К обращению формулы, связывающей темпы изменения стоимости недвижимости и потока чистого операционного дохода Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

14 (38) - 2010

Оценка бизнеса

К ОБРАЩЕНИЮ ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩЕЙ ТЕМПЫ ИЗМЕНЕНИЯ СТОИМОСТИ НЕДВИЖИМОСТИ И ПОТОКА ЧИСТОГО ОПЕРАЦИОННОГО ДОХОДА

а. г. перевозчиков,

доктор физико-математических наук,

академик РАЕН, профессор кафедры финансов и менеджмента

E-mail: pere50@mail.ru Тверской институт экологии и права

Рассматривается задача прогнозирования темпов изменения потока чистого операционного дохода (ЧОД) от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения темпов ее стоимости. Выведена конечная формула, связывающая темпы изменения стоимости недвижимости и потока чистого операционного дохода от сдачи ее в аренду. Это позволяет обратить эту модель относительно темпов и получить рекуррентное уравнение для прогнозирования стоимости недвижимости в зависимости от прогноза изменения потока ЧОД от сдачи ее в аренду. Такую модель можно использовать для прогнозирования продажной цены недвижимости в методе дисконтирования потока ЧОД, если из обзора рынка известен прогноз изменения арендных ставок на несколько лет.

Ключевые слова: оценка, недвижимость, рыночный, стоимость, доходный подход, метод, дисконтирование, доход, ставка дисконта, ставка капитализации, формула Гордона, чистый операционный доход.

В предлагаемой работе рассматривается задача прогнозирования темпов vt изменения потока чистого операционного дохода от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения темпов и ее стоимости [3, 4].

Предполагаемые темпы изменения стоимости на ближайшее время известны из прогноза индекса роста стоимости строительно-монтажных работ (СМР), имеющегося в издании КО-ИНВЕСТ, на ближайшие три года. Соответствующий прогноз изменения арендных ставок обычно известен из обзоров рынка, но достаточно приблизительно. В связи с этим в работе [1, с. 42—46] была предложена детерминированная модель прогнозиро-

вания темпов изменения ЧОД в зависимости от предполагаемых темпов изменения стоимости недвижимости.

Однако проведенные численные эксперименты показали ее недостаточную устойчивость и слабую зависимость прогноза от начального значения мультипликатора Р/Е. Неустойчивость модели привела к тому, что попытка ее обращения не привела к успеху. В связи с этим в работе [2, с. 62—65] была выведена конечная формула, связывающая темпы изменения стоимости недвижимости и потока чистого операционного дохода от сдачи ее в аренду.

Проведенные численные эксперименты показали достаточную устойчивость предлагаемой модифицированной модели прогноза. Таким образом, предложенная в работе [2] модифицированная модель прогноза темпов изменения потока ЧОД в зависимости от темпов изменения ее стоимости исправляет недостатки базовой модели [1], отмеченные после ее апробации.

Это позволило обратить эту модель в настоящей работе относительно темпов и получить рекуррентное уравнение для прогнозирования стоимости недвижимости в зависимости от прогноза изменения потока ЧОД от сдачи ее в аренду. Такую модель можно использовать для прогнозирования продажной цены недвижимости в методе дисконтирования потока ЧОД, если из обзора рынка известен прогноз изменения арендных ставок на несколько лет. В простейшем случае можно использовать фактически наблюдаемый рост ставок за предыдущий год и целевой рост на уровне долго-

финансовая аналитика

проблемы и решения

Оценка бизнеса

14 (38) - 2010

срочной инфляции, а между ними интерполировать их изменение линейным образом по методике [3]. Рассматривается числовой пример.

1. Стохастический аналог модели постоянного роста стоимости. Предположим вначале, что текущая цена актива в виде недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

X, = X, _ (1 + и,), , = 1,2,..., п, (1)

где {и} — предполагаемая последовательность темпов ее изменения, которая в настоящей статье предполагается неслучайной (детерминированной). Эти темпы бывают известны из прогноза индекса роста стоимости строительно-монтажных работ, имеющегося в издании КО-ИНВЕСТ, на ближайшие три года. Таким образом, в настоящей статье в развитие работы [1] рассматривается детерминированный вариант модели переменного роста. Аналогично правилу (1) предположим, что чистый операционный доход qt от аренды недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

Ч, = Ч, _1(1 + V, Xх = 1,2,..., П где {уД — соответствующая последовательность темпов изменения ЧОД, которая также предполагается неслучайной (детерминированной).

Начальные значения Х0 стоимости недвижимости и ЧОД q0 предполагаются известными соответственно из затратного подхода и из ретроспективных данных. Требуется определить последовательность {у}, если известна последовательность {и}.

2. Рекуррентное уравнение для инвестиционной стоимости. По определению ставки дисконта i, которая в этой работе предполагается постоянной, справедливо рекуррентное уравнение [1]:

г _ и,

X = Ч^,, = 1,2,..., п.

1 + г

(2)

V, = (г _и,)т,_1 _ 1 = ц-^-_ 1,, = 1,2,...,п. (6)

Неизвестное начальное значение мультипликатора т0 = X0/q0 является параметром модели, а дальше используется рекуррентное уравнение [1]:

1/т{ = 1/т,_1 ■

Г ^ >

V1 + и, у

Л = 1,2,..., п.

(7)

3. Выбор ставки дисконта. Ставку дисконта i можно получить, например, из модели рынка капитала (САРМ) [4]:

г = г,- + в(г _ г,) + й,

где I — искомая ставка дисконта; ^ — безрисковая ставка дохода; в — бета-фактор модели; d — поправка на факторы, не учтенные в классической модели САРМ. Большими буквами будем обозначать соответствующие случайные величины. Тогда бета-фактор представляет собой коэффициент линейной регрессии I на R и определяется известной формулой из статистики:

ад*) (8)

в=-

Здесь R — случайная доходность рынка, соответствующая средней доходности г, а I = I — случайная доходность, соответствующая средней доходности, определяемая формулой:

Ч , + Х, X _,

_1 =1/т, _1 ■(1 + у) + и,.

Из фундаментального уравнения (2) следует, что справедливо представление:

X, _1 (1 + г) = ч,_1 (1 + V,) + X, _ (1 + и,). (3) Обозначим:

= X , / ч, . (4)

Эта величина представляет собой известный мультипликатор Р/Е = цена / прибыль. Иногда удобнее выразить обратную к ней величину 1/mt в процентах. Разделив обе части равенства (3) на Х—1 и учитывая обозначение (4), получим рекуррентное уравнение:

г = (1 + V,)/т, _ + и,. (5)

Отсюда получим искомое рекуррентное уравнение для неизвестной последовательности темпов

Пусть и — случайная величина темпа изменения стоимости, соответствующая среднему темпу и изменения стоимости, а V = V — случайная величина темпа изменения ЧОД, соответствующая среднему темпу V изменения ЧОД. Тогда доходность рынка R = Rt в простейшем случае можно заменить на и и справедлива формула:

в = 1/т,_ ■ву +1,

где вV получается по формуле, аналогичной (8) [1]:

ву =

К (У, Я)

а '

Замечание. Для оценки статистических характеристик и (V) можно взять ряд фактически наблюдаемых в ретроспективе темпов изменения стоимости недвижимости (темпов изменения ЧОД). Конечно, при этом мы неявно исходим из предположения о стационарности случайного процесса {Щ ({V}), что обычно и происходит при определении статистических характеристик произвольного случайного процесса, когда генеральная совокупность значений сечения процесса в данный

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения

7х"

11

г =

14 (38) - 2010

Оценка бизнеса

момент времени по реализациям заменяется на генеральную совокупность сечений данной реализации по времени. В этом случае среднее значение

и, = г (V = V) фактически не зависит от времени. Не зависимой от времени в этом случае будет и величина Дг = г - г/.

4. Определение ставки капитализации. Заметим, что величина

К, = (1 + V,)-1/т,- = Ч' |(1 + ^),, = 1,2,...,п

в уравнении (5) представляет собой ставку капитализации, т. е.

xtl=q—^vi, ?=1,2,..., n. /-1 к

(9)

В частности, при t = 0 получим из (9) формулу: qo(1 + vi)

xo =-

к

(10)

i — u.

г —u.

(1 + ut—1) — 1, t = 1,2,..., n.

(13)

Таким образом, рекуррентное уравнение (6) оказывается не нужным, как и соответствующее рекуррентное уравнение (7) для 1/т. Связь между темпами и{ и V1 дается конечной формулой (13).

5. Обращение формулы для связи между базовыми темпами. Заметим, что уравнение (13) обратимо и позволяет, наоборот, по ряду V1 найти ряд и { в виде следующей рекуррентной процедуры:

(1 + v, )(г—и,,)

Ut = г — ±—^—ы!, t = 1,2,..., n. 1 + u ,

(14)

Формула (10) решает задачу определения текущей инвестиционной стоимости недвижимости.

Ставка капитализации K1 находится по формуле (5), которая принимает вид [2]: i = Kt + ut, t = 1,2,..., n. Этой формуле можно придать такую форму:

K = i — ut, t = 1,2,..., n. (11)

Заметим, что в постпрогнозный стационарный период vt = ut = const,t = n +1,..., т. е. модель роста является односкоростной, и формула (11) превращается в формулу Гордона для ставки капитализации:

к = i — v,, t = n +1,.... (12)

Таким образом, полученная точная формула (11) обобщает формулу Гордона (12) для ставки капитализации на нестационарный прогнозный период. Заметим, что в работе [5, с. 22—26] было предложено другое обобщение формулы Гордона в виде фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации K , конечным условием для которого служит формула Гордона (12).

В работе [2] было показано, что справедлива формула:

Vt =-K- (1 + u-)-1 K ,

Это уравнение требует знания начального значения:

uo = uo0. (15)

В качестве uoo здесь берется фактически наблюдаемый темп роста стоимости на рынке за предыдущий год для аналогичных объектов недвижимости.

6. Пример прогноза по докризисному индексу роста стоимости СМР. Приведем числовой пример прогноза темпов изменения ЧОД от аренды недвижимости для следующих докризисных исходных данных в пересчете на квартал:

rf = 7,8/4 = 1,95%; r = 3,52%; Ar = 1,58%;

d = 5/4 = 1,25%; n = 10, p= 1,1.

В качестве исходной последовательности темпов используем прогноз темпов изменения индекса роста стоимости СМР из издания КО-ИНВЕСТ № 60 за 2007 г. на 12 кварталов, начиная с июня 2007 г. Тем самым предполагается, что рост стоимости СМР в будущем определяет рост полной восстановленной стоимости недвижимости.

Безрисковая ставка f = 7,8 % взята по данным сайта cbr.ru по депозитам в рублях для юридических лиц со сроком свыше одного года. Средняя квартальная доходность индекса СМР r = 3,52 % подсчитана для наглядности по тем же прогнозным данным.

В таблице приведен расчет соответствующих прогнозных значений изменения ЧОД. Видно, что значение исходной последовательности темпов изменения стоимости u из издания КО-ИНВЕСТ

или, с учетом обобщенной формулы Гордона (12): и полученные из рекуррентного уравнения (14)

Расчет прогнозных значений темпов изменения ЧОД

Наименование 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Темп и изменения стоимости (исходный из КО-ИНВЕСТ), % 3,818 3,769 3,721 3,672 3,624 3,577 3,530 3,483 3,437 3,392 3,347 3,303

Темп V 1 изменения ЧОД, полученный по формуле (13), % 8,360 8,030 7,897 7,603 7,330 7,154 6,986 6,755 6,538 6,401 6,205

Темп и{ изменения стоимости, полученный по уравнению (14), с начальным условием (15), % 3,769 3,721 3,672 3,624 3,577 3,530 3,483 3,437 3,392 3,347 3,303

^ччт финансовая аналитика

12 ^ проблемы и решения

Оценка бизнеса

14 (38) - 2010

с начальным условием (15) совпадают. Здесь — последовательность темпов изменения ЧОД, полученная по конечной формуле (13).

В заключение отметим, что в настоящей работе предложена рекуррентная процедура для обращения конечной формулы для связи между темпами ut и из работы [2]. Проведенные численные эксперименты показали обратимость указанной формулы. Эти результаты имеют самостоятельное методологическое значение для применения метода дисконтирования потока ЧОД в условиях прогнозирования темпов роста с использованием двухскоростной модели переменного роста [5] и носят фундаментальный характер.

Список литературы

1. Батурина О. Ю., Басангов Ю. М., Перевозчиков А. Г. Прогнозирование изменения чис-

того операционного дохода от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости // Финансы и кредит. 2009. № 5.

2. Лесик А. И., Перевозчиков А. Г. О применимости формулы Гордона в условиях финансового кризиса // Финансовая аналитика. 2009. № 12.

3. Методология и руководство по проведению оцен ки бизне с а и/или акти в ов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche. Декабрь 2003 г. — март 2005 г.

4. Оценка бизнеса: учебник / под ред. А. Г. Гряз-новой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика, 2002.

5. Перевозчиков А. Г. Стохастическая модель переменного роста для оценки стоимости не-котируемых активов. Финансы и кредит. 2004. № 27.

ФИНАНСОвАя АНАлИтИкА

проблемы и решения