К рекуррентному уравнению для ставки капитализации чистого операционного дохода от аренды недвижимости Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

8(20) - 2009

Оценка стоимости бизнеса

к рекуррентному уравнению для ставки капитализации чистого операционного дохода от аренды

недвижимости

А. Г. ПЕРЕВОЗЧИКОВ,

академик РАЕН, доктор физико-математических наук, профессор, директор по производству ООО РАО «Консалтинг и экспертиза собственности»

г. Тверь

Рассматривается задача прогнозирования изменения чистого операционного дохода от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости. Предполагаемые темпы изменения стоимости на ближайшее время известны из прогноза на ближайшие три года индекса роста стоимости строительно-монтажных работ, имеющегося в издании КО-ИНВЕСТ. Автор предлагает практически значимую методику прогнозирования ставки капитализации. Рассматривается числовой пример прогноза темпов изменения чистого операционного дохода и соответствующих ставок капитализации.

Ключевые слова: оценка, недвижимость, товарный, стоимость, метод, капитализация, норма, обменный, курс, валюта, доход.

Рассматривается задача прогнозирования изменения чистого операционного дохода (ЧОД) qt от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости Xt на прогнозный период n в методе дисконтирования доходов (DDM) в рамках доходного подхода для определения рыночной стоимости недвижимости [2, 3]. Предполагаемые темпы изменения jt стоимости на ближайшее время бывают известны поквартально, например, из прогноза на ближайшие три года индекса роста стоимости СМР, имеющегося в известном издании КО-ИНВЕСТ, а соответствующий прогноз изменения арендных ставок и вытекающий из него прогноз изменения ЧОД, если и известен из обзоров рынка, то весьма приблизительно, и полу-

чается на основе экстраполяции ретроспективных данных. В связи с этим в работе [1] была предложена детерминированная модель прогнозирования темпов v изменения ЧОД qt и соответствующей ей в силу модели САМР [2] переменной ставки дисконта it в зависимости от предполагаемых темпов изменения стоимости недвижимости Xt

Наконец, в работе [4] было предложено рекуррентное уравнение для ставки капитализации Kt, которое предполагает знание только vt , если имеется подходящая аппроксимация для в'у — бета-фактора модели САРМ, определенного по обычной статистической формуле, где случайная доходность недвижимости It заменена соответствующим случайным темпом V изменения ЧОД q. Подходящая аппроксимация в'у была предложена в [1]. Это позволяет замкнуть модель [4] и получить практически значимую методику прогнозирования ставки капитализации Kt . Предложено новое граничное условие для Kt, рассматривается числовой пример прогноза темпов изменения ЧОД и соответствующих ставок капитализации.

1. Стохастический аналог модели постоянного роста стоимости

Предположим вначале, что текущая цена Xt актива в виде недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

X, = Xt_i(\ + jt)t = 1,2,(1) где {j} — предполагаемая последовательность темпов ее изменения, которая в настоящей статье

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения

Оценка стоимости бизнеса

8 (20) - 2009

предполагается неслучайной (детерминированной). По отношению к соответствующей стохастической модели переменного роста, рассмотренной в [4], эти темпы представляют собой средние значения для соответствующих случайных темпов. Таким образом, в настоящей статье рассматривается детерминированный вариант модтли п тр еменн о го ро ста. Аналогично (1) предположим, что чистый оп т-рационный доход (ЧОД) qt от аренды недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

qt = д-(Г т vt)t = г,2,...,и, (2)

где {vt} — соответствующая последовательность темпов изменения ЧОД, которая также предполагается неслучайной (детерминированной). Начальные значения X0 — стоимости недвижимости и ЧОДq0 предполагаются известными, соответственно, из затратного подхода и из ретроспективных данных. Требуется определить последовательность {vt}, если известна последовательность {j }. 2. Рекуррентное уравнение для мультипликатора Р/Е Обозначим:

m и ct/qt. (3)

Эта величина представляет собой известный мультипликатор P / E = цена / прибыль. Иногда удобнее выразить обратную к ней величину 1/mt в процентах.

Начальное значение мультипликатора m0 = ж0 /q0 получается из начальных условий, а дальше используется рекуррентное уравнение:

V1 + Vt+1 у

t = 0,1,...,n _1.

(4)

ßt+i =-

Dp

(6)

Здесь Я+1 — случайная доходность рынка, соответствующая средней доходности т(+1 , а /(+1 — случайная доходность, соответствующая средней доходности, определяемая формулой:

q+1 + Xt

X

t+i _ i = Xt+i

xx

(3tH- +1) _ 1 =

Нам потребуются основные соотношения модели рынка капитала (САРМ) [3].

3. модифицированная модель САРм

Основное соотношение модифицированной модели САРМ в принятых нами обозначениях имеет вид [3]:

it+1 = г/ + в+1 (Г+1 - Г/) + (5)

где it+1 — искомая ставка дисконта, т^ — безрисковая ставка дохода, pt+1 — бета-фактор модели, т+ — среднерыночная рыночная доходность, с — поправка на факторы, не учтенные в классической модели САРМ. Большими буквами будем обозначать соответствующие случайные величины. Тогда бета-фактор представляет собой коэффициент линейной регрессии 1+1 на Я+1 и определяется известной формулой из статистики:

К(Ь+1Л+1)

= (1 + jt+i ( 1 /Щ+1 +1) -1- (7)

Пусть J+1 — случайная величина темпа роста стоимости, соответствующая средней доходности j+1. Тогда доходность рынка Rt+1 можно в простейшем случае заменить на J г

Замечание 1 [1]. Для оценки статистических характеристик J+1 можно взять ряд фактически наблюдаемых в ретроспективе темпов роста стоимости СМР из сборника КО-ИНВЕСТ. Конечно, при этом мы неявно исходим из предположения о стационарности случайного процесса {J}, что обычно и происходит при определении статистических характеристик произвольного случайного процесса, когда генеральная совокупность значений сечения процесса в данный момент времени по реализациям заменяется на генеральную совокупность сечений данной реализации по времени. В этом случае среднее значение j+1= rt+1 фактически не зависит от времени: j=r. Не зависимой от времени в этом случае будет и величина Art+1 = r - rf .

Из формулы (11) видно, что в качестве аппроксимации линейной регрессии It+1 на J+1 можно взять:

It+1 = (1 + J+1 ( 1 /шм +1) -1- (8)

Подставляя (8) в (6), приходим к следующей аппроксимации бета-фактора модели САРМ:

ßt+1 =-

1

- +1.

m

t+1

Или с учетом (4):

ßt+1 = - ■ ^ +1. m 1+Jt+1

(9)

(10)

Замечание 2 [1]. Из (7) видно, что при Я1+1 = Jt+1 точное выражение для в + имеет вид:

ßt+1 = ^ +1, mt

где ß t+1 определяется аналогично (6):

ßv = K(Vt+1 ,Jt+1)

ßt+1 = D .

(11)

(12)

Из сравнения (10) и (11) видно, что в качестве аппроксимации р^+1 в [1] предлагается использовать выражение:

ßv = 1 + V+1 Pt+1 _ , . 1 + Jt+1

(13)

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения

7х"

35

mt+1 = mt

8(20) - 2009

оценка стоимости бизнеса

Альтернативой было бы статистическое оце-

Граничное условие для уравнения (17) дает

нивание Рм по ретроспективным данным, но формула (ср. с [1], где была использована известная

в силу замечания 1 о невольном использовании предположения о стационарности процессов {V} полученное значение фактически не будет зависеть от времени: р^ = рк . Проведенные численные эксперименты показывают неудовлетворительное поведение моделей с постоянной аппроксимацией

РГ+1 в (Щ

Обозначим для краткости:

Аг = г - Тр

4. Уравнение для неизвестного темпа и ставки дисконта

В [1] было получено следующее выражение для

неизвестного темпа v

t+1 •

v,+, = -

jt+i _ rf -Ar _ c

(Ar( 1 + jt+i) _ 1 )/mt

_ 1.

(14)

И соответствующей ставки дисконта:

it.

= rf + (— - +1)-Ar + c.

mt

1 + jt+1

5. Уравнение для ставки капитализации

В рамках предположений [4] справедлива фор мула метода прямой капитализации:

ЧА + V+1)

Xt =-

K

(15)

t+1

Здесь К — соответствующая ставка капитализации. В частности, при I =0 получим из (15) формулу метода прямой капитализации: Чо(1 + V )

X0 =-

(16)

К =

(1 + rf + c) - Kt+1 - (1 + Vt)

(1 + K+1 + vt+1)-(1 + Vt _ Ar

(17)

К t =

1 + it

1 + -^l

1 + K+

,t = n,n _ 1,...,1,

(18)

U = rf +—-1 + K+1 + v+1 -eV-Ar + c,t = 1,2,...,n. (19)

't-'f

K

t+1

1 + v

K = i _ v формула Гордона n+1 n+1 n+1 ):

K = 1 + vn+1

n m„

(20)

Формула (16) решает задачу определения текущей инвестиционной стоимости недвижимости. Ставка капитализации К1 находится в результате решения рекуррентного уравнения, полученного в [4]:

В качестве подходящей аппроксимации р^ в (17) предлагается использовать аппроксимацию (13) из [1]. В отличие от фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации полученного в [4]:

уравнение (17) не требует знания ставок дисконта i ,, которые могут быть получены после из формулы [4]:

При известных из формулы (1 4) темпах vt,t = 1,2,...,n, уравнение (17) можно решить последовательно для t = n,n _ 1,...1, отправляясь от граничного условия (20).

6. пример прогноза по индексу роста стоимости

смр

Приведем числовой пример прогноза темпов изменения ЧОД от аренды недвижимости для следующих исходных данных в пересчете на квартал:

r= 7,8/4 = 1,95%; r= 3,52%; Ar= 1,58%;

с =5/4= 1,25%; 1/m0 = 1%; n = 11, v12 = 4/4=1%.

В качестве исходной последовательности темпов используем прогноз темпов изменения индекса роста стоимости СМР из издания КО-ИНВЕСТ № 60 за 2007 г. на 12 кварталов, начиная с июня

2007 г. Тем самым предполагается, что рост стоимости СМР в будущем определяет рост полной восстановительной стоимости недвижимости. Рыночная стоимость продажной цены получается вычитанием из полученной стоимости накопленного износа. Однако на небольших промежутках, к которым относится и период прогноза, вторичный рынок недвижимости фактически не реагирует на износ и им можно пренебречь.

Безрисковая ставка rf = 7,8% взята по данным сайта cbr. га по депозитам в рублях для юридических лиц со сроком свыше одного года до кризиса

2008 г. Средняя квартальная доходность индекса СМР r = 3,52% подсчитана для наглядности по тем же прогнозным данным. Начальное значение мультипликатора ЧОД / цена выбрано на уровне 1/m0 = 1%, что соответствует мультипликатору арендная ставка / удельная стоимость 10 % и рентабельности (ЧОД / валовая выручка) 40 % с учетом пересчета на квартал. Все выбранные значения вспомогательных мультипликаторов соответствуют рыночному уровню.

Постпрогнозный темп роста ЧОД выбран на уровне долгосрочной инфляции 4 % в год по прогнозу МЭРТ, или 1 % в квартал.

В следующей таблице приведен расчет соответствующих ставок капитализации по приближенным уравнениям (13), (17) новым с граничным условием (20). В шестой строке для сравнения приводится решение фундаментального рекуррентного уравнения (18) с тем же граничным условием (20).

ФИНАНсовАя АНАлИТИкА

проблемы и решения

Оценка стоимости бизнеса

8 (20) - 2009

Таблица

Расчет прогнозных значений темпов изменения ЧОД

Наименование 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Темп изменения стоимости jt, % 3,82 3,77 3,72 3,67 3,62 3,58 3,53 3,48 3,44 3,39 3,35 3,30

Мультипликатор ЧОД / цена 1/т, % 1,00 0,99 1,04 1,09 1,13 1,18 1,23 1,27 1,32 1,36 1,41 1,45

Темп изменения ЧОДур % 2,66 8,70 8,52 8,16 7,84 7,62 7,42 7,15 6,90 6,74 6,52

Ставка дисконта ¡ , % 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80

Квартальная ставка капитализации полученная из приближенных уравнений (13), (17), (20), % 1,07 1,05 1,11 1,16 1,21 1,26 1,31 1,36 1,40 1,45 1,50

Квартальная ставка капитализации К, полученная из точных уравнений (18), (20), % 1,03 1,08 1,13 1,17 1,22 1,27 1,32 1,36 1,41 1,46 1,50

Видно, что, во-первых, фундаментальное решение дает точное значение ставки капитализации, которое можно получить по формуле (20) при п=1 и, во-вторых, что приближенное решение из уравнений (13), (17) отличается от него на 4 %.

В заключение отметим, что в настоящей работе предложен способ замыкания рекуррентного уравнения для ставки капитализации (17) из [4] подходящей аппроксимацией р^ по формуле (13) из [1]. Одновременно предложено новое точное конечное значение (20) для уравнения (17). Показано, что полученное таким образом приближенное рекуррентное уравнение для ставки капитализации имеет решение, близкое к решению фундаментального рекуррентного уравнения (18) из [4], но в отличие от последнего не требует знания ставок дисконта г'г

Список литературы

1. Батурина О. Ю, Басангов Ю. М, Перевозчиков А Г. Прогнозирование изменения чистого операционного дохода от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости. Финансовая аналитика, 2009. № 5. С. 42—45.

2. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche, декабрь 2003 — март 2005.

3. Оценка бизнеса: Учебник / Под ред. А. Г. Гряз-новой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика, 2002.

4. Перевозчиков А. Г. Стохастическая модель переменного роста для оценки стоимости неко-тируемых активов. Финансы и кредит, 2004. №27. С. 22—26.

РЕКЛАМНЫЙ БЛОК ТАКОГО РАЗМЕРА ОБОЙДЕТСЯ ВАМ ВСЕГО В 2 950 РУБЛЕЙ!

При неоднократном размещении (или сразу в нескольких журналах Издательства) предусмотрены скидки

(495) 721-85-75, 8-926-523-79-52 [email protected]

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения