numbers such a e A implies Pa, p~'a e A. Let Tp={(pk,aa e A, k e Z } be a splitting extension of A by Bp . The group Tp is a totally ordered group by the lexicographic order, i.e. g = (Pk, a) > e if and only if k>0 or k=0 and a >0. The set Tp„ ={ (pnk,a)} is a subgroup of the group Tp for any natural n . We denote by TpX Ta the lexicographic product of the totally ordered groups Tp and Ta. It is clear that TpX Ta is a totally ordered group. In the works [1-6] were introduced and studied the representable £ - varieties V, C, C , H, H . We prove
Proposition l.The totally ordered group TpX TagC for any a,p^1. Proposition2.The £ -variety C is equal to the £ -variety H *. Hence, the set {V, C, C*, H, H*} has three elements.
Denote by Up a and U^n varieties which are generated by the group TpX Ta and her
subgroup Tp„ x Tam respectively. There is the following
Proposition 3. For suitable natural numbers n, ma variety Up„ is strictly contained in Up a .
In the ending, using Proposition 3, it is proved that the £ -variety R is not a cover of an £ - variety C v C .
AMS Mathematical Subject Classification: 06F15, 08B15
Nadezhda V. BAYANOVA (Candidate of Physics and Mathematics, Altai State University, Barnaul, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Alexey V. ZENKOV (Candidate of Physics and Mathematics, Altai State Agricultural University, Barnaul, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Galina V. PRUSAKOVA (Senior Lecturer, Altai State Agricultural University, Barnaul, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Kopytov V.M. (1984) Reshotochno uporyadochennye gruppy [Lattice-ordered groups] Moscow: Nauka.
2. Kopytov V.M., Medvedev N.Ya. (1994) The Theory of Lattice-Ordered Groups. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers.
3. Andersen M., Darnel M., Feil T. (1991) A variety of lattice-ordered groups containing all representable covers of the abelian variety. Order. 7. pp. 401-405. DOI: 10.1007/BF00383204.
4. Molochko S.V., Morozova S.V. (1997) On the theory of varieties of lattice-ordered groups. Sib. Math. J. V. 38(1). pp. 127-135.
5. Medvedev N.Ya., Morozova S.V. (1998) On covers in the lattice of representable ^-varieties. Czech. Math. J. V. 48(4). pp. 821-831.
6. Medvedev N.Ya. (1984) O reshetke o-approksimiruemykh ^-mnogoobraziy [On the lattice of o-approximable ^-varieties] Czech. Math. J. V. 34(1). pp. 6-17.
7. Huss M.E., Reilly N.R. (1984) On reversing the order of a lattice ordered group. J. Algebra. V. 91 pp. 176-191. DOI: 10.1016/0021-8693(84)90133-9.
Received: November 12, 2019
