О свободных m-группах и m-произведениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.545

С.В. Вараксин

О свободных m-группах и т-произведениях S.V. Varaksin

On Free m-Groups and Free m-Products

Получено представление свободной т-группы автоморфизмами линейно упорядоченного множества, построены свободная т-группа над 1-группой и свободное т-произведение т-групп. Ключевые слова: многообразия т-групп, свободная т-группа, свободное т-произведение.

There are received the representation of a free m-group with automorphisms of the linearly ordered set, built the free m-group over the ^-group and the free m-product of m-groups.

Key words: varieties of m-groups, free m-group, free m-product.

Введение. Напомним, что т-группой называется алгебраическая система О сигнатуры т = {•, в,-1, V, Л, ф), где {О, •, в,-1 , V, Л) является 1-группой и одноместная операция ф есть автоморфизм второго порядка группы {О, •, в,-1) и антиизоморфизм решетки {О, V, Л), т.е. для любых х,у € О верны соотношения

ф(ху) = ф(x)ф(y), ф(ф(х)) = x, ф(х V у) = ф(х) Л ф(у),ф(х Л у) = ф(х) V ф(у).

В дальнейшем т-группу О с фиксированным автоморфизмом ф записываем как пару (О,ф).

1. Свободные т-группы. В работе [1] дано определение и описание свободных т-групп. Пусть Б = {в0}*е/ — множество порождающих, Б' = ^1}ге1 — его копия, фо : Б0 и Б1 ^ Б° и Б1, ф°(^) = 31-е, £ = 0,1. Обозначим через Ьзив' свободную 1-группу с множеством порождающих Б и Б', а через ф — преобразование на Ьзив1, определенное как

ф(уЛП 3 ) = ЛУП *«(3 )

г з к г з к

Теорема 1 [1]. Свободная 1-группа Ьзив' с

операцией ф является свободной т-группой с множеством порождающих Б.

Пусть Г (Х° и Х1) — свободная группа с множеством порождающих Хо и Х1 = {х°, х]. |в € Б, }. Через КО обозначается множество всех правых порядков группы Г(Х° и Х1) . Правоупорядоченную группу Г(Х° и Х]) с правым порядком Р € КО обозначим (Г, Р), а через Г * — декартово

произведение Г * = П А(Г,Р) 1-групп А(Г, Р), р епо

Р € КО. Определим на 1-группе Г * реверсивный автоморфизм в, построенный в работе [2]: для / € Г* компонента в(/)(Р) = /(Р-1), где Р-1 — противоположный правый порядок к Р.

Обозначим через Г£(Х° и Х1) 1-подгруппу группы Г* , порожденную правым регулярным представлением группы Г(Х° и Х1) на каждом сомножителе А(Г,Р). В [2] показано, что отображение в переводит 1-подгруппу Г£(Х° и Х1) в себя. При д = Пх^ ,£г = 0,1 выполнено в(д) = д и

г

в является антиизоморфизмом решетки 1-группы Г*. Обозначим через ф' автоморфизм 1-группы Ге(Х° и Х1), определенный отображением порождающих ф'(хе8) = х\-£, а через ф — произведение отображений ф = ф'в. Тогда 1-группа Г£(Х° и Х1) с отображением ф является т-группой, при этом Х1 = ф(Х°).

Теорема 2. т-группа (Г£(Х°иХ1), ф) является свободной т-группой с множеством порождающих Х°.

Доказательство. П. Конрад [3] доказал, что 1-группа Г£(Х° и Х1) является свободной 1-группой многообразия всех 1-групп с множеством порождающих Х° и Х1. Пусть (О, ф) — произвольная т-группа с множеством порождающих У = {уя|в € Б,}. Тогда О — 1-группа с множеством порождающих У и ф(У) = {у3, ф(у3)1в € Б, }, и отображение порождающих ф° : х° ^ у8,ф° : х\ ^ ф(у8) продолжается до 1-гомоморфизма ф : Г£(Х° и Х]) ^ О. При этом отображения ф и ф' являются антиавтоморфизмами решеток, поэтому фф = фф'. Значит, отображение порождающих ф° : х° ^ уа продолжается до т-гомоморфизма ф.

Пусть О — 1-группа. Обозначим через О* двойственную 1-группу к О, т.е. с тем же основным множеством и групповыми операциями и решеточными операциями объединения и пересечения, совпадающими соответственно с операциями пересечения и объединения 1-группы О. Многообразие 1-групп V называется реверсивным, если из О €V следует О* € V [4].

Пусть V — реверсивное многообразие 1-групп и Vm — многообразие т-групп, задаваемое

О свободных т-группах.

1-тождествами из V. Описание свободных 1-групп многообразия V дано В.М. Копытовым [5]. Пусть Q класс групп, вложимых в 1-группы из V. Известно, что Q является квазимногообразием [6]. Пусть Гд = Гд(Х° иХ\) — свободная группа квазимногообразия Q с множеством порождающих Х° и Х1 = {х^х^з € Б, }. Обозначим через КО множество всех правых порядков группы Гд, а через (Гд,Р) — правоупорядоченную группу Гд с правым порядком Р € КО. Для каждого правого порядка Р группы Гд и для каждой выпуклой подгруппы Н в (Гд, Р) множество К(рар)(Н) правых смежных классов Гд по Н линейно упорядочено посредством отношения: Нх ^ Ну тогда и только тогда, когда х ^ у в правоупорядоченной группе (Гд,Р).

В 1-группе А(Щра р)(Н)) всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества К(ра,р)(Н) рассмотрим 1-подгруппу АН(Р), порожденную всеми правыми сдвигами (а)Кн множества Щра,р)(Н), где (Нх)(а)Кн = Нха для каждого а € Гд. В каждой правоупорядоченной группе (Гд, Р) существует наименьшая выпуклая подгруппа Н(Р) такая, что АН(р)(Р) € V. Обозначим эту 1-группу АН(Р)(Р) через А(Р). Следующее утверждение основано на том, что для реверсивного многообразия V если АН(р)(Р) € V, то и ан(р-1)(Р ^ € V.

Предложение 3. Для реверсивного многообразия 1-групп

Н (Р ) = Н (Р-1). (*)

Через Г * обозначим декартово произведение

Г * = П А(Р) 1-групп А(Р), Р € КО. Рассмот-р епо

рим на 1-группе Г * отображение в из: для / € Г * компонента в(/)(Р) = /(Р-1), где Р-1 — противоположный правый порядок к Р. В [2] показано, что для 1-многообразий с условием (*), в частности, для реверсивных 1-многообразий, отображение в является реверсивным автоморфизмом. Обозначим через Гу(Х° и Х\) 1-подгруппу I-группы Г*, порожденную элементами х°,х].,з €

Б, хе8(Р) = хе8Кн(р).

Так же, как и в предыдущем случае, обозначим через ф' автоморфизм 1-группы Гу(Х°иХ1), определенный отображением порождающих ф'(хЕэ) = х\-£, а через ф - произведение отображений ф = ф'в. Тогда 1-группа Гу (Х° и Х-\) с отображением ф является т-группой, при этом Х1 = ф(Х°).

Теорема 4. т-группа (Гу(Х° и Х1),ф) является свободной т-группой т-многообразия Vm с множеством порождающих Х°.

Доказательство. Доказательство основано на следствии 4.2 из [1] : если V — реверсивное многообразие 1-групп, то свободная т-группа многообразия Vm т-групп с множеством порождающих

Б = {в? 1г € I} — это (Ьу^я',Г), где Ьу,яя' —

V-свободная 1-группа с множеством свободных порождающих Б и Б' (Б' = {з1^ € I} это копия Б) и Г — единственный реверсивный автоморфизм со свойством Г (8°) = з1 и Г (в1) = 3°. В.М. Копытовым (см.: [5]) доказано, что 1-группа Гу (Х° и Х\) является свободной 1-группой многообразия V с множеством порождающих Х° иХ1. Далее доказательство повторяет доказательство предыдущей теоремы.

Пусть О — 1-группа. Назовем т-группу Г свободной над О, если существует 1-изоморфизм п : О ^ Г такой, что п(О) порождает Г как т.-группу, и для произвольного 1-гомоморфизма а° 1-группы О в т-группу Г' существует т-гомо-морфизм а : Г ^ Г' такой, что а° = па.

Пусть О — 1-группа и О° — 1-группа, изоморфная О, а 1-группа О1 — двойственная 1-группа к О°. Обозначим через ф0 тождественное отображение О° в О1 . Тогда

фо(дН) = фо(д)фо(Ь),

фо(д V Н) = фо(д) л фо(Ь)

и фо(д Л Н) = фо(д) V фо(Н).

Мартинес показал (см.: [5]), что для любого семейства {О7}7ег 1-групп существует их свободное 1-произведение П*О7. Следуя его рассужде-

тег

ниям, можно показать, что для любого семейства {О7}7ег 1-групп 1-многообразия VI существует их свободное 1-произведение П уе О7 в этом 1-многообразии. 7ег

Обозначим через Г свободное 1-произведение 1-групп О° и О1 : Г = О° * О1. Определим на Г

преобразование ф : для

д = У /\д1фо(д2) •... • д2к-1фо(д2к)

гз

положим

ф(д) = Д Vфо(д1)д2 •... • фо(д2к-1)д2к.

гз

Предложение 5. Отображение ф определено корректно и является реверсивным автоморфизмом второго порядка 1-группы Г.

Доказательство. Пусть О° = Г°/Н° — факторгруппа свободной 1-группы Г° с тем же множеством порождающих Х° по идеалу Н°, а Г1 — свободная 1-группа с множеством порождающих Х1 = фо(Х°). Тогда Н1 = фо(Н°) — идеал в Гь и если N — идеал свободной 1-группы Г°д с множеством порождающих Х = Х° и Х1 , порожденный 1-подгруппами Н° и Н1, то Г = Г0?/N (см.: [5]).

Теперь доказательство предложения превращается в рутинную проверку.

Следствие 6. Решеточно упорядоченная группа Г совместно с реверсивным автоморфизмом ф образует т-группу.

Теорема 7. Для любой 1-группы О существует т-группа, свободная над О.

Доказательство. Достаточно проверить, что определенная выше т-группа (Г, ф) является свободной т-группой над О. Поскольку для д € О0 выполнено ф(д) = фо(д), то 1-подгруппы О° и О1 порождают всю Г как 1-группу. Пусть (Г', ф') — произвольная т-группа, и а° — 1-гомоморфизм из О° в (Г',ф'). Тогда а1 = а°ф — 1-гомоморфизм из О1 в (Г , ф ). По определению свободного 1-произведения существует 1-гомоморфизм

а, продолжающий а0 и а1. Несложно проверить, что аф = ф'а, поэтому 1-гомоморфизм а является т-гомоморфизмом.

2. Свободные т-произведения. Пусть

{(Оа,фа),а € А} - некоторое множество

т-групп. Назовем т-группу (О*,ф*) и систему т-изоморфизмов фа : (Оа,фа) ^ (О*,ф*) свободным т-произведением Пtn(Оa, фа) т-групп

аеА

{(Оа, фа), а € А}, если

1) О* = т-гр{фа(Оа), а € А}

2) для любой т-группы (О, ф) и системы т-гомоморфизмов ва : (Оа,фа) ^ (О,ф) найдется т-гомоморфизм в : (О*,ф*) ^ (О,ф) такой, что ва = фав для любого а € А.

Понятно, что если свободное произведение т-групп существует, то оно единственно.

Теорема 8. Для любого семейства т-групп {(Оа,фа),а € А} существует их свободное т-произведение П nn(Оa, фа).

аеА

Доказательство. Определим группы

(Оа,фа) = т-гр{ха^ 1в € Ва}. Обозначим через

(Г°, ф°) = т-гр{хав 1а € А, в € Ва}

и

(Га, ф'а) = т-гр{хав 1в € Ва}

свободные т-группы над тривиально частично упорядоченными свободными группами с порождающими {хар, а € А, в € Ва} и {хар, в € Ва} соответственно. Тогда (Оа, фа) = (Га, ф'а)/^а, ф'а)

для некоторого m-идеала (Ка,ф'а)- Пусть (N0,^0) — m-идеал в (F0,^0), порожденный {w(x\, ..., Xk)\w(xi,.. ., Xk) £ Na, a £ A}, m-группа (G*,ф*) = (Fo,po)/(No,po), и для

x У Л ф ajl (xij1) . . . фа ' (xijk) G (Ga: фа):

определим

фа(x)

£ijl = 0 или 1

V Л ф0j (xiji)... фє0"зк (xijk)No.

Тогда фа — гомоморфизм из (Оа, фа) в

(О*,ф*).

Пусть теперь (О, ф) произвольная т-группа и ва : (Оа,фа) ^ (О,ф) — т-гомоморфизмы. Определим отображение в : (О*,ф*) ^ (О,ф) на порождающих в(хавЩ) = ва(харNа), а для остальных элементов т-группы (О* , ф* ) в соответствии с операциями т-группы. Несложно проверить, что отображение в определено корректно и является т-гомоморфизмом.

Чтобы показать, что отображения ва являются т-изоморфизмами, достаточно взять в качестве т-группы (О,ф) одну из т-групп (Оа0 ,фа) и отображения .

Ы, а = а°

Е, а = а°.

ва =

Пусть теперь {(Оа,фа),а € А} — некоторое множество т-групп т-многообразия Vm. Назовем т-группу (О* , ф* ) и систему т-изо-морфизмов фа : (Оа,фа) ^ (О*,ф*) свободным Vm-произведением П * (Оа,фа) т-групп

аеА

{(Оа, фа), а € А}, если

1) О* = т-гр{фа(Оа), а € А} принадлежит т-многообразию Vm;

2) для любой т-группы (О, ф) из Vm и системы т-гомоморфизмов ва : (Оа,фа) ^ (О,ф) найдется т-гомоморфизм в : (О*,ф*) ^ (О,ф) такой, что ва = фав для любого а € А.

Теорема 9. Для любого семейства т-групп {(Оа,фа),а € А} т-многообразия Vm существует их свободное Vm-произведение П ут (Оа, фа).

Доказательство аналогично даоекАазательству теоремы 7.

Библиографический список

1. Giraudet M., Rachunek J. Varieties of half lattice ordered groups of monotonic permutations of chains // Czech. Math. J. - 1999. - V. 49(124).

2. Баянова Н.В., Медведев Н.Я. Реверсивные автоморфизмы свободных ^-групп // Алгебра и логика. - 2004. - Т. 43, №2.

3. Conrad P. Free Lattice-Ordered Groups // J. Algebra. - 1970. - V. 16.

4. Huss M.E., Reilly N.R. On reversing the order of a lattice ordered group // J. Algebra. - 1984. -V. 91, №1.

5. Kopytov V.M., Medvedev N.Ya. The theory of lattice-ordered groups. - Dordrecht; Boston; London, 1994.

6. Мальцев А.И. Алгебраические системы. -М., 1970.