К СИММЕТРИЙНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 3-ГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 1 (2024). С. 3-10. УДК 517.957

К СИММЕТРИЙНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 3-ГО ПОРЯДКА.

М.Ю. БАЛАХНЁВ

Аннотация. Представлены новые результаты в рамках симметрийной классификации интегрируемых эволюционных векторных уравнений 3-го порядка. Предложенная А.Г. Мешковым и В.В. Соколовым техника позволила найти 12 уравнений, удовлетворяющих необходимым условиям интегрируемости. Сделан краткий обзор, всех имеющихся на сегодняшний день уравнений рассматриваемого типа, а также даны пояснения вычислительных трудностей, не позволяющих завершить задачу классификации в общем виде.

Наложение разумных дополнительных ограничений на вид уравнений при проведении классификации дало возможность довести расчеты до конца. Найденные уравнения имеют несколько нетривиальных сохраняющихся плотностей, и поэтому, скорее всего, являются точно интегрируемыми. Доказательством интегрируемости могло бы служить представление Лакса или авто-преобразование Беклунда, однако их поиск -довольно трудоемкая задача, требующая убедительного мотива, например, прикладное значение какого-либо из уравнений.

Ключевые слова: интегрируемые векторные уравнения, канонические плотности, законы сохранения.

Mathematics Subject Classification: 37К10, 35Q53

1. Введение

Классическими примерами нелинейных эволюционных векторных уравнений 3-го порядка можно считать представленные в [6] обобщения мКдФ:

и г = и ххх - 6(и, и )и х,

иг = иххх - 3(и, и)их - 3(и, их)и.

Интерес к поиску интегрируемых векторных случаев возрос после публикаций [12] и [11], в которых авторы предложили эффективный метод классификации уравнений вида:

д П д И

и, = из + и 2/2 + и + и /с, и, = —, ип = , (1.1)

где и = и(¿, х) — вектор в евклидовом проетранетве Кга, а неизвестные функции ¡г зависят от скалярных произведений (иг, и^) = «[¿л, 0 ^ г ^ ] ^ 2. Перемениые «[¿л считают независимыми в силу произвольности размерности пространства Кга и, по сложившейся практике, порядком (огё. /) функции f = f (м[С,С|,... называют порядок старшей

производной у переменных «[¿л, входящих в аргументы этой функции.

M.Ju. Balakhnev, On the symmetry classification of integrable evolution equations of the 3rd order.

© Балахнев М.Ю. 2024. Поступила 10 января 2023 г.

На сегодняшний день в [1], [4], [5] и [7] получены списки интегрируемых уравнений (1.1) следующих типов:

Иг = (и2 + игН + ио/о)х , сга ¡г ^ 1; =и з + и г ¡г + Ио^, сга ¡г ^ 2; =и з + и2 ¡2 + ^ г/г + и ¡о, сга ¡г ^ 2, ОТа ¡о ^ 1;

и, =из- зи>

и[о,г] >-

'Що,о]

+ и г ¡г + и и, сга ^ 2.

Кроме того, ещё три классификационные задачи решены в [2], [3] и [10], где априорные ограничения относились не столько к неизвестным функциям сколько к наличию у (1.1) определенных свойств.

Цель данной работы — продвинуться в задаче классификации уравнений (1.1) и найти новые интегрируемые случаи.

Как и в процитированных выше работах, мы применяем симметрийный подход, основанный на построении канонических плотностей — специфических локальных плотностей законов сохранения, полученных при помощи формальных операторных рядов. Указанный метод предложен в [8], обобщен в [9], а его векторный вариант представлен в [11]. Суть техники состоит в том, что в качестве временного уравнения Лакса для (1.1) принимают + + + ¡гИх + ¡о)ф = 0 и выполняют в нем стандартную подстановку

ф = ехр

В результате получается уравнение типа Риккати:

(Бх + К)2 К + ¡2(Бх + К)К + ЬК + ¡о = Р, ОхР = ВД которое имеет формальные решения в виде

те те

к = х-г + ^ Рпхп, ^ = л-3 + ^ еп\п.

п=0 п=0

Подставив (1.3) в первое уравнение (1.2) приходим к рекуррентной формуле: 1

(1.2) (1.3)

Рп+2

3

дп — /о 5п,о — 2 ¡2 Рп+г — ¡2 Ох рп — /г рг,

п п+г

¡2^2 Рз Рп-8 Р* Рк Рп+

Ре Рп-в+г

«=0 О^з+й^га «=0

- Б,

1 ^ 1П '

Рп+г + 2 / у Рэ Рп-в + 3^хРп

в=0

3

п > 0.

Здесь символ Кронекера и

Ро = — з ¡2, Рг = 9 ¡2 — 1 !г + 3 Ох ¡2.

(1.4)

Теперь из второго уравнения (1.2), используя (1.3), мы получаем бесконечную серию законов сохранения

ОгРп = ДА, п = 0,1, 2,..., (1.5)

где рп и 9п функции переменных иц^]. При этом операторы дифференцирования определяются следующим образом

д

д

д

= ^ + £ и+ Ш.' А = ^ + £ (и з + ^2 + /ги г + №)

д

г=о

д и.

т ХК i=0

д и г

Правила дифференцирования скалярных произведений щ^д вытекают из равенства Охиг = и¿+1 и билинейности ск^ярного произведения, эволюционная производная вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции,

Рекурсионная формула позволяет находить функции вп непосредственно из (1.5), так как выражения для рп содержат вк, к ^ п — 2. Например,

Р2 — — i /о + i Öq — 81 /I + 9 /1/2 — Dx(9 /| + ^ Dx /2 — 1 fi

Функции рп называются каноническими плотностями уравнения (1.1) и выражаются через его коэффициенты. Таким образом, (1.5) являются по сути условиями для определения fr, именно поэтому (1.5) называют рга-условиями интегрируемости.

Удобным инструментом, позволяющим упрощать вид исследуемого уравнения при проведении классификации, являются точечные преобразования U ^ V:

и — (^м! у/2 у, (1,6)

V ^[0,0] )

где f — произвольная функция, так что f ' — 0. Вторая степень (1.6) выглядит достаточно просто: М[0,0] — f(v[0,0]), что говорит о невырожденности данного преобразования. Приведем другие допускаемые (1.1) преобразования. Масштабные преобразования:

X ^ £Х, t ^ £St. (1.7)

и ^ XU, U[i,k] ^ X2U[i,k]. (1.8)

Преобразование Галилея:

i — t, X — х + с t. (1.9)

Экспоненциальное преобразование:

и — ePt+kxV, jJ 1 — ePt+kX(V 1 + kv), Ut — ept+kx(Vt + pV), ..., (L10)

пых в смысле преобразования (1.8) уравнений.

Наряду с рассмотренными преобразованиями, уравнение (1.1) инвариантно относительно вращений в Ша : U' — OU, ООт — Е, поэтому при выполнении классификации иногда полезно перейти к сферической системе координат. Переход от декартовых координат к сферическим выполняется по следующим формулам:

U — RV, ^[о,о] — 1; Ux — RXV + RV_,

2 [ ] 2 2 (L11) U[0,0] — R , U[0,1] — RRX, U[i,i] — R V[11] + Rx,

где R — сферический радиус, а компоненты вектора V имеют смысл угловых переменных. Отметим, что дифференцирование равенства г>[0,0] — 1 дает г>[0д] — 0, г>[0,2] — — ^[1,1] и т.д. В результате, все переменные V[0,k], k > 1 выражаются через V[i,j], 1 ^ г ^ j ^ к. Формулы обратного преобразования нетрудно получить непосредственно из (1.11).

Определение 1.1. Если уравнение (1.1) приводится в переменных (1-11) к системе вида

Vt — V 3 + /2V 2 + /1V1 + /о V, f\ — fi(v [1,1], г>[1,2], V[2,2]),

Rt — R| + ^(R2,R1,R, i>[1,1], V[1,2], V[2,2]), то такая система называется, треугольной.

В настоящей статье мы не рассматриваем уравнения, которые переходят в треугольные системы, так как полный перечень интегрируемых на сфере векторных уравнений (1.1) получен в [11] (см. также [10]).

Результаты анализа условий интегрируемости

В работе [11] установлено, что четные плотности рп тривиальны, то есть р2п = Ох\п. Учитывая (1.4), без потерн общности можно положить, что ¡2 = §Ох (1п /), огё. f = 1. Анализ первого из условий (1.5) позволил определить зависимость от переменных второго порядка, так что (1.1) приняло вид:

3

ut =Us + 3Dx(ln f) и2+

+ (cfu[2,2] + aiu2^} + а2Щ!,2]Щ0,2] + a3u202 + ащ^ + а5що,2] + аё) Ui + foU,

(2.1)

где ord ai ^ 1, с = const.

Функция p2 имеет четвертый порядок (благодаря слагаемому б0), но после выделения и отбрасывания тривиальных слагаемых, имеющих вид полной производной по ж, получаем функцию второго порядка, то есть р2 ~ Fiu]i2,2},u[i2},u]i02},... ). Поскольку щ2,2} G ImD, то условие р2 G Im D влечет ограничение dF/du[2,2} = 0, простейшие следствия которого записываются так

df

d2fo д 1 ди2[2 2] du[i,i} f

- 2и

Чо,1}

d2fo д 1

-Т 2и

ди2[222] дщо,1} / V"^[0,1} du[i,i}

9u[i,i} df

+ «[0,0}

+ «[0,0}

df du[o,i}

df

du

[0,i}

0,

0.

Таким образом, приходим к первой развилке.

Вариант д2}о/ди22 2] = 0 просчитан нами полностью. Все полученные в этом случае уравнения в координатах (1.11) переходят в известные интегрируемые уравнения, при этом функция ¿о не определяется из условий интегрируемости и остается произвольной.

При условии д2}'0/ди22 2] = 0 получаем, что ^ = дг щ2,2] + д2, где функции дг и д2 не зависят от щ2,2] и их порядок те выше 2. Случай огё. ^ = 1 исследован полностью в [7], поэтому далее мы полагаем огё. ^ = 2.

Компактные уравнения можно получить из первого и четвертого условий интегрируемости:

(

2 U[o ,1}

df

du

[i ,i}

+ U[o, 0}

df

du

[0,i}

dgi du

d 3g2

[¿,2}

du[i,2}du[j} 2}dU[k,2}

}

0,

{a2 M[o,o} + 2 ai U[o,i}, a2 U[o,i} + 2 a3 W[o,o} + 2 cf}

dgi du

[¿,2}

0, i,j,k = 0,1.

(2.2)

(2.3)

Возникающие в (2.2) и (2.3) развилки мы исследовали в следующем порядке:

(b) ф = 0.

^f ^f (a) 2 U[o,i} + M[o,o} —-= Ф = 0;

[i,i}

du

[0,i}

Вариант (а). Из (2.2) следует, что огё.дг < 2, а функция д2 квадратичная по переменным що,2\, Щг,2], то есть = дг щ2,2] + к и2[12] + Ь2 и^^ + Ь§ ищ Щод + ЪА щщ + Ь5 щод + Ь6 и порядок функций Ьг не превосходит единицы.

Анализ первых шести условий интегрируемости заключался, в основном, в рассмотрении множества различных условий на неизвестные функции. Так, например, предположив, что дг = 0 мы всегда получали такие уравнения, в которых точечные преобразования позволяли устранить слагаемое с И[2)2]. В результате в данном варианте семи рга-уеловиям интегрируемости (п = 0,..., 6) удовлетворяют только пять уравнений. Мы установили также, что каждое из них имеет высшую симметрию пятого порядка и, с точностью до точечных преобразований, приводится к одному из следующего списка:

и, =и3 + ,.и> + 3 (+ ^„Л

2 У 71 ^^[0,0] )

(ц[0,1]/х + 3и[о,1]9 -Ц[0дД и \ М[0,0] М[0,0] )

и 1

(2.4)

— т

иг =и з + ¡хи2

3 /«[0,0]«[2,2] («[0,0]!х + 3М[0,1])2 т(д2 - к2и40Л]) + ^«[0,0]«[0,1]

+ 4

т

'[0,:

V 9('П -м20,0])

и20,1]!х 3Щ0,1]9 - м30,1]

+

[

^[0,0]

)

и 1

(2.5)

+

и,

и

[0,0]

и

[0,0]

и г =и з + Iхи[ (

, 3 /«[0,0]«[2,2] , («[0,0]!х + 3(к + 1)М[0,1])2 , т(92 -к2и\0Л]) + 9^2 + 2 ]и 1

т

Г] 9 и,[0,0]

и20,1]!х 3Щ0,1]9 - м30,1]

2

^[0,0]

(2.6)

т

+

[0,0]

иг =и з + /^ + 3

и

и,

[0,0]

I «[0,0]«[2,2] + (к + 1)(2«[0,1]«[0,0]!х + 3д + 3к2и^0,1]) \ ^ 3ит

тд2 т^«20,1](^ + ЧмЛ ТТ («20,1] 3и[0,1]9 — ^30,1] +--о----—--\и 1 - т -Чг--+

2

^и[0,0]

Щ[0,0]

и

[0,0]

и

[0,0]

)

(2.7)

и,

где

/=31п , д = и[0,0] («[0,2] + «[1,1]) -«[0д], V = М[0,0]М[1,1] + тЦ0д], к2 = т + 1, тк = 0;

2

иг =из + ^(1п/)хи2 + 3

«[0,1] Ь м[0,0] ? 92

(

(

Ь«[0,1] /I (а + /«[0,2]) Л , 4м30,1](Ь2 - (62 + 1)92м10,0])

+

%3

а + /«[0,2] -

И[0,1](3£ - 46) /ж 2 + 1)/«20,1]

2

3 д2 «[0,0]

( а

[0,0] и

(2.8)

3 . (а + /«[0,2] )2 (и[0,0]9(//г«[0,0]«[0,1] - (а + /^[0,2])бг) + ^[0,1]/Ь)2 . ТТ

+ ^ «[2,2]/----0---, - I и 1,

2а у «[0,0]/ м[0,0]/у

здесь а,Ь — константы, д = Ь + ¡и[0,0], Ь = д2 + 2Ьд - 1, а / удовлетворяет уравнению

2

Щ0,0]Щ1,1] - «[0,1]

'«[0,0]

и

+

[0,1]

/ (Ь + /«[0,0])2'

Вариант (Ь). Данный вариант не удалось просчитать полностью в общем виде. Сложность вычислений обусловлена тем, что в нем, кроме результатов [1], [3] и [4], содержатся многочисленные разновидности уравнений случая 52/0/<9и22 2] = 0. Вместе с тем, в [2] и [7] присутствуют примеры интегрируемых уравнений, в которых выполнено условие ф = 0 и при этом в (2.1)

«[0,0]

«[0,0]«[1,1] - «[0д]

(2.9)

2

3

получения новых интегрируемых уравнений, мы выбрали именно (2,9) в качестве дополнительного ограничения. Анализ условий интегрируемости позволил установить, что при условии (2,9) в данном варианте, с точностью до точечных преобразований, имеются только следующие семь уравнений, удовлетворяющие семи рга-уеловиям интегрируемости:

3

иг =и § + ^1п !)хи 2 + 3 (< + 92

(1 + ¡и[0,2])2 («[0,1] - 2к1и[оо)що,1]

и

[0,0]

!и[0,0]

и

[0,0]

)

и 1

3(1» (кги[0,0] - 2и[0,1])д2 - 2 кг1Щ2,2]---§-

2 V "[0,0]

2(и[0,0]Щ0,2] + 2(кгЩ0,0] - Щ0,1])Щ0,1])д

и

[0,0]

2и[1,2] кг$и\0,2] «20,1](3к1и[0,0] - 2Щ0,1]) кщ0,0] + 2и[0,1]

Щ0,0]

Щ0,0]

+

и

иг =и§ + 3(1п/)^2 + 2 (¡Щ2,2] + ^

[0,0]

¡и2

[0,0]

и,

(1 + 1Щ0,2])2 2и2[0,1]1

3

( 2 а^§0,1] I 2___Щ0,1]92

+ 1)§ +1)

[0,0] 1и[0,0] (1 + ¡'и[0,2])9

+

3( а + 1)2

)

и 1

+

)2 Н,0]№ + 1)

(д + 2«[0,1])(«[0,0](1 + ¡П[0,2]) - 2Щ0,1]I) + 21и\0Л] + и{0,1]д-

/и§

3

иг =и § + ^(1п1)хи 2

3 (с д2 + 2 1 1и%2] +

[0,0]

(1 + ¡Щ0,2])2 + к1(2и[0,0] + 3м [0

м§0,0] )

и,

и

+ ^ 1и[2,2] +

[0,0]

!и[0,0]

и

[0,0]

и 1

3(1 + 1и{0,2])д (1 + ¡Щ0,2] )2 (9к1 + 4)(м[0,0] + Щ0,1])и'20,1]

¡и2

[0,0]

1и[0,0]

и

[0,0]

(2и[0,0] + 3и[0,1])(2и[0,1] ¡д - (1 + /Щ0,2])«[0,0]) («[0,0] + 3щ0,1])д:

¡и§

[0,0]

и

[0,0]

(2.10)

(2.11)

(2.12)

иг =и § + ^(1п ¡)хи 2 3

+ 2 1и[22 + ^

(1 + ¡Щ0,2])2 3(2к1Щ0,0] + Щ0,1])2/

[0,0]

!и[0,0]

4щ0,0](а£ + 1)2

)

и 1

+ 3 к11'и[2,2] +

(2 к1Щ0,0] + «[0,1]) д2 «§0,0] К +1)2

( к1Щ0,0] + Щ0,1])(д + 2и[0,1])2 к1(1 - ри^0,2])

и

§

[0,0] 2

+

!'и[0,0]

(«[0,1] +з)(1 + fЩ0,2]) 2«[0,1](4«[0,1] + 3д) Ци{0,1] - (1 + ¡П[0,2])и[0,0])д

+ О + ^ О +

¡и2

[0,0]

3п§ 3 "[0,0]

¡и§0,0](а£ + 1)

а!(3си[0,0] +«[0,1])С«20,1] 3к1 /(4кщт +«[0,1])«[0,1] , с§(3а£ + 1)\

+--;—о—;—^ . - ч о---;-;—^ . - ч о--1--~—:-гт^г I и ,

4«20,0]К + 1)г

4и[0,0](а£ + 1)§

а2(а£ + 1):

(2.13)

2

§

§

2

§

§

2

иг =из + ^(1п ¡)хи2

3(, , (^ + «[0,1])2 (1 + /«[0,2])2 М[0,1]/

г)

М[0,1]/9 - (1 + /«[0,2])«[0,0]«[0,1] (а - 2)«30,1]

+ 2 у ^М[2,2] + (1 - /-1)^х[0,0] /«[0,0] + «[0,0] («[0,0] + а) ' и 1 / «2 ,, fa — (1 + fu[0

+ 3

(2.14)

/«20,0] (м[0,0] + а) «20,0] (м[0,0] + а)2

+Ь^(«[0,0] +а)(1 - /-1)) ^,

гг гг ^ ^ f\ тт л- Ъ(( 3 V (1 + /^[0,2])2 и г =и 3 + -(1п/)ж^ 2 + " /«[2,2] +---Т

2 2 у \«0,0] «[0,0]?/

2 2 \ , \«0,0] «[0,0]С/ /«[0,0]

^(«[0,1] - 2«[0,0])«[0,1М и 3 / +(-У— _

«[0,0] / 1 2 \ [2^] ^М0,0] 6«[0,0]£/

. 2(1 - /«[1,2])(1 + /«[0,2]) 2^(^ + «[0,1])2 («[0,0] - 2«[0,1])(1 + /«[0,2])2 , ,

+ 1 3 Т^2

/«[0,0] «[0,0] /М[0,0]

^2«20,1](3«[0,0] - 2И[0,1]) 2к1»2д 6^1^-^20,1]

3ад30,0] м30,0]^ м30,0]^

6 ^1^(1 + /«[0,2]) 2(3«[0,0] - «[0,1])«20,1] , и

/м20,0]С 3ад30,0]

„ „^ Зл ,Л„ ^ ( 9 аъ,» V (1 + /«[0,2])!

у. =и3 + 3<1п/)^2 + 3 (/и,*2,+ (— + „[0,0,^ + 1))

]) - 2(

+

2 ^ , \м[0,0] м[0,0](аС + 1^ /«[0,0]

Ма£«[0,1] + «[0,0])(а£(2«[0,0] - «[0,1]) + «[0,0]) \ 3 / 2а£и[0,1]д2

«20,0](аС + 1)2 )и 1 2 ^/М[2,2] + «30,0](аС + 1)

2«И[0,1] +«[0,0])^2 д2 2аС(1 + /«[0,2]^ 4«[0,1]»^

м30,0](а^ + 1)2 «20,0] /ад20,0](аС + 1) ад30,0]

2«20,1]^ 4к1»2(2д + к1 ^[0,0]) 1 - /2«[0,2] 2и[0Д](1 + /«[0,2])

(2.16)

+ —, ; , . '' +

— - —I— - —I— - —

+

м30,0](а^ + ^ ' м30,0](а^ + 1)2 ' ^[0,0] /^[0,0]

8 к[»3 2а^2(а/«[0,1] + С)2» Ма/«[0,

3^30,0] К + 1)3 3 /«[0,0] (аС + 1)3 3/ит(а£ + 1)2 4 к1»^Щ0Л](д - «[0,1]) + (1 + /«[0,2])«[0,0]) 4(3«[0,0] - 2м[0,1])м[0,1]

/И30,0]« +1) 3«30,0]

, , 1, 2

д = /(«[0,0]«[1,2] «[0,1]«[0,2]) - 2«[0,1], » = «[0,0]-«[0,1], £2 = /«[0,0], /

)

и,

«[0,0]

2

«[0,0]«[1,1] - «[0,1]

3. Заключительные замечания

Доказательством точной интегрируемости (2,4)-(2,8) и (2,10)-(2,16) могли бы служить авто-преобразования Беклунда или дифференциальные подстановки, связывающие их решения либо между собой, либо с решениями уже известных интегрируемых случаев (см. [2]

2

и [11]). Уравнение (2.10) впервые получено в [2] е помощью дифференциальной подстановки первого порядка в точно интегрируемое. Других дифференциальных подстановок мы не нашли, а построение авто-преобразований Беклунда для столь громоздких уравнений довольно трудоемкая задача, требующая убедительных мотивов. Вместе с тем, все найденные в данной работе уравнения имеют несколько нетривиальных законов сохранения и удовлетворяют семи рга-уеловиям интегрируемости (1.5), поэтому скорее всего являются интегрируемыми.

Благодарности

Автор благодарит профессора А.Г. Мешкова за полезные обсуждения хода вычислений и полученных результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М.Ю. Балахнёв. Об одном, классе интегрируемых эволюционных векторных уравнений // ТМФ. 142:1 (2005), 13-20.

2. М.Ю. Балахнёв. Интегрируемые вект,орны,е изотропные уравнения, допускающие дифференциальные подстановки первого порядка // Матем. заметки. 94:2 (2013), 323-330.

3. М.Ю. Балахнёв, А.Г. Мешков. Интегрируемые векторные эволюционные уравнения, имеющие сохраняющиеся плотности нулевого порядка // ТМФ. 164:2 (2010), 207-213.

4. А.Г. Мешков, М.Ю. Балахнёв. Об одном, классе интегрируемых эволюционных векторных уравнений 3-го порядка // Матем. заметки, 112:1 (2022), 88-94.

5. А.Г. Мешков, В.В. Соколов. Классификация интегрируемых дивергентных N-компонентных эволюционных систем // ТМФ. 139:2 (2004), 192-208.

6. С.И. Свинолупов, В.В. Соколов. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений, // ТМФ. 100:2 (1994), 214-218.

7. M.Ju. Balakhnev, A.G. Meshkov. On a cías sifi catión of integrable vectorial evolutionary equations // J. Nonlinear Math. Phvs. 15:2 (2008), 212-226.

8. H.H. Chen, Y.C. Lee, C.S. Liu. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method // Phvs. Ser. 20:3-4 (1979), 490-492.

9. A.G. Meshkov. Necessary conditions of the integrability // Inverse Problems. 10:3 (1994), 635653.

10. A.G. Meshkov and M.Ju. Balakhnev. Integrable anisotropic evolution equations on a Sphere // SIGMA. 1 (2005), 27-37.

11. A.G. Meshkov, V.V. Sokolov. Integrable evolution euations on the N-dimensional sphere // Commun. Math. Phvs. 232:1 (2002), 1-18.

12. V.V. Sokolov, T. Wolf. Classification of integrable polynomial vector evolution equations // J. Phvs. A: Math. Gen. 34 (2001), 11139-11148.

Максим Юрьевич Балахнёв,

Среднерусский институт управления - филиал РАНХиГС,

ул. Октябрьская, 12,

302028, г. Орел, Россия

E-mail: [email protected]