АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕДУКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ХИРОТЫ-МИВЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 4 (2022). С. 117-130.

УДК 517.9

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕДУКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ХИРОТЫ-МИВЫ

Аннотация. Для нелинейных дискретных уравнений в размерности 1 + 1 имеются легко проверяемые симметрийные критерии интегрируемости, которые лежат в основе классификационных алгоритмов. Актуальная проблема создания эффективных методов классификации интегрируемых дискретных уравнений с тремя и более независимыми переменными остается открытой, поскольку в многомерье симметрийный подход теряет свою эффективность из-за трудностей, связанных с нелокальностями.

В наших недавних работах мы обнаружили характерное свойство дискретных уравнений в 3D, которое, по-видимому, является эффективным критерием интегрируемости трехмерных уравнений. Выяснилось, что многие известные интегрируемые цепочки, включая уравнения типа двумеризованной цепочки Тоды, уравнения типа Тоды с одной непрерывной и двумя дискретными независимыми переменными, уравнения типа Хироты-Мивы, где все независимые переменные являются дискретными, характеризуются тем, что они допускают обрывы специального вида по одной из дискретных переменных, которые сводят цепочку к системе уравнений с двумя независимыми переменными, обладающей повышенной интегрируемостью, они имеют полные наборы интегралов по каждой из характеристик, т.е. являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Другими словами характеристические алгебры полученных конечно-полевых систем имеют конечную размерность. В настоящей работе мы приводим примеры, подтверждающие гипотезу о том, что наличие иерархии интегрируемых в смысле Дарбу двумерных редукций присуще всем интегрируемым дискретным уравнениям типа Хироты-Мивы. А именно мы проверяем, что решеточное уравнение Тоды и ее модифицированный аналог также допускают упомянутые выше редукции.

Ключевые слова: интегрируемость, решеточное уравнение Тоды, характеристические интегралы, характеристическая алгебра.

Mathematics Subject Classification: 37К10, 37К30

В настоящее время полностью дискретные интегрируемые уравнения с тремя независимыми переменными активно изучаются многими авторами (см. [1] [Т]), Наиболее известными представителями этого класса являются такие модели как уравнение Хироты-Мивы, Y-еиетема, решеточное уравнение Тоды, решеточное уравнение КП, решеточное уравнение Sine-Gordon и др. Широкий класс интегрируемых дискретных моделей в 3D можно найти в работе Ферапонтова и др. [8]. Девять уравнений из списка, приведенного в [8] являются уравнениями типа октаэдра, все они точечными заменами приводятся к виду

LT. Habibullin, A.R. Khakimova, Algebraic reductions of discrete equations of Hirota-Miwa

(с) Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. 2022.

Исследование А.Р. Хакимовой выполнено при поддержке конкурса «Молодая математика России». Поступила 22 августа 2022 г.

И.Т. ХАБИБУЛЛИН, А.Р. ХАКИМОВА

1. Введение

(1.1)

где искомая функция и = и3пт зависит от трех целочисленных аргументов ], п, т, функция у определена и является аналитической в некоторой области И С С5,

Уравнение (1.1) связывает значения неизвестной функции, соответствующие вершинам октаэдра на трехмерной решетке.

В нашей работе [9] была высказана гипотеза, что все интегрируемые уравнения вида (1.1) допускают конечно-полевые редукции в виде систем дискретных уравнений «гиперболического» типа

ь1 = ^ (и1 V1 V1 и2 )

^п+1,т+1 Л \и'п+1,т^ и>п,т1 <-°п,т+1> и'п,т+1)

1п+1,т+1 = / (ип+1,т,ип+1,т,ип,т,ип,т+1,ип,т+1) , 2 ^ 3 ^ N 1, (1-2)

N = fN (иМ-1 N N N

п+1,т+1 ^ V п+1,т> п+1,т> п,т> п,т+1

являющихся интегрируемыми в смысле Дарбу. В [9] гипотеза была подтверждена для трех

моделей из упомянутого выше списка. Цель настоящей работы, показать, что гипотеза

об интегрируемых по Дарбу редукциях справедлива и для двух других моделей из этого

класса, а именно, для решеточного уравнения 'Годы

! 1+1 1 \ 1 1—1 и и и и

ип+1,т+1 = 1 1—1 \

ип,т [ип,т+1 — ип+1,т)

и модифицированного варианта решеточного уравнения Тоды

( 1 — 1—1 ^ ( 1+1 — 1 \ 1

1 \ип+1,т ип+1,т) \ип,т+1 ип,т) ип,т+1 . 1—1

/-1 ____1___.___:_____ и/

мп+1,т+1 1 / 1+1 1 \ 1 <-°п+1,т•

ип,т [ип,т+1 — ип,т+1)

Наличие иерархии интегрируемых по Дарбу конечно-полевых редукций является важным свойством уравнения (1.1). Во-первых, поскольку Дарбу интегрируемые уравнения в принципе могут быть решены явно (см., например, работы [10]—[12], где найдены в замкнутом виде общие решения дифференциальных аналогов системы (1.2)), то редукции позволяют найти частные решения исходного трехмерного уравнения. Во-вторых, такие иерархии связаны с характеристическими алгебрами, условие конечномерности которых, можно использовать для вывода условий интегрируемости нелинейных цепочек в ЗБ (см. [13]-[17]). Отметим, что проблема классификации интегрируемых по Дарбу уравнений в частных производных гиперболического типа активно исследуется начиная с XIX века. Обзор результатов по этой тематике можно найти в работах [18] [22], Обобщение метода Дарбу на дифференциально-разностные и чисто дискретные уравнения обсуждается в работах [23Ц27], [6].

Кратко остановимся на содержании работы. В §2 мы поясняем смысл таких понятий, как полный набор интегралов и интегрируемость по Дарбу систем дискретных уравнений. Вводим понятие характеристической алгебры Ли-Райнхарта, формулируем алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу. В §§3,4 исследуются системы дискретных уравнений порядков N = 2 и N = 3, полученные путем наложения специальных условий обрыва из нелинейных цепочек (1.3), (1.4). Показано, что эти четыре системы уравнений являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Для них описаны характеристические

п т

Отметим, что в случае N =1 система (1.2) для обоих цепочек (1.3), (1.4) вырождается в одно и то же скалярное уравнение:

_ ип+1,тип,т+1

ип+1,т+1 ,

ип, т

которое также является интегрируемым по Дарбу, его интегралы имеют вид:

^ ип+1,т J ип,т+1

ип,т, ип,т,

Результаты работы подтверждают гипотезу о том, что наличие иерархии Дарбу интегрируемых редукций вида (1.2) является критерием интегрируемости трехмерных цепочек вида (1.1).

2. Необходимые определения и формулы

В этом разделе мы обсудим понятие интегрируемости в смысле Дарбу системы дискретных уравнений гиперболического типа

/ (п,ш,

), (2-1)

где искомый объект и = ип,т является векторпо-значной функцией и = (и1, и2,... ,им>)Т, компоненты которой зависят от двух целочисленных переменных пат. Правая часть уравнения имеет вид / = (/1, f2,..., fм) . Поскольку все вершины прямоугольного графа, на котором задано уравнение (2.1) являются равноправными, то предполагается, что уравнение (2.1) однозначно разрешимо относительно каждой из переменных ип,т, ип+1,т, ип,т+1, т.е. справедливы еще три соотношения

^п+1,т-1 (^,'га,^1п,7п,^1п+1,7п ,^"п,т—1) ,

В основе интегрируемости по Дарбу лежит понятие характеристического интеграла. Впервые это понятие было введено Дарбу в работе [28] при исследовании уравнения в частных производных гиперболического типа их,у = f (х,у,и,их,иу),

Определение 2.1. Функция вида

I = I (n, т., Un-k+1,m, . . ., ип+8,т) , к,в ^ 0, (2.2)

зависящая от п. т и сдвигов по п динамической переменной ип,т, называется га-интегралом системы (2.1) порядка к + в, если существует пара чисел, к1,к2 = 1,... .И, что произведение

д! д!

ЯоМ Й1,к2

иа,п+в,т иап-к,т

отлично от тождественного нуля и для, любого натурального г выполняется, следующее равенство 01тI = I или, в более развернутом виде

I ^п-к,т. ип-к+1,т. . . . . ^п+з,т) I 'га + Т. ип-к,т. ^п-к+1,т. . . . . ^п+з,т) . (2-3)

где все смешанные сдвиги, переменной ип,т исключены в силу системы, (2.1). Функция вида I = I(п) называется тривиальным т-интегралом.

Здесь Бт обозначает сдвиг аргумента га, например, Оту(га) = у (га + 1).

Замечание 2.1. Устоявшийся в литературе термин «интеграл» для функции I, введенный по аналогии с дифференциальной версией системы, (2.1) (см., например, [2Щ), не совсем, соответствует смыслу равенства, (2.3). Возможно более подходящим был, бы, термин инвариант оператора, сдвига, Бт.

Поскольку операторы Оп и От коммутируют, то оператор Оп переводит га-интеграл снова в га-интеграл. Поэтому в формуле (2.2) можно положить к = 0.

Определение 2.2. Будем говорить, что систем,а, (1.2) допускает полный набор га-интегралов, если существует набор интегралов

I3 (п,га,ип,ип+1,... ,ип+3]) , ] = 1, 2,..., N. (2.4)

что выполняется неравенство

811 811 811

8ип,ш 8и1,т . . . 8<т

81м 81м 81м

8ип,т 8и1,т . . . 8и*т

= 0. (2.5)

Система уравнений (1.2) называется, интегрируемой по Дарбу, если она допускает полные наборы интегралов по каждому из характеристических направлений пит.

Эффективный критерий интегрируемости системы гиперболических уравнений в смысле Дарбу выражается в терминах характеристической алгебры. Важность понятия характеристической алгебры при исследовании систем гиперболических уравнений экспоненциального типа была осознана в работах [29], [10], где это понятие и было введено. Назовем операторы

У3,1 = 0-1 —-з = 1, 2,...,М (2.6)

дип,т+1

т

т

= 0, = 0, 3 = 1,2,...,М, (2.7)

где

д

Х3,1 = -. (2.8)

ди

^ "п,т— 1

т т

которые имеют вид

У3,к = 0тк —-пкт -Х3,к-1, где Х3,к = —-, (2.9)

дип,т+1 дип,т-к

где к ^ 2.

Заметим, что операторы У3%к можно представить в виде векторных полей. Например, для операторов первого порядка имеем

д дР \ д (дГ1'1'3\ д

у» +) 1ьг-+£ дР1) -

8=1 \дип,т+1) дип+1,т 8=1 \дип,т+1)

дч,з т \ ди3 / ди5 , т \ ди3 / ди5

дип,т \иип,т+1 / п+1,т 3=1 \иип,т+1 / и'п-1,т

+ уо-1 + уо-1 +

где /~1,1,я, /-1о'3 компоненты векторов /, /ю, /-хо с номером 5,

Ло = I(ип+1 ,т,ип+г+1,т,ип+г ,т+1

),г = 0.

Для построения векторных полей, соответствующих высшим характеристическим операторам, можно воспользоваться соотношениями:

N д м д

4-1 (л/- ( { д I V1 п-1 (л/- ( 1,1,-°44

у,к+1 =Е в-1 (у,,к (Л) ^— + £ в-1 (у,,к (г1,1,в)) ^—

дип+1,т с—1 ип— 1,т

-

N д N д

+ Е (Пк (Ко)) + Е (у,к и-1^)) +....

3=1 дип+2,т 5=1 дип-2,т

т

При этом нам понадобится некоторое обобщение понятия алгебры Ли, в котором допускается умножение операторов не только на константы, но и на некоторые функции.

Есо, (2-14)

Определение 2.3 ([30], [31]). Пусть К — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и А — коммутативная К-алгебра. Пара, (А, Ь) называется, алгеброй Ли-Райнхарта, если,

1) Ь является алгеброй Ли над Я, которая, действует на, А левыми дифференцированиями, т.е.

X(аЬ) = X(а)Ь + аХ(Ь) для, всех а,Ь Е А, X Е Ь;

2) алгебра, Ли Ь является А-модулем.

Пара, (А, Ь) должна, удовлетворять следующим условиям совместности [X, аУ] = X(а)У + а[Х, У] для всех Х,У Е Ь, а Е А; (аХ)(Ь) = а(Х(Ь)) для, всех а,Ь Е А, X Е Ь.

Определение 2.4. Предположим, что семейство характеристических операторов га

1) У] существует число $(]), что любой оператор У^к, линейно выражается, через операторы,

Уз,1, Уз,2, ..., У,м3) (2,12)

с коэффициентами, зависящими от динамических переменных:

У],к = ^{Уц + ^2X3,2 + ХзУ3,з +... + ; (2,13)

2) алгебра, Ли-Райнхарта Ьт, порожденная опера,т орами [Х^,к ,У^>к }^=1к=1, где К = тах $(]) над полем рациональных функций от динамических переменных из следующего класса:

_ -э }3=1

имеет конечную размерность.

Алгебру Ьт будем называть характеристической алгеброй по направлению га. При выполнении условий 1) и 2) будем говорить, что систем,а, (1,2) допускает конечномерную

га

Замечание 2.2. Примеры, характеристических алгебр приведены, в разделах 3 и 4- В алгебрах, рассмотренных в §3, для, V? ) = 1. В алгебрах Ьт из §4 числа з(]) также равны, единице, в то врем,я, как для, алгебр Ьп $(]) = 2.

Связь интегралов и характеристической алгебры выражается в следующем критерии. Для систем дифференциальных уравнений такие критерии давно известны (см., например, [32]),

га

и только тогда, когда, она, допускает конечномерную характеристическую алгебру по нага

Другими словами, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2 ([9]). Система (1,2) является, интегрируемой в смысле Дарбу тогда, и только тогда, когда, она, допускает конечномерную характеристическую алгебру по обоим, направлениям га и п.

Отображение, переводящее оператор Z Е Ьт в оператор DnZD-1, является автоморфизмом алгебры Ьт. Это следует из соотношений, задающих действие отображения на генераторах алгебры:

N К

ВпХ^ко-1 = ^ ^ а^к,г,зХг,8, (2,15)

г=1 в=к

N / к к-1 \

0пУз,к0п1 = Е ( ^2Рз,к,г,зУ,,з + Е Хг,з I - 0пХ3,к-10п1, (2,16)

=1 =1 =1

где коэффициенты определяются согласно равенствам:

= Вп {Хэ,к01т / 1,1,г) , к( д

дип,т+1

ъы. = отк | Оп 1 Г1,1,г

дип,т+1

1,1,

-1,1, -1,1

Ключевую роль при исследовании характеристической алгебры Ьт имеет следующая лемма.

Лемма 2.1. Допустим, что векторное поле

N ~ ( д д \ К = ЕЕ +(-*)^7— ■

¿=1 к=1 \ ип+к,т иип-к,т/

удовлетворяет условию

ОпКО-1 = кК, (2.17)

с некоторым, сомножителем к, тогда К = 0.

Аналог Леммы 2.1 применительно к случаю систем дифференциальных уравнений гиперболического типа использовал в своих работах А.Б. Шабат (см., например, [32]).

3. Решеточное уравнение Тоды

Накладывая на цепочку (1.3) формальные условия обрыва и(п1т = го, и^^т = 0, получим систему дискретных уравнений вида (1.2):

1 _ (ип,т+1 ип+1,тт ип,т+1

ип+1,т+1 1 ,

ип, т

( 3+1 3 \ 3 3-1

3 _ \ип,т+1 ип+1,т) ип,т+1ип+1,т о ^ ' ^ АТ 1 /п

ип+1,т+1 = -3-Т~3-3-1-N-, 2 ^ 3 ^ ^ - 1, (3.1)

ип,т [ип,т+1 — ип+1,т)

N N N—1 и1 и1 и N _ <-°п+1,т'-0п,т+1'-0п+1,т

ип

Ы+1,т+1 и м / N _ -1 \ ■

ип,т \и'п,т+1 ип+1,т)

Ниже мы покажем, что при N = 2 и N = 3 система (3.1) является интегрируемой по Дарбу. Для этого в обоих случаях мы предъявим конечные базисы для характеристических

т п

3.1. Случай N = 2. В этом случае (3.1) принимает вид

(мп,т+1 ип+1,т) ип,т+1

ип+1,т+1

ипт (3.2)

,тМп,т+1ип+1,т

Мп+1,т+1 ~

Мп,т (мп,т+1 ип+1,т)

1

ГДе ип,т ■ ипт~, Мп,т ■ и■

п, т

Построим характеристические операторы системы (3,2), В силу формулы (2,8) находим,

д д

что операторы Х1,1 и Х2,1 имеют вид: Х1,1 = —-, Х2,1 = —-. Операторы У\у1,

Y21 находим по формуле (2,10), где

dwn,m-1

1 (Wn

f1 = -12 = -

Un,m

W'n+1,mW'n,m+lU'n+1,m Wn,m (Wn,m+1 Un+1,m)

— 1 11 _ Un,m+1^n— 1,m \^n,mWn,m + ^n,m+1^n— 1,m)

1,1,

^n,m^n,m + ^n,m+1^n— 1,

Здесь ип+1,т+1 = /\ -Ып^^^ = ¡\ ип— 1^т+1 = / 1,1,1, 1ут+1 = / 1,1,2. Приведем явно несколько коэффициентов векторных полей У^д, У2,1:

Y,

1,1

д + Un+1,,

д

Y?

9Un,m Un,m 9Un+1,m $ Un.m $

+

Un— 1л

д

Un

dun-1-

+ ...

2,1

dwn

+ / Wn+1,m + Un,m^n+1,m

Un,m— 1 9Un+1,m \ Wn,m Un+1,mUn,m— 1 J dWn+1,m

д

+

Un— 1,m^n— 1,m 9 + Wn— 1,m \^n,m— 1 Wn— 1,m) 9 '^n,m^n,m— 1 9Un- 1,m ^n,m^n,m— 1 dWn— 1,

+

Найдем коммутаторы операторов Х1л1, X2t1, Y1y1 и Y2>1\ Rh1 = [X1,1,Y1^]\ =0,

R2,1 = [X1,1,Y2}l\

Un

д

Un

iWnn+1,',

д

Un

г_1 dUn+1,m Un+1 ,m n,m

1 dwn+1-

^n— 1,m^n— 1,m

д

^n.mU,

2

n,m n,m 1

_1 dun-1,'

+

w,

2

n 1,m

д

,2

г_1 Own-1л

+

Rs,1 = [X2 t1,Ylt1\ =0, R4,1 = [X2 a,Y2 ,1\ = 0.

Теорема 3.1. Набор операторов X\y1, Х2у1, Y1y1, Y2у1, R2,1 составляет базис в характеристической алгебре Lm системы, (3,2), т.е. dimLm = 5.

Доказательство. Докажем сначала, что коммутаторы оператора R2,1 с операторами Х1,1, X?,д, Y\y1, X,1 образуют линейно зависимые операторы. Для этого уточним действие автоморфизма Z —^ DnZDn1 на перечисленные операторы. Пользуясь формулами (2,15), (2,16), найдем:

ппхцц

1

Un

2

^n m^n,m^n,m— 1

n,m -

'-л1,1--\-+-) л2,1,

у 7—,_1 _Wn,m \^n,mWn,m + Un+1,mUn,m~ 1) ^

=-Л2,1,

^n+1,m^n,m— 1^n+1,m

-1

ВДдА

DnY2,1Dn1

Dn R2,1Dn1

Un

un+1,\

-Yi

1,1,

(3.3)

Wn

^n+1,m \^'n,m^'n,m + ^n+1,m^n,m— 0

^n,m^n,m ^n+1,m \^"n,m^n,m + ^n+1,m^n,m—1)

m- 1X2,1)

^n,m

Un,m- 1R2,1 —

un+1,\

X^n,m^n,m— 1 у 1,1 +--,1

^n+1,m^n,m— 1

z ^1)

ип тМп,т

Мп+1,т (и,п,тМп,т + ип+1,тип,т—1)

(ип,тХ1,1 — Мп,тУ2,0 .

Перейдем теперь к рассмотрению действия автоморфизма на операторы Р11 = [Х1,1, Я2,1], Р2,1 = [Х21,Я2д], 4м = [Умд], 4,1 = [У21^2,1 ]■ В данном случае имеем:

ОпРцОп1

2ип тМп,т

Мп+1,т (ип,тМп,т + ип+1,тип,т— 0 +

2ип тМп,т

3 (ип,тУ1,1 — Мп,тУ2,1) -2

п, т Я2,1 + Х11

ип, т 1 2

0пР2,В1 = ип,ттГ Р2,1,

ип+1,тМп+1,т (ип,тМп,т + ип+1,тип,т-1)

Мп,т— 1 ^ ип,т— 1 (ип,тМп,т + ип+1,т ип,т-1) Х2,1 +--

2 и

п, т

1) Р1,1

(3.4)

ип+1,тМп+1^

ОпЯцОп1 0пЯ2,10п

2

ип тМп,тип,т— 1

ип+1,тМп+1,т (и'п,тМ'п,т + ип+1,тип,т— 0

4

1,1,

1

2

ип,тМп,тип,т-1 ( 2 ^ , /О \

72 \ип,,тЧ1,1 + ип+1,тип,т-142,1) .

Мп+1,т (ип,тМп,т

Пользуясь первым из соотношений (3,4), легко проверить, что имеет место равенство:

Вп(Р1,1--—Я2А) Оп1

\ ип,т— 1 /

2

ип тМп,тип,т— 1

ип+1,тМп+1,т (ип,тМп,т + ип+1,тип,т-1)

2

"Г (Р1,1--~^

1) V ип,т— 1 ;

Отсюда, в силу Леммы 2,1, найдем равенство: Р11 =-К2,1- Из соотношений (3,4)

ип, т 1

и Леммы 2,1 вытекает, что Р2,1 = Я\>1 = Я2,1 = 0,

Теперь покажем, что высшие операторы У1,2, У2,2 также линейно выражаютея через Я2,1. Вычислим действие автоморфизма Z —^ DпZDп1 па высшие операторы У1,2 и У2,2. Воспользуемся формулами (2,16) и найдем:

ОпУ^О,

1

2

ип тМп,т

(

ип+1,т (ип,тМп,т + ип+1 ,тип,т—1) \ ип,т— 1

2 (ип,тУ1,1 — Мп,тУ2,1)

v Мп,т— 1 ип+1,тип,т— 1 Х1,1--Х2,1--У1,2

п, т п, т

)

2

ип тМп,т

(и'п,тМ'п,т + ип+1,тип,т—1)

Оп у2,2 Оп

1

ип,тМп,т (и'п,тМ'п,т + ип+1,тип,т—1)

Мп+1,т (ип,тМп,тип,т—2 + ип+1,тип,т— 1 ип,т— 2 + ип,тип,т-1 ™п,т-1)

ип,т— 1 ^ Мп,т— 1 ^ ип,т— 1-г^ ип,т— 2 (ип,тМп,т + ип+1,тип,т—

Х1,1--Х2 +--У 1,2 +--У2,2

+

ип+1,т Мп+1,т

ип,тип,т— 1 ип,т Мп,т + ип+1,тип,т— 1

ип+1,т ип+1,тип,т— 1ип,т

Мп,тип,т— 1

у1,1 -

ип,тМп,т + ип+1,тип,т— 1

у2,1 .

Из найденных соотношений с учетом аналогичной формулы (3,3) для оператора Д21ив си" " и1т-1 '

лу Леммы 2,1 легко видеть, что У1,2 = мп,тК2,^ У2,2 = —— Я2,1. □

ип, т 2

Таким образом, мы доказали что алгебра Ьт пятимерна, следовательно т-интеграл

т

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕДУКЦИИ... I = 1(ип,т,шп,т,ип±1,т,шп±1:т,шп- 1,т), удовлетворяющий системе уравнений

Уц! = 0; У2 л! = 0;

Д2 ,1 = 0,

или в развернутом виде

д1 + Пп±1>т д1

и п, т д

ип,т дип±1,т

ип,т д I Шп+1,', ип,т— 1 дип±1,т \ Шп,т

Шп— 1,т (ип,т— 1 Шп— 1,т) д1

дмп- и

0,

дтг,

д

+

+

ип,тШп±1,т

ип±1,тип,т— 1) дтп±1

)

д

0,

Шп,тип,т— 1

Шп+1,

д

+

ш,

2

п 1 , т

дип±1,т ип±1,т дшп±1,т ип,тШп,т дшп— 1

0.

т

1

ип±1,тШп±1,т

ип±1,\

+

Шп

ип,тШп,т ип,т Шп— 1,т

Аналогично можно показать, что &\тЬп = 5, базис состоит из операторов:

хц Уд

д

ип 1, д

Х-

д

2,1 =

дш„-

п 1 , т

ип

+ . и'п,т±1Шп,т±1Шп— 1,т + ип,т±1

ип тШп,т

ип

)

д

Шпт±1Шп— 1,т д

и

п,т±1

ип тШп,т

дшш

п,т±1

+

и п

г_1 — тп- 1л

д

ип

У2,1

д

дшп

+

Шп,т±1

д ип, т 1 д

+

Шп— 1,тШп,т— 1 д ип, т ип, т , т 1

+

шг,

+

Шп,т— 1

дшп,т±1 Шп,т дшп,т— 1

+ ...

Из,1

3,1 =

Х2,1,У1,1

1

ип,т±1Шп,т±1

д

Ш

п,т±1

д

ип —шП

п, т п, т

д и

д

+

Шп,т— 1

'п,т±1 д

ип,т дип,т— 1 ип,тип,т— 1 дшп,т— 1

ип,тШп,т

+ ....

Ш

п,т±1

п

Уц3 = 0; У2 д3 = 0; Дзд/ = 0, где 3 = 3 (иЩт,ШЩт,ип,т±1,Шп,т±1,иЩт-1) и имеют вид:

31

ип,т±1Шп,т±1

ип,тШп,т

т _ ип,т— 1 Шп,т

32 =--1--

ип,т Шп,т±1

3.2. Случай N = 3. В этом случае система (3,1) имеет вид

( Уп ,т±1 ип±1,т) ип,т±1

ГДе ип,т ■

ип±1,т±1 ■

^п±1,т±1 ~

Шп±1,т±1 „,2

ип, т

(шп,т±1 13п±1,т) Vп,т±1 ип±1,:

п, т (Уп,т±1 - ип±1,т) Шп±1,тШп,т±11^п±1,т

Шп,т (шп,т±1 13п±1,т) и3

(3.5)

1

ип, т

По аналогии с предыдущим примером, можно показать, что базис алгебры Ьт еиете-

д д д мы (3,5), состоит из операторов Х1,1 = --, Х2,1 = —-, Х3)1 = —-, У1д, У2д,

^Un,m— 1 9Vn,m— 1

Y3>1, R = [Xlt1,Y3>1\, P = [Xlt1,Y2>1\, Q = [X2>1 ,YsA^e. dim Lm = 9 Решая систему линейных уравнений

9Wn,m— 1

YiAI = 0;

Y2AI = 0; Y3AI = 0; RI = 0; PI = 0; QI = 0,

на неизвестную I = I (ип,т,уп,т,тп,т,ип+1,т,уп+1,т,тп+1,т,уп- 1,т,'Шп- 1,т,ип+2,т) найдем га

h 12 h

Vn,m Wn,m

+ Wn,m'U,n+1,m + '^n+1,m'^n+1,m

Vn— 1,m^n— 1,m Wn— 1,m^n,m

Un+2

Un+1,m Vn,m

U.

n,mun,m

Wn— 1,m

Кратко остановимся на алгебре Ьп для (3,5), ее базис состоит из операто-д д д

ров Х11

dun-

X.

2,1

n— 1,m

dvn_ 1,

Хз,1

3,1 =

Own_

Y1A1 Y2,1, Y3

3,1,

R

n— 1,m

^2,1X1,1

P

^3,1X1,1

стемы (3,5):

Q

X3,1X2,1

Приведем полный набор независимых и-интегралов си-

J1 J2

^n,m+1^n,m+1 Wn,m+1

Un,_mV>

n,m n,m n,m

Wn

^n,m— 1^n,m— 1 + Vn,m— 1^n,m +

V.

Wn

n,m n,m

U,

n,m n,m

^n,m^n,m+1 Vn,m+1 ^n,m+1

т _ ^n,m+1 Vn,m ^n,m— 1

J 33 =--1---1--•

^n,m+2 Vn,m+1

Un

4. Модифицированное решеточное уравнение Тоды

В этом разделе мы исследуем Дарбу интегрируемые редукции модифицированного решеточного уравнения Тоды (1.4), соответствующие случаям N = 2 и N = 3. Конечно-полевая система для (1.4) имеет вид:

и.

1

'n+1,m+1

U,

3

'n+1,m+1

112 — И1 I И1 И1

n,m+1 n,mj n+1,m n,m+1

II1 ill2 — II1

n,m V n,m+1 n,m+1

3 3_1

Un+1,m — Un+1,m)

) (Un,m+1 Un,m)

U]

3+1 bn,m+1

bn,m+1

n,m+1 . j—1 — + It

1 <-°n+1,m>

(4.1)

u,

N

'n+1,m+1

io,N _,N _1 \ .N + N . N _1 \an+1,m an+1,mJ an,m+1 + an,man+1

U

N

где 2 ^ ] ^ N — 1. Систему (4.1) можно получить наложением следующих формальных условий обрыва:

и0 =0 uN+1 = оо

n,m у n,m

4.1. Случай N = 2. Здесь мы имеем систему уравнений

(^п,т+1 ип,т) ип+1,тип,т+1

^n+1,m+1 wn+1,m+1 =

^n,m \^n,m+1 ^n,m+1) \Wn+1 ,m ^n+1,m) ^n,m+1 ^nm

(4.2)

+ un+1,\

Шп

ип

По аналогии с предыдущими примерами построим базис для Ьт. Он состоит из пяти опе-д

раторов Х11 = —-, Х21 = —-, У1,ь У2,ь К = [Х1,1, У2д], а искомые т-интегралы

дип,т— 1

имеют вид:

1

ип±1,\

дшп,т— 1

Шп+1,

ип±1,',

ип,т Шп 1,т

Шп

Шп

ип

2=

ип±1,т (ип,т Шп,т)

Остановимся на характеристической алгебре Ьп системы (4,2) более подробно, поскольку данный случай отличается от ранее исследованных примеров, А именно, для построе-п

Поетроим сначала характеристические операторы первого порядка У1г1 и У2,1, пользуясь формулой (2,10), Выпишем несколько первых коэффициентов этих операторов:

у1,1

д и

д + ип,т±1 д + Шп,т±1 Шп,т д

ип,т дип,т±1

ип,т Шп

д Ш

п,т±1

+ ип,т— 1 д + ип,т— 1 (шп,т Шп,т— 0 д + ип,т±2 д +

ип

дип,т— 1 ип,т (шп,т ип,т— 0 дшп,т— 1

ип

у2,1

д

д Шп

+

Ш

п,т±1

ип

д

Шп,т ип,т

д Ш

+

Шп,т— 1 ип,т— 1

п,т±1

ип,т— 1 дшп,т— 1

г дип,т±2 + ....

Шп

у1,1 у2,1 Х1,1

д ип 1,

Х

д

2,1

д Шп

п 1,т

равны нулю. Поэтому система дифференциальных уравнений

Х1А3 = 0, Х2л3 = 0, У1А3 = 0, У2л3 = 0

имеет нетривиальное решение. Однако это решение не является интегралом системы (4,2), Другими словами, характеристическая алгебра имеет более высокую размерность и для ее построения нужно исследовать также и высшие характеристические операторы. Найдем

у1,2 у2,2

этих операторов, пользуясь формулой (2,11):

У _ (шп,т ип,т) (ип,т±1 ип,т) ип,т±1 д Шп,т±1 Шп,т д

У 1,2 =~-—-ч-"--г

у2

(шп— 1,т ип— 1,т) (шп,т±1 ип,т) ип,т дип,т±1 Шп— 1,т ип— 1,т дшп,т±1 + (ип,т ип,т— 1) ип,т— 1 д + (шп,т ип,т) (шп,т Шп,т— 0 ип,т— 1 д +

(шп— 1,т ип— 1,т) ип,т дип,т— 1 (шп— 1,т ип— 1,т) (шп,т ип,т—1) ип,т дшп,т— 1 (шп,т ип,т) (ип,т±1 ип,т) ип,т±1ип— 1,т д

2,2

(шп— 1,т ип— 1,т) (шп,т±1 ип,т) ип,тШп— 1,т дип,т±1

+ +

(шп,т±1 Шп,т) ип— 1,•,

д

+

(ип,т ип,т— 0 ип,т— 1ип— 1,т д

(шп— 1,т ип— 1,т) Шп— 1,т дшп,т±1 (шп— 1,т ип— 1,т) ип,тШп— 1,т дип,т— 1

(шп,т ип,т) (шп,т Шп,т—1) ип,т— 1ип— 1,т д

(шп— 1,т ип— 1,т) (шп,т ип,т—1) ип,тШп— 1,т дшп,т— 1

+ ....

у2,2

вид:

Х1,1,Уг

1,2

1

ип 1, Шп 1 ,т

у1,2 у1,2 Х1,1 Х2,1

Шп 1 ,т - ип 1 ,т

у1

1,2

Х2,1, у1,2

1

Шп 1,т - ип 1,т

у1,2

можем предположить, что характеристическая алгебра Ьп го операторов Х11,

Х2,1 у1,1 у2,1 у1,2

У1л3 = 0; У2л3 = 0; У1>23 = 0, где 3 = 3 (и

Шп

п,т п,т

l, ип,т+11 Шп,т±1, ип,т— 1) ,

находим функции:

т Шп,т ип,т ип,т (шп,т±1 Шп,т) 31 =--+

32

Шп,т±1 ип,т ип,т±1 (шп,т±1 ип,т) ип,т ип,т (шп,т±1 ип,т) (ип,т ип,т—1)

ип,т— 1 ип,т— 1 (ип,т Шп,т) (ип,т±1 ип,т)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что найденные функции образуют пол-п

Дарбу.

4.2. Случай N = 3. Формальные условия обрыва и°пт = 0, иАпт = го приводят цепочку (1.4) к системе уравнений

(ип,т±1 ип,т) ип±1,тип,т±1

ип±1,т±1

ип,т (п,т±1 ип,т±1)

(V п+1 ,т ип±1,т) (шп,т±1 Vп,т ) V.п ,т ±1 Vп+1,т+1 = / ч + ип±1,т, 1.4,0]

^п,т (Шп,т±1 ^п,т±1)

(Шп+1 ,т- - Уп+1 ,т) Шп,т±1 Шп±1,т±1 + 'Vп±1,т,

Шп,т

1 2 3

ГДе ип,т ■ ипт~, ип,т ■ ипт~, Шп,т ■ ипт•

Здесь &\тЬт = 9, а базис алгебры состоит из операторов Х1,1 = —-, Х2,1 = —-,

д ип,т 1 д п,т 1

Хз,1 = д-, У1,ь У2,Ь У3,Ь К = [^д^д], Р = [Х11,Уз,}\, Я = [Х2,1,Уз,1]. Искомый

дШп,т— 1

т

Уц1 = 0; У2А1 = 0; Узд/ = 0; К1 = 0; Р1 = 0; <41 = 0,

ГДе I I (ип,т, ^п,т, Шп,т, ип+1,т, гип+1,т1 Шп+1,т1 Ип— 1,т,Шп— 1,т ,ип+2,т) • ип±1,т 1)п±1,т ип±1,т Vп±1,т Шп±1,т

Ь = + 2=

Vп,т Шп,т ип,т Vп,т Шп,т

ип±2 ,т (ип+1 ,т Vп+1,т) (Vп,т Шп,т)

ип±1,т п,т Шп 1,т

ип+1,т (ип,т '^п,т) ип+1,т (Vп,т Шп,т) (ип+1,т '^п+1,т) (Vп,т Шп,т)

3 =--Г

ип,т п 1,т ип,т Шп 1,т п,т Шп 1,т

д

Характеристическая алгебра Ьп системы (4,3) порождается операторами Х

1,1

и п 1 ,т

~ д ~ д ~ ~ ~ ~ д ~ д Х2,1 = д-5 Х3,1 = д-5 У1,Ь У2,ъ У3,Ъ Х1,2 = д-5 Х2,2 = д-;

д п 1,т д Шп 1,т д ип 2,т д п 2,т

~ д ~ ~

Х3,2 = д-, У\,2-, У3,2 и их кратными коммутаторами. Базис алгебры состоит из пе-

дшп-2,т

речпсленных выше операторов и оператора К = Х^^^х^ , Далее мы ищем функции

3 = 3 (ип,т, Уп,т,Шп,т,ип,т+1, Уп,т+1, ШЩт+1, иЩт-1, Vп,т-1 ,Ш,п,т+2), КОТОрЫв аННуЛИруЮТ-

п

интегралов:

(Ип,т+1 Ип,т) (ип,т ип,т— 1) (шп,т+2 Шп,т+1)

ип,т— 1 (ип,т Ип,т) (^п,т+1 Шп,т+1)

J2 J*

Un,m+1 n,m+1 Un,m) (^n,m+1 '^n,m) Vn,m Wn,m Un,m— 1 (^n,m ^n,m) (^n,m+1 ^n,m)

^n,m+1 Wn,m (^n,m+1 ^n,m) (^n,m+1 ^n,m) (^n,m ^n,m— 0 ^n,m fan,m Wn,m) (^n,m ^n,m— 0

+

n,m+1 Wn,m) (jUn,m ^n,m— 0 (P'n,m ^n,m— 1)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. Hirota. Discrete analogue of a generalized Toda equation // J. Phvs. Soc. Japan. 50:11, 3785-3791 (1981).

2. T. Miwa. On Hirota's difference equation // Proc. Japan Acad. Ser. A. 58:1, 9-12 (1982).

3. I. Krichever, P. Wiegmann. A. Zabrodin, Elliptic solutions to difference non-linear equations and related many-body problems // Commun. Math. Phvs. 193:2, 373-396 (1998).

4. A.B. Забродин. Разностные уравнения Хиротм // ТМФ. 113:2, 179-230 (1997).

5. A. Kuniba, Т. Nakanishi, J. Suzuki. T-systems and Y-systems in integrable system,s //J- Phvs. A: Math. Theor. 44:10, 103001, 146 pp. (2011).

6. C.B. Смирнов. Интегрируемость no Дарбу дискретных двумеризованных цепочек Тоды, // ТМФ. 182:2, 231-255 (2015).

7. А.К. Погребков. Высшие разностные уравнения Хиротм и их редукции // ТМФ. 197:3, 444-463 (2018).

8. E.V. Ferapontov, V.S. Novikov, I. Roustemoglou. On the classification of discrete Hirota-type equations in 3D // Int. Math. Res. Not. IMRN 2015:13, 4933-4974 (2015).

9. Ii.T. Хабибуллин, A.P. Хакимова. Интегралы и характеристические алгебры систем дискретных уравнений на прямоугольном графе // ТМФ. 213:2, 320-346 (2022).

10. А.Н. Лезнов, А.Б. Шабат. Условия обрыва, рядов теории возмущений // Интегрируемые системы. БФАН СССР. 34-44 (1982).

11. ТВ. Чекмарев. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производным,и // Дифференц. уравнения. 18:9, 1614-1622 (1982).

12. А.В. Жибер, О.С. Костригина. Задача, Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка, // Уфимск. матем. журн. 3:3, 67-79 (2011).

13. I. Habibullin, M. Poptsova. Classification of a Subclass of Two-Dimensional Lattices via Characteristic Lie Rings // SIGMA. 13, 26 pp. (2015).

14. Ii.T. Хабибуллин, M.H. Кузнецова. О классификационном алгоритме интегрируемых двумеризованных цепочек на, основе алгебр Ли Райнхарта // ТМФ. 203:1, 161-173 (2020).

15. E.V. Ferapontov, I.T. Habibullin, M.N. Kuznetsova, V.S. Novikov. On a class of 2D integrable lattice equations // J. Math. Phvs. 61:7, 073505 (2020).

16. I.T. Habibullin, A.R. Khakimova. Characteristic Lie Algebras of Integrable Differential-Difference Equations in 3D // J. Phvs. A: Math. Theor. 54:29, 295202 (2021).

17. I.T. Habibullin, M.N. Kuznetsova. An algebraic criterion of the Darboux integrability of differential-difference equations and systems //J- Phvs. A: Math. Theor. 54:2021, 505201, 20 pp. (2021).

18. E. Goursat. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre // Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse: Mathématiques, Serie 2. 1:1, 31-78 (1899).

19. E. Goursat. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre // Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse: Mathématiques, Serie 2. 1:4, 439-463 (1899).

20. A.B. Жибер, H.X. Ибрагимов, А.Б. Шабат. Уравнения типа Лиувилля // Докл. АН СССР. 249:1, 26-29 (1979).

21. А.В. Жибер, В.В. Соколов. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа, // УМН. 56:1(337), 63-106 (2001).

22. О.В. Капцов. О проблеме классификации Гурса // Программирование. 2, 68-71 (2012).

23. В.Э. Адлер, С.Я. Старцев. О дискретных а,налогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 121:2, 271-284 (1999).

24. I. Habibullin. Characteristic Algebras of Fully Discrete Hyperbolic Type Equations // SIGMA. 1, 23 pp. (2005).

25. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan. Complete list of Darboux integrable chains of the form ti,x = tx + d(t,ti) // J. Math. Phvs. 50, 1-23 (2009).

26. R.N. Garifullin, R.I. Yamilov. Generalized symmetry classification of discrete equations of a class depending on twelve parameters //J. Phvs. A: Math. Theor. 45:34, 23 pp. (2012).

27. G. Gubbiotti, R. I. Yamilov. Darboux integrability of trapezoidal H^ and H^ families of lattice equations I: first integrals // J. Phvs. A: Math. Theor. 50:34, 345205, 26 pp. (2017).

28. G. Darboux. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. 1896.

29. А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Экспоненциальные системы m,una I и матрицы Картана. Препринт. Уфа: БФАН СССР. 1981.

30. G. Rinehart. Differential forms for general commutative algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 108, 195-222 (1963).

31. Д.В. Миллионщиков, C.B. Смирнов. Характеристические алгебры и интегрируемые системы экспоненциального типа // Уфимск. матем. журн. 13:2, 44-73 (2021).

32. А.В. Жибер, Р.Д. Муртазина, И.Т. Хабибуллин, А.Б. Шабат. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируем,ые уравнения. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2012.

Иемагил Талгатович Хабибуллин, Институт математики е ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: habibullinismagilSgmail. com

Л ¡i гуль Ринатовна Хакимова,

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: aigul. khakimova@mail. ru