К граничному условию для фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

9(21) - 2009

Инвестиционная стоимость недвижимости

К ГРАНИЧНОМУ УСЛОВИЮ ДЛЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАВКИ КАПИТАЛИЗАЦИИ

А. Г. ПЕРЕВОЗЧИКОВ,

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН, профессор кафедры финансов и менеджмента Тверской институт экологии и права

Рассматривается метод прямой капитализации для определения инвестиционной стоимости недвижимости. Ставка капитализации может быть найдена из полученного ранее фундаментального рекуррентного уравнения, которое предполагает знание только темпов изменения чистого операционного дохода (ЧОД). В качестве граничного условия для фундаментального рекуррентного уравнения предлагалось использовать формулу Гордона. Из условий стационарности, в которых она выведена, следует, что величины ставки дисконта и постпрогнозного темпа роста ЧОД зависимы и не могут выбираться произвольно. В связи с этим в настоящей работе показано, как следует выбирать ставку дисконта в постпрогнозный период в зависимости от величины темпа роста. Это позволяет получить практически значимую методику прогнозирования ставки капитализации.

Ключевые слова: оценка, недвижимость, рыночный, стоимость, доходный, подход, метод, прямая капитализация прибыли, ставка дисконта, ставка капитализации, чистый операционный доход (ЧОД).

Рассматривается задача прогнозирования изменения чистого операционного дохода д1 от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости X на прогнозный период п в методе дисконтирования доходов (ОБМ) в рамках доходного подхода для определения рыночной стоимости недвижимости [1, 2].

Предполагаемые темпы изменения^ стоимости на ближайшее время известны поквартально, например из прогноза индекса роста стоимости СМР, имеющегося в известном издании КО-ИНВЕСТ на

ближайшие три года, а соответствующий прогноз изменения арендных ставок и вытекающий из него прогноз изменения ЧОД если и известен из обзоров рынка, то весьма приблизительно и получается на основе экстраполяции ретроспективных данных.

В связи с этим в работе [1] была предложена детерминированная модель прогнозирования темпов vt изменения ЧОД qt и соответствующей ей в силу модели CAMP [2] переменной ставки дисконта it в зависимости от предполагаемых темпов изменения стоимости недвижимости Xt. Наконец, в работе [4] было предложено фундаментальное рекуррентное уравнение для ставки капитализации Kt, которое предполагает знание только it и vt. В качестве граничного условия для фундаментального рекуррентного уравнения предлагалось использовать формулу Гордона Kn+l = in+l - vn+1.

В работе [5] было показано, что из предположений, в которых выведена формула Гордона, следует, что величины in+1 и vn+1 зависимы и не могут выбираться произвольно. В связи с этим в настоящей работе показано, как следует выбирать ставку дисконта in+l в постпрогнозный период в зависимости от величины vn+1, которая обычно известна в отличие от in+l.

В [2], например, рекомендуют выбирать vn+l на уровне прогноза долгосрочной инфляции. Это объясняется тем, что в постпрогнозный период обычно отсутствуют другие причины для роста ЧОД. Это позволяет корректно замкнуть фундаментальное рекуррентное уравнение [4] и получить

Инвестиционная стоимость недвижимости

9 (21) - 2009

практически значимую методику прогнозирования ставки капитализации К(. Рассматривается числовой пример из [1] корректного выбора ставки дисконта 1п+1 в постпрогнозный период в зависимости от величины у ,.

п+1

1. Стохастический аналог модели ББМ постоянного роста

Будем определять оценку текущей цены Х( актива в момент ¿как условное математическое ожидание приведенного потока доходов/^ по соответствующим ставкам дисконта , которые считаются внешними параметрами модели Д^Мпеременного роста и предполагаются известными: / Л

X _1 = М

I""

Л

1='

Ш1+

к='

К

'-1

А =■

X

7х"

Р' =

Ф'Л )

Согласно основному уравнению модифицированной модели САРМ [2], все предположения которой считаются выполненными на каждом интервале дискретного времени, справедливо соотношение:

ц = Я/ + - Я/) + 4,

где Я'/ - безрисковая ставка за ¿-й период, г( — среднее значение случайной доходности Я1 рыночного портфеля за период —поправка на несистематический риск, р( — бета-актива, определяемая равенством:

Здесь Я) — ковариация с. в. Я1, — среднее квадратическое отклонение с. в. Яг Вместе

с р( рассмотрим величину Р^ , где Р^ - бета, определяемая по темпу изменения денежного потока по формуле:

Рг — 2 •

к

Предположим дополнительно, что а(У',Я') а(Я',Я') не зависят от что является обычным условием совместной стационарности процессов ¥(, Я( .Тогда величины р(, Р^ не зависят от ¿(соответствующий индекс далее будет опускаться) и справедливо уравнение [5]:

где — а — алгебра, порожденная величинами /0(ретроспективной информацией о потоке доходадо момента в предположении, что

/ = / _1(1 + V,)' = 1,2,...

Здесь {У1} — последовательность независимых случайных величин (с. в.) со средними значениями V,, которые считаются известными из прогноза.

Пусть все У1 одинаково распределены и

¡г = 1,у' = у, (1)

то есть процесс предполагается стационарным. Предположим, что выполнено условие |у| < г. Тогда ряд в (1) является сходящимся и справедлива формула Гордона для текущей инвестиционной стоимости инструмента [5]:

X' = /—. (2)

г - у

2. Вывод формулы для ставки дисконта

Имея случайную оценку цены инструмента, можно подсчитать его доходность по формуле / + X' - X' _1

/ = Я/ +

1 + г

1 + у

рк(г - Я/) + й,

из которого можно наити неизвестную ставку дисконта / [5]:

Я/ +

I = -

( - Яг V й

1 + П /;

1 - ( - Я//) .

1+и

(3)

3. Приближенная формула для бета-коэффициента

В [1] в качестве аппроксимации Р^ было предложено использовать выражение:

РГ=^ 1+и

(4)

где {д}- предполагаемая последовательность темпов ее изменения стоимости Х1 актива: X' = X' _1(1 + ],)' = \,2,...,п.

Напомним, что стохастический аналог формулы Гордона (2) и формула для ставки дисконта (3) выведена в предположении, стационарности всех процессов, в частности (1):

Из формулы (2) следует тогда, что

и =у, (5)

т. е. последовательность {д}- также является стационарной (в смысле средних значений) и предложенная в [5] модель роста является по сути однос-коростной. В этом случае из (4) следует, что

рГ=Рк=1. (6)

Откуда в силу (3) вытекает формула для подходящей ставки дисконта:

65

I' = 1,у' = у

9(21) - 2009

Инвестиционная стоимость недвижимости

Rf +

j = -

1 + v

-xAr + d

1

(7)

1--х Дг

1 + V

Здесь обозначено для краткости: Аг = г - Яу.

В реальных условиях сделанные предположения о стационарности могут выполняться только в поспрогнозный период, поэтому формула Гордона (2) и формула для подходящей постпрогнозной ставки (7) в зависимости от постпрогнозного темпа роста могут быть использованы лишь для определения постпрогнозной стоимости в уравнении дисконтирования или замыкания фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации, которое было получено в [4].

4. Уравнение для ставки капитализации

В рамках предположений [4] справедлива формула метода прямой капитализации:

X = л = 0,1,...,п.

к+1

Здесь К( — соответствующая ставка капитализации. В частности, при {= 0 получим отсюда формулу метода прямой капитализации:

%(1 + V )

Xо =-

Формула (6) решает задачу определения текущей инвестиционной стоимости недвижимости. Ставка капитализации Кх находится в результате решения фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации К2, полученного в[4]:

1 + и ,

= п,п -1,...,1, (8)

Kt =

1+1+vt+1

Подставляя v = vn+1 в (7), получим искомую формулудля постпрогнозной ставки: 1

Rf +

1 + v„

• Ar + d

1 -

1

1 + v,

■Ar

(10)

n+1

1 + л+1

Граничное условие для уравнения (8) дает формула Гордона:

Кп+1 = ип+1 - Vn+1 (9)

При известных ( = 1,2,...,п, уравнение (8) можно решить последовательно для t = п ,п -1,... 1, отправляясь от граничного условия (9). Предлагается, с учетом выявленной в [5] зависимости между /п+1 и vn+1 выбирать ставку дисконта /п+1 в постпрогнозный период по формуле (7) в зависимости от величины Vn+1, которая обычно известна в отличие от /п+1. В [2], например, рекомендуют выбирать Vn+1 на уровне прогноза долгосрочной инфляции. Это объясняется тем, что в постпрогнозный период обычно отсутствуют причины для безинфляционного роста ЧОД.

5. Пример прогноза по индексу роста стоимости СМР

Приведем числовой пример расчета постпрогнозной ставки для следующих исходных данных в пересчете на квартал из[1]:

^=7,8/4=1,95%; г =3,52%;

Дг=1,58%; с =5/4=1,25%;

1 /т0 = 1%; й=11,у2 = 4/4=1%.

В качестве исходной последовательности темпов используем прогноз темпов изменения индекса роста стоимости СМР из издания КО-ИНВЕСТ № 60 за 2007 г. на 12 кварталов, начиная с июня 2007 г. Тем самым предполагается, что рост стоимости СМР в будущем определяет рост полной восстановительной стоимости недвижимости. Размер рыночной продажной цены определяется стоимостью СМР, уменьшенной на величину накопленного износа. Однако на небольших промежутках, к которым относится и период прогноза, вторичный рынок недвижимости фактически не реагирует на износ, и им можно пренебречь.

Безрисковая ставка rf=l,%% взята по данным cbr. га по депозитам в рублях для юридических лиц со сроком свыше одного года до кризиса 2008 г. Средняя квартальная доходность индекса СМР г = 3,52% подсчитана для наглядности по тем же прогнозным данным. Начальное значение мультипликатора ЧОД/Цена выбрано на уровне 1 /т0 =1%, что соответствует мультипликатору арендная ставка/удельная стоимость 10 % и рентабельности (ЧОД/ Валовая выручка) 40 % с учетом пересчета на квартал. Все выбранные значения вспомогательных мультипликаторов соответствуют рыночному уровню.

Постпрогнозный темп роста ЧОД выбран на уровне долгосрочной инфляции 4 % в год по прогнозу МЭРТ или, соответственно, 1 %в квартал.

В таблице приведен расчет соответствующих ставок капитализации по фундаментальному рекуррентному уравнению (8) новым с граничным условием (9), (10). Постпрогнозная ставка дисконта в 11-й колонке получена по формуле (10). Видно, что до 0,04 % она совпадает со ставкой в последнем прогнозном периоде, что подтверждает адекватность предложенной формулы.

1

Инвестиционная стоимость недвижимости

9 (21) - 2009

ч о и-

к

Б

я

ф

я

ф

п В Ей

О =

Ф «

Б Я

Ф ?

Я Я

М §

к

м О

о &

Е= ¡-

Ф ?

и я Р.

- о гч чо 4,8401 | 0,038401

о | 6,7448 4,8022 0,036467

I 6,9036 4,8015 0,03462

00 I 7,1539 4,8008 0,032874

| 7,4235 | 4,8001 0,031195

чо | 7,6244 4,7994 0,029574

1Л | 7,8378 4,7986 0,028028

■ч- | 8,1640 4,7979 0,026548

| 8,5210 4,7971 0,025105

I 8,6965 4,7964 0,023695

- | 2,6632 4,7956 0,022358

Наименование |Темп изменения ЧОД \„ % Ставка дисконта й, % Квартальная ставка капитализации К(, полученная из фундаментального уравнения (8)с граничными условиями (10), доля

<0| .И ^ ¡5 - сч сл

В заключение отметим, что в сложившейся оценочной практике ставка дисконта гп+1 в постпрогнозный период и темп изменения денежного потока +1 в формуле Гордона выбирались оценщиками независимо друг от друга, что не совсем корректно. Предлагается с учетом выявленной в [5] зависимости между гп+1 и уп+1 выбирать ставку дисконта гп+1 в постпрогнозный период по формуле (10) в зависимости от величины Уп+1. Проведенные численные эксперименты показали согласованность полученной таким образом постпрогнозной ставки с полученными ранее по методике [1] прогнозными значениями ставок дисконта.

Таким образом, настоящая работа дополняет работу [1] в части определения постпрогнозной ставки дисконта, фигурирующей в граничном условии (9) для фундаментального рекуррентного уравнения (8), полученного в [4].

Список литературы

1. Батурина О.Ю., Басангов Ю. М., Перевозчиков А. Г. Прогнозирование изменения чистого операционного дохода от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости. Финансовая аналитика, № 5, 2009. С. 42—45.

2. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/ или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». БеЫие&ТоисИе. Декабрь 2003 — март 2005.

3. Оценка бизнеса: Учебник / Под ред. А. Г. Грязновой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика. 2002.

4. Перевозчиков А. Г. Стохастическая модель переменного роста для оценки стоимости некотируемых активов. Финансы и кредит, № 27, 2004. С. 22-26.

5. Перевозчиков А. Г., Смирнов С. А. Смешанная модель ББМ и САРМ для оценки стоимости некотируемых активов. // Экономика и математические методы, 2004. Т. 40, № 3, С. 118-123.