ИНТЕГРАЛЫ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ ПОЛУДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 25-35.

УДК 517.9

ИНТЕГРАЛЫ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ ПОЛУДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

А.В. ЖИБЕР, М.Н. КУЗНЕЦОВА

Аннотация. Работа посвящена исследованию систем полудискретных уравнений rn+i,x = h(x,n,rn,fn+1,rn,x) в рамках подхода, основанного на понятии характеристического кольца Ли. Здесь гп = (г1п, г2п,... ), h = (h1, h2,..., hN), n e Z. Среди интегрируемых нелинейных уравнений и систем в частных производных в отдельный широкий класс выделены нелинейные гиперболические уравнения и системы, интегрируемые «по Дарбу». Отличительным свойством таких уравнений является наличие интегралов по каждому характеристическому направлению (так называемых х- и у-интегралов). Последнее позволяет сводить интегрирование уравнения в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения и системы, интегрируемые «по Дарбу» эффективно поддаются исследованию и классификации при помощи характеристических колец Ли. Основополагающими в формировании алгебраического подхода исследования нелинейных гиперболических систем являются работы Лезнова, Смирнова, Шабата, Ямилова [1, 2]. В настоящее время алгебраический подход распространен на полудискретные и дискретные уравнения. В данной работе доказано, что система обладает N ж-интегралами, независимыми в главном, тогда и только тогда, когда характеристическое кольцо Ли, соответствующее непрерывному характеристическому направлению, конечномерно.

Ключевые слова: полудискретная система уравнений, характеристическое кольцо, ж-интеграл, система, интегрируемая по Дарбу.

Mathematics Subject Classification: 37К10, 37К30, 37D99

1. Введение

Работа посвящена исследованию систем полудискретных уравнений

) (1-1)

в рамках подхода, основанного на понятии характеристического кольца Ли. Здесь гп = (ri, rl ,...,r£), h = (h1,h2,...,hN), n e Z.

Прежде всего, дадим точные определения и формулировки утверждений. Первоначально, определим набор независимых переменных. Каждое равенство должно быть выполнено тождественно на любом решении системы (1.1). Поэтому везде гп+1,х заменяется на правую часть h(x, п, rn, rn+i,rn,x), гп+2,х на h(x, п + 1,rn+i,rn+2, h(x, п, rn, rn+i,rn,x)) и т.д. Таким образом, независимые переменные

( 1 О^

• • • 1 ' п—т>•••>' п—1) пу п+11 • • • 1 ' п+к 1 • • • 1 ' n,xi п,хх i ' п,ххх ■,■■■■

A.V. Zhiber, M.N. Kuznetsova, Integrals and characteristic Lie rings of semi-discrete

systems of equations.

© Жибер А.В., Кузнецова М.Н. 2021.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №21-11-00006, https: / / rscf.ru / project/21-11-00006/. Поступила 15 апреля 2021 г.

Далее мы будем использовать обозначения: Их для оператора полного дифференцирования по переменной х, И для оператора сдвига по п па единицу, т.е

Ог(п, х) = г(п + 1,х), И-1 г(п, х) = г(п — 1,х),

02г(п, х) = г(п + 2,х), И-2г(п, х) = г(п — 2,х).

Для производных вектора гп будем использовать обозначения гп,х = (г\ х,Гп х,..., г^х),... ■

/Я тг1 атгМ\

= (г1,(.т) гК,(т)\ = ° 'п ° 'п \

1п ,...,'п * ^ дхт дхт ) .

Определение 1.1. Функция

^ ( дШ \ 2

№ = Ш (х,п,гп,гп+1,...,гп+3), ) =°,

удовлетворяющая характеристическому уравнению БХШ = называется х-интегралом системы (1.1), а число в - его порядком,.

Определение 1.2. Функция

N , ^ ч 2

I I (х, П, Гп, Тп,х, Тп,хх, . . . ,г<(г )), ^ ^ ( г,(т) ) = °,

¿=1 \ОТ'п /

удовлетворяющая уравнению = I, называется п-интегралом системы (1.1), а число т - его порядком,.

Система уравнений (1.1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует полный набор (М по каждому характеристическому направлению) функционально независимых интегралов.

Пример 1.1. Цепочка,

^"п+1,х + са 2

является, интегрируемой по Дабру, так как допускает х-интеграл,

Ш = е 2 + е 2

и п-интеграл, (см. [3]^)

г2

т _ , 1'п,х

1 Т"П,ХХ 2 .

Уравнения и системы, интегрируемые по Дарбу, эффективно поддаются исследованию и классификации при помощи характеристических колец Ли.

Понятие характериетичекой алгебры Ли было введено в работе [1] для систем гиперболических уравнений вида

игху = Р*(и), г =1,2,...,п. (1.3)

В работах [1, 2] был доказан критерий интегрируемости по Дарбу нелинейных гиперболических систем уравнений. Было показано, что система (1.3) обладает полным набором интегралов тогда и только тогда, когда характеристическая алгебра конечномерна. В работе [4] получен критерий интегрируемости по Дарбу нелинейных гиперболических систем уравнений вида

иху = Р (и, их,иу) (игху = Рг ,г =1, 2,... ,п).

В работах [5, 6] введено понятие характеристического кольца дискретного уравнения и с помощью этого понятия проведена классификация интегрируемых по Дарбу

дифференциально-разностных уравнений вида щ+1х = ¡(щ,щ+1 ,щ,х). В работах [7, 8] исследуется задача построения полного набора интегралов гиперболической системы,

В работе [9] сформулирована гипотеза: система уравнений (1.1) обладает полным набором х— и п— интегралов, тогда и только тогда, когда характеристическое кольцо по каждому характеристическому направлению конечномерно.

В настоящей работе доказано, что система (1.1) обладает N независимыми х—интегралами, тогда и только тогда, когда характеристическое кольцо по этому характеристическому направлению конечномерно.

Статья организована следующим образом. Параграф 2 содержит доказательство основного результата, сформулированного в Теореме 2.1 для системы (1.1) при N = 2. В параграфе 3 приводится схема доказательства основного результата для произвольного N (Теорема 3.1). Заключение содержит обсуждение результатов.

2. Характеристические кольца. Случай N = 2 Исследуем случай N = 2:

гп+1,х = к(х,п, гп, гп+1, гп,х), гп =(г1_, г2п), к = (к1,Ь2), п е Z. (2.1)

х

зависящих от переменных х, гп,х, гп, гп+1,... оператор полного дифференцирования по х имеет вид

оо

В = — + г1 — + г2 — + — + г2 (2 2)

х й^ п,хх О 1 I п,хх О 2 1 / У I п+к,х О 1 I п+к,х <л 2 ' V ■ )

их и' п,х и' п,х к=0 \ и' п+к и' п+к /

Из системы уравнений (2.1) получаем соотношения

Г'п+к,х — кп+к (х1 'Г'п, гТ'п+1, ... , Т'п+к, Гп,х) , к — 1, 12, . . . (2-3)

Представим оператор (2.2) в виде

Вх = Г1п хх¥1 + г-п К + Уз, (2.4)

где

У = У = — У = — + Г1 + Т'2 9 \

11 йг 1 , 12 Яг-2 , 13 9х + \'п+к,хйг 1 + 1 п+к,х 9г2 . 91 п,х й' п,х йх к=0 \ 91 п+к 91 п+к/

Согласно формулам (2.3), векторное поле У3 можно представить в виде:

У = 9 1 9 2 9 ^ / 9 „9

3 = дх + Г'п,хШ + Г'п,х+ ^' ак^

у / 9 ^ 9 \

к^к9 гп+к к9 г2+к)

где к,п+к = (ак ,@к)- Отметим, что

ак = ак (х , П1 r^"^п, Гп+1-, . . . , Тп+к, Тп,х ), = (х,п, Гп, Гп+1, . . ., Гп+к, Гп,х).

Характеристическое уравнение

БШ (х, п, Гп, Гп+1,..., Гп+т) = 0, (2.5)

согласно (2.4), эквивалентно системе

У1Ш = 0, У2Ш = 0, УзШ = 0. (2.6)

С уравнениями (2.6) естественным образом связано колько Ли, порожденное векторными полями У1.1 У2 и У3. Это кольцо X будем называть характернотичееким х-кольцом Ли

х

Справедливо следующее утверждение:

Лемма 2.1. Если система уравнений (2,1) обладает двумя х-интегралами, независимыми в главном,, то кольцо X конечномерно.

Доказательство. Пусть система (2,1) обладает парой интегралов одинакового порядка

ш(x, fn,..., fn+m), Ш(х, гп,..., fn+m), независимых в главном, то есть определитель

дш дш

дV1 дт2

^' п+т ^' п+т

дШ дШ

$V1 $Т2

^' п+т ^' п+т

= °.

Тогда имеет место равенство

Г п+т = ап(ш, W, X, П,Гп,..., Гп+т-1). (2,7)

Далее положим шп = ш, Шп = Ш. Теперь из (2,7) получаем соотношения

^п+т+к = А-к (x, п, шn, , . . . , Шп+к, Шп+к, fn, fn+l, . . . , fn+m-l), к = °, 22, .... (2.8) Таким образом, учитывая формулы (2.8), от независимых переменных

Т'п,х, %, гn, гп+1,..., тп+3,... (2,9)

можно перейти к новым переменным

Т'п,х, %, ^п, Т'п+1, ... , Т'п+т— 1, ^п, Шп+к , Жп+к,.... (2.10)

В новых переменных (2.10) оператор У3 запишется в виде

д ^ ( 1 д 2 д

Т1 — + Т'2

/ У \ п+к,х О 1 I п+к,х О 2 / • ¡,-п V и1п+к и'п+к/

^3 ЯТ + [ Гп+к,х

их к=0 \ и1п+к ^'п+к,

При замене переменных справедливо соотношение [X, = ^Х, , здесь черта сверху означает исходный оператор в новых переменных, и кольцо Ли, порожденное операторами 11 У2 и У3 конечномерно. Поэтому и исходное ж-кольцо Ли X конечномерно.

Пусть исходная система уравнений (2,1) имеет пару интегралов разного минимального порядка

ш(х,п,гп ,...,гп+1), W (х,п,гп,...,гп+т), 1<т, (2,11)

независимых в главном. Последнее означает, что интегралы

ш(x, п + т — I, гп+т-1,..., fn+m), Ш(х, fn,..., гп+т) независимы в главном, И тогда, переходя от переменных (2,9) к переменным

'^n,x, %, Г^ Гп+и . . . , Tn+m—l, Шп+т—1, Шп+т-1+1, . . . , ^Уп, ^Уn+1, . . . ,

как и выше получаем, что кольцо X - конечномерно. Лемма доказана, □

Рассмотрим вопрос о зависимости двух интегралов в главном. Пусть интегралы (2,11) зависимы в главном. Последнее означает, что справедливо равенство

№(х,п,гт,.. .,гп+т) = ^(х,п,гп,... ,гп+т-1,ш(х,п + т — 1,гп+т-1,.. .,гп+т)).

Откуда получаем, что

те

^ = ^ (х,П,Гп, . . . ,Гп+т-1)(ш — Ш°)к. к=0

В силу того, что ш и W - интегралы минимального порядка получаем, что

Fk = Фк (х,п,ш(х,п, гп,..., rn+i),... ,ш(х,п + т - I, fn+m-i,..., rn+m-i)). Таким образом,

W = Ф(х,п,шп,шп+1,... ,Шп+т-1) х

Рассмотрим обратную задачу. Пусть кольцо ^конечномерно, Ясн о, что dim X ^ 5. Рассмотрим случай dim X = 5. Тогда базнс кольца X задается векторными полями Yi.j Y2, Y3, Y13 = [Xi,Y3L Y23 = [X2,Y3]. Так как

д 1 д 2 д

Y3 =--+ г1--+ г2--+

3 дх + 'п'хдг1п + 'п'хдгI

^ ( < ^ д

+ } ^ ак(х,п, гп, Гп+i,..., гп+к, гп,х)hi--+ (2.12)

к=Л

д \

дг п+к/

то

[Y Y ] = + да^ _+ д$к д

[ 11 ,13] дг-1 + ¿^ I дг 1 дг1 . +

^ \ Яг>1 /"jif1 .qiy>l /"^Т*2

д1 п k=l \UI п,хд1 п+к д1 п,хд1 п+к

[Y Y ] = A + ^f hoL + д

[ Y ,Y3] дг-2 + Z^ l дг-2 дг-1 . +

д1 n k=l \UI n,xul n+k Ul n,xul n+k

Далее векторное поле (2.12) заменим на

Y3 = Y3 - Гп,хY13 - rlxY23.

Итак, имеем следующий базис

Y = Y = Y= д. + jria д +р_д_\

д Гп,х д Гп ,х дх к=1\ д гп+к дгп+к/

Y = — + V ( -д— + 5 —— \ Y = — + V ( + —- \ 13 д Гп ¿1V Ъдгп+к кд Г1+к) , 23 д Г1 ^V д гп+к ^К+к) .

(2.13)

Нетрудно заметить, что коэффициенты ак, /Зк, jк, 8к,рк, qk те зависят от переменных гпх

„2 '

i

п,

и г"'х и есть функции переменных х,п, гп,..., гп+к, инач е dim X > 5. Характеристическое уравнение (2.5) для х-иптеграла W(х,п, rn, fn+i); согласно (2.13), сводится к системе уравнений

( д д ~ д \ V дх c)ri+i д r'+i \ ( д д д \

(щ+* +^ иы \W(2'14)

( д д д \ Т1Г

+ PiJTT- + <Hjr^ W = 0.

Так как число независимых переменных равно пяти: (х, r^, r:2, r^+i, t'+^j а число уравнений трем, то система (2.14) имеет два функционально независимых решения ш(х,п, rn, fn+i) и W(х,п, rn, rn+i) первого порядка.

Далее рассмотрим кольцо X размерности 6, Не ограничивая общности можно считать, что базис порождается векторными полями (2,13) и полем вида

Ул

д

дг 1+к

+ s к

д

дг п+к

те /

+ Е О'

l=k+l V

д

дг п+1

+ di

д

дг п+1

)

1.

l 2 га И тп,х.

(2.15) Иначе раз-

Ясно, что коэффициенты оператора У4 те зависят от переменных г1 мерность кольца будет больше 6.

Аналогично, коэффициенты векторных полей (2.13) не зависят от глпх и х.

Если к ^ 2, то мы приходим к системе (2.14), которая имеет два функционально независимых решения первого порядка.

Пусть к = 1. Характеристическое уравнение (2.5) для ж-пнтеграла первого порядка сводится к системе, состоящей из уравнений (2.14) и уравнения (см. (2.15))

д д

и + = °. (2.16)

(

д Г n+l

д Гп+1

)

Так как число независимых переменных равно пяти: (х, глп, г2п, т]п+1, т''2+1); а число уравнений четырем, то система (2.14), (2.16) имеет одно решение ш(х, п, гп, гп+]) первого порядка. Далее рассмотрим уравнение (2.5) для ж-пнтеграла второго порядка

д

д_ _ дх дг1

+ 3

д

д д ГЛп д д Гп

+ ъ

+ Pl

д

д ГЛа+1

+ Si

п+1 д

д Гп+1 д

д Гп+1 д

д Гп+1

+ 012

д

д Гп+2

+

д

д

дгп+1 дгп+2

+ 41

д Гп+1

+ Р2

д

дгп+2

+ 32

+ Si

+ 42

д

д Гп+2

д

д Гп+2

д

дг1+1

+ S 2

д Г"п+2

+ d

д

2д rl+2

)

д Гп+2

W = 0,

W = 0,

W = 0,

(2.17)

W = 0.

Так как число переменных равно 7: (х, fn, гп+1, гп+2), а число уравнений системы (2.17) равно 4, то последняя имеет три функционально независимых решения ш(х, п, гп, гп+1), ш(х, п + 1, гп+1, гп+2) и W(х, п, гп, гп+1, гп+2). Таким образом, х-интегралы ш = ш(х,п, гп, гп+\) и W(х,п, гп, гп+1, гп+2) задают все семейство решений характеристического уравнения (2.5).

Далее рассмотрим случай dim X = 7. Тогда базис кольца Ли X порождается векторными полями, согласно (2.13), (2.15), вида

У =

У2

Уя

У

д

д_ д х

д

д д Г'п

+Е

к=1 те

г+Е

к=1

те

+Е

к=1

4 =

дг1+к

+ S к

д

д

Ок

д ri+k

д

Ik

Рк

д ri+k

+ Рк

+ 5к

д

д Гп+к

д

д Гп+к

дг1+к

+ Чк

д

д г1+к

+

У5

дг1+1

д

д

д rUi

д rl+i

те

Е (-

l=k+1 V те

Е

-rn+]+1 ^

д Гп+к

+ di

д

д Tl+i

д

s=n+l+1

дгп+в

+ х

)

д

д rn+s

Здесь коэффициенты векторных полей У те зависят от переменных г^, х и к. При к ^ 2 система уравнений

У^ = °, 1 = 1, 2, 3, 4,5 (2.18)

имеет два функционально независимых решения первого порядка и любое другое есть функция от их сдвигов, то есть

10 10 10\ Ш = Ш(х,п,ш ,ш ,и-1,и1,... ,ш3 ,ш3),

где

Ш1 = Ш1(х,п, Гп, Т'п+1), Ш2 = Ш2(х,п, Гп, Т'п+1), ш™ = ш™(х,п + г, гп+г, гп+ш), т = 1, 2, г=1, 2,..., в. Рассмотрим далее случай к = 1. Если I ^ 3, то мы приходим к системе (2.17). Таким образом, имеем ж-интеграл первого порядка и ж-интеграл второго порядка. Последние задают все семейство решений системы (2.18).

Пусть I = 2. Тогда нетрудно показать как и выше, что система (2.18) имеет два решения ш1(х,п, гп, гп+1) и ш2(х,п, гп, гп+1, гп+2), которые задают все множество решений характеристического уравнения (2.5). Осталось рассмотреть случай I = 1 (при к = 1). Если определитель

1 1 К1 л1

0,

то оператор У5 заменим па У5 = У5 — К\У4. Последний имеет вид:

У

д

д ri+i

+ Vi

д rl+i

+

те

Е

s=n+1+l

^Ks

д

д r^+s

+ Vs

д

^l+s

)

где I ^ 2. Этот случай был исследован выше. Если

1 1

= 0,

K1 V1

то операторы У4 и У можно заменить на следующие

У

д Гп+1

У

д

5 =

д Гп+1

+ Е

1=2

те

+Е

1=2

д

Si

д ri+1

+ di

д

д Tl+i

д ri+i

+ Vi

д

д Tl+i

Итак, имеем систему уравнений

yW = 0, Y2W = 0, Y3W = 0, YAW = 0, f~5W = 0. (2.19)

Для решений второго порядка W = W(х, п, гп, тп+1, гп+2) система содержит 7 независимых переменных х, гп, тп+1, гп+2, а число уравнений равно 5. Следовательно, существует два независимых интеграла второго порядка.

Ясно, что система (2.19) не имеет интегралов первого порядка в этом случае. Аналогично рассматривается случай, когда dim X > 7. Итак, доказано утверждение:

Лемма 2.2. Если кольцо X конечномерно, то существует два независимых интеграла, минимального порядка. Любой другой интеграл, есть функция от их сдвигов.

Таким образом, из Лемм 2.1, 2.2 следует утверждение:

х

ми в главном,, тогда, и только тогда, когда, кольцо X конечномерно.

3. Характеристические кольца

Определим характеристическое кольцо по направлению х для системы (1.1). На множестве локально-аналитических функций, зависящих от переменных х, гп,х, гп, гп+1,... опе-

х

д N ^ те N

°х = дХ + ^ Гп,хх дгПХ +

г=1 п,х к=0 г=

1 ("п+к,хдгд+J .

Из системы уравнений (1.1) получаем соотношения

Тп+к, х кп+к (х, П, Гп, Гп+1-, . . . , 1"п+к, 1"п,х') ,

Представим оператор (3.1) в виде

к =1, 2,

N

Т.'

г=1

п, х х

Гг + Г1

N+Ъ

(3.1)

(3.2)

(3.3)

где

У

д

д

д

те

^+1 = дх +

к=0

{г},

д

п+к,х д^ 1

+ ••• + Г,

п+ к

N д

п+к,х о N

д п+ к

)

Согласно формулам (3.2) векторное поле 1!+1 можно представить в виде:

д 1 д

+ ---+Г.

N

д

1 д к=1\ °Гп+к

+ •••

д

дг Ц+к

)

(3.4)

дх ' 'п,хдгк ' ' ' п,хд где Ъп+к = (ак,..., ). Отметим, что

Са"к = Са"к(х, П, Гъ Гп+1, . . . , Гп+к, ^п,х).

Характеристическое уравнение

ИхШ(х, П, Гп, Гп+1,. . . , Гп+ш) = 0,

согласно (3.3), эквивалентно системе

У^ = 0, г=1,2,...,М,М +1. (3.5)

С уравнениями (3.5) естественным образом связано кольцо Ли X, порожденное векторными полями Уг, г = 1, 2,...,М,М + Это коль цо X будем называть характериети-

х

х

Лемма 3.1. Если система уравнений (1.1) обладает N х-интегралами, независимыми в главном,, то кольцо X конечномерно.

Доказательство. Пусть система (1.1) допускает N интегралов одинакового порядка шг(х, п, гп,..., гп+ш), независимых в главном. То есть определитель

дш1 дш1 дш1

= 0.

дт1 дг2

^' п+ш ^1 п+ш

дг N

п+ ш

(3.6)

Далее положим = ш1,..., ш1^ = шм. Тогда из (3,6) получаем еооотношения

Гп+ш+к = Ак (х,п,ш1, ,.. .,ш1п+к,.. .,Шп+к, гп, гп+г,..., гп+т-г), (3.7)

к = 0,1, 2,.... Таким образом, учитывая формулы (3,7), от независимых переменных

Т п,х, х, Гп гп+1,..., тп+3,... (3,8)

можно перейти к новым переменным

Tn,x,х, fn, Гп+и . . . , Тп+т— 1, ^п, . . . , Шп , . . . , Шп+к, . . . , Шп+к. (3-9)

В новых переменных (3,9) оператор У^+1 запишется в виде

1 / г\ г\

( л о м а

— + ••• + rN

/ у \ п+к,х о i I I п+к,х ам / •

¡,-п V д1 п+к д1 п+к/

Yn +1 = дх + ( Гп+к,хВг 1

дх к=0 \ д1 п+к д1 п+к,

При замене переменных справедливо соотношение [X, Z] = \Х, Z], черта сверху означает исходный оператор в новых переменных, и характеристическое кольцо, порожденное операторами Y1,Y2,...,Yn,Yn+1 конечномерно. Поэтому и исходное характеристическое кольцо X конечномерно.

Пусть исходная система уравнений (1.1) имеет N интегралов

ш1(х,п,гп,... ,rn+h), ..., шм (х,п,гп,... ,rn+iN), (3.10)

разных минимальных порядков ^ ^ I2 ^ ... ^ In, независимых в главном. Последнее означает, что интегралы (обозначим I^ = М)

ш1(х,п + М - h, fn+M-h,..., fn+M), шг(х,п + М - k, rn+M-ii,..., fn+м), г = 1, 2,..., N - 1, шм(х,п, гп,..., гп+м) независимы в главном. И тогда, переходя от переменных (3.8) к переменным

--- - 1 1 N N

1"п,х, х, гп, Т'п+1, ... , Т'п+т-1, Шп+т—1\ , Шп+т-11+1, ... , Шп , Шп+1

как и выше получаем, что характеристическое кольцо X конечномерно. Лемма доказана.

" □

Теперь рассмотрим обратную задачу. Справедливо следующее утверждение: Лемма 3.2. Если кольцо X конечномерно, 'то существует N независимых

х

гов.

Схема доказательства. Пусть кольцо ^конечномерно, Ясп о, что dim X ^ 2 N + 1. Рассмотрим случай dim X = 2 N + 1. Тогда базис кольца X задается векторными полями

Y1,Y2,...,Yn ,Yn+1,

Y1 ,N+1 = [Y1,YN+1] , Y2,N+1 = \Y2, YN +1] , . . . , YN,N+1 = [YN ,YN +1] .

Так как

д N ■ д ( д YN+1 = дТ + <>х Q- + (х,п ^ ^Ь..- fn+k, гп,х) дТГ~ + •••

i=1 п k=1 ^ п+к

- \ д \ • • • + ак \х,п, Гъ Гп+и . . . , fn+k, Тп,х) дгN у ,

то

д д ГЛа (( + £1 к=1 ( дак д 1 \ у' п.х д дг к+к + • • + даN д 1 у' п.х д дг N+к

д дг п ( + £( к=1 Г дак к дгл \ у' п.х д дг к+к + + даN дгл у' п.х д дг N+к

[YI,YN+,]

[y,yn+1]

Далее векторное поле Yn+1 заменим на

1, 2,

Yn +1 — YN+1 — r^,xY1,N +1 — ,х Y2,N+1 — • • • — r'N,xYN,N +1.

Итак, имеем следующий базис

"y, 9

дг1

у' п,х

Yo

д г°

п, x

Yn

д

Y = 9 + YN+1 — ---г

дх

(f~i д к=,\ д'п+

-N

к а„1 + •• • + ап+к п+к

N

) •

дг N '

п, x

Y = д + W П1 д + + ^ д

Yi,N+i — дт + Iр1,к+ ••• + Pi,kдт^т-

д' п к=1 \ д' п+к д' п+к

Yo,n+1 — ддО + (Ак + ••• + Р^,к

д' п к=1 \ д' п+к д' п+к

N.

(3.11)

Yn

д

N,N+1

+

дг N п к=1

( / {р]ч.к

1—л V

д

д Гп+к

N

+ ••• + Pn.

д

кдг N+к

Нетрудно заметить, что коэффициенты р^к, г — 1, 2,..., N, j — 1, 2,... ,N не зависят от переменных х,п,гп,..., гп+к, иначе размерность dim X > 2N +1.

Характеристическое уравнение (3.4) для х-интеграла W(х,п,гп,гп+1), согласно (3.11), сводится к системе уравнений

1

д

дх + 1д гп,+1

+ ••• + а

д

N_

1 дг N

п+1

)

W — 0,

(JL , д

[дг! + р,,1дгп+1

д +-+ ^^ — °

)

(3.12)

(

д д +pNi]^ + • • • + pNi^r-1 w — °.

OrN

п+1

дг N

п+1

)

Так как число независимых переменных равно 2N +1 х, гП,..., гN , гП+1,..., а число уравнений равно N + 1, то система (3.12) имеет N функционально независимых решений

и1(х,п, Гп, Гп+1),.. . (х,п, Гп, Гп+1)

первого порядка.

Аналогично доказательству Леммы 2.2 рассматриваются случаи, когда размерность &\тХ > 2N + 1.

Таким образом, из Лемм 3.1, 3.2 следует утверждение:

Теорема 3.1. Система уравнений (1.1) обладает N х-интегралами, независимыми в главном,, тогда, и только тогда, когда, кольцо X конечномерно.

4. Заключение

В настоящее время аппарат характеристических колец Ли является эффективным инструментом исследования интегрируемости нелинейных моделей, как непрерывных (уравнений и систем) [1, 2, 4, 7, 8], так и полудискретных уравнений (см, [5, 6]), По-видимому критерий интегрируемости полудискретных систем, рассмотренных в данной работе, состоит в следующем: система уравнений (1.1) обладает полным набором (N по каждому характеристическому направлению) интегралов, тогда и только тогда, когда характеристическое кольцо по каждому направлению конечномерно. В данной работе доказана часть этого критерия, касающаяся непрерывного характеристического направления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Н. Лезнов, В.Г. Смирнов, А.Б. Шабат. Группа внутренних симметрии и условия интегрируем,ост,и двумерных динам,ичексих систем // ТМФ. 51:1, 10-21 (1982).

2. А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. Препринт. Уфа: БФАН СССР. 1981.

3. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Sakieva. Discretization of hyperbolic type Darboux integrable equations preserving integrability // J. Math. Phvs., 52:9, 093507 (2011).

4. A.B. Жибер, О.С. Костригина. Точно интегрируемые модели волновых процессов // Вестник УГАТУ. 7:25, 83-89 (2007).

5. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan. Оп the classificatión of Darboux integrable chains // J. Math. Phvs. 49:10, 102702 (2008).

6. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan. Complete list of Darboux integrable chains of the form ti,x = tx + d(t,ti) // J. Math. Phvs. 50:10, 102710 (2009).

7. A.B. Жибер, A.M. Гурьева. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. 6:2, 26-34 (2005).

8. А.В. Жибер, О.С. Костригина. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 3:2, 173—184 (2010).

9. I.T. Habibullin, A.R. Khakimova. Characteristic Lie Algebras of Integrable Differential-Difference Equations in 3D // J. Phvs. A: Math. Theor. (accepted), Preprint: arXiv:2102.07352 (2021).

Анатолий Васильевич Жибер, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: zhiber@mail. ru

Мария Николаевна Кузнецова,

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН,

ул.Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: mariya .11 .kuznetsova@gmail. сот