О применимости формулы Гордона в условиях финансового кризиса Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

12 (24) - 2009_

Оценка бизнеса

О ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ГОРДОНА В УСЛОВИЯХ ФИНАНСОВОГО КРИЗИСА

а. г. перевозчиков,

доктор физико-математических наук, академик РАЕН, профессор кафедры финансов и менеджмента

E-mail: pere50@mail. ru Тверской институт экологии и права

а. и. лесик,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики

и системного анализа E-mail: lesik56@mail. ru Тверской государственный университет

Рассматривается применимость классического граничного условия в виде формулы Гордона для фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации в методе прямой капитализации прибыли к условиям финансового кризиса, когда ожидается достаточно долгое падение базовых индексов. При этом ставка дисконта и темп изменения чистого операционного дохода (ЧОД) оказываются отрицательными, что соответствует падению стоимости недвижимости на рынке. Показано, что при определенных условиях граничное значение искомой ставки капитализации оказывается положительным и имеет экономический смысл.

Ключевые слова: оценка, недвижимость, рыночный, стоимость, доходный подход, метод прямой капитализации, ставка дисконта, чистый операционный доход.

Рассмотрим задачу прогнозирования изменения чистого операционного дохода (ЧОД) qt от аренды недвижимости в зависимости от предполагаемого изменения ее стоимости Xt в методе дисконтирования доходов (DDM) в рамках доходного подхода для определения рыночной стоимости недвижимости [1, 2].

Предполагаемые темпы изменения j t стоимости на ближайшее время бывают известны поквартально, например из прогноза индекса роста стоимости СМР, имеющегося в известном

издании КО-ИНВЕСТ, на ближайшие три года. А соответствующий прогноз изменения арендных ставок и вытекающий из него прогноз изменения ЧОД если и известны из обзоров рынка, то весьма приблизительно, и получаются на основе экстраполяции ретроспективных данных. В связи с этим в работе [4] была предложена детерминированная модель прогнозирования темпов vt изменения ЧОД и соответствующей ей в силу модели САМР [1] переменной ставки дисконта it в зависимости от предполагаемых темпов изменения стоимости недвижимости X,

Наконец, в работе [5] было предложено рекуррентное уравнение для ставки капитализации Kt, которое предполагает знание только it, vt , а в [3] — новое граничное условие для Kr

В настоящей работе рассматривается применимость классического граничного условия в виде формулы Гордона для фундаментального рекуррентного уравнения к условиям финансового кризиса, когда ожидается достаточно долгое падение базовых индексов. Поскольку прогнозных кризисных данных еще нет, для моделирования устойчивого падения индексов можно использовать в экспериментальных целях соответствующие докризисные значения, поменяв знак темпа изменения стоимости недвижимости с плюса на минус.

финансовая аналитика

проблемы и решения

Оценка бизнеса

12(24) - 2009

Построенный таким образом тестовый пример показывает применимость классического граничного условия к кризисному падению базовых индексов в определенных пределах. При этом ставка дисконта и темп изменения ЧОД it, vt оказываются отрицательными, что соответствует падению стоимости недвижимости на рынке. Казалось бы, при отрицательных it, vt формула Гордона Кп+1 = ;п+1 - vn+ для конечного значения ставки капитализации Кп+1 не применима, но это не так.

При отрицательных it > vt полученное таким образом граничное значение искомой ставки капитализации оказывается положительным и имеет экономический смысл. Это положение теоретически обосновано в настоящей статье и подкреплено числовым примером, показывающим, что оно может быть точным, если в качестве постпрогнозных 'п+1, vn+1 брать полученные в рамках той же модели переменного роста [4]. Показано, что полученное таким образом граничное условие эквивалентно новому граничному условию, предложенному в [3].

1. Стохастический аналог модели постоянного роста стоимости

Предположим вначале, что текущая цена Х1 актива в виде недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

х, = х,- (1 + ), г = 1,2,..., п, (1)

где {д} —предполагаемая последовательность темпов ее изменения, которая в настоящей статье предполагается не случайной (детерминированной). По отношению к соответствующей стохастической модели переменного роста, рассмотренной в [5], эти темпы представляют собой средние значения для соответствующих случайных темпов. Таким образом, в настоящей статье рассматривается детерминированный вариант модели переменного роста.

Аналогично (1) предположим, что чистый операционный доход qt от аренды недвижимости меняется от периода к периоду по правилу:

Ч, = Ч,-1(1 + V, Xг = 1,2,._ п, (2)

где {V,}- соответствующая последовательность темпов изменения ЧОД, которая также предполагается не случайной (детерминированной).

Начальные значения Х0 — стоимости недвижимости и ЧОД q0 предполагаются известными, соответственно, из затратного подхода и из ретроспективных данных. Требуется определить последовательность {V,}, если известна последователь-

ность }. Обозначим: т1 = X 1 / . Эта величина представляет собой известный мультипликатор Р / Е = цена / прибыль. Иногда удобнее выразить обратную к ней величину 1/ т { в процентах.

Начальное значение мультипликатора т0 = Х0 / ч0 получается из начальных условий, а дальше используется рекуррентное уравнение:

' 1+к ^ ч1 + V+1 у

, = 0,1,...,п -1.

Обозначим для краткости: Аг = г - гг. В [4] было получено следующее выражение для неизвестного темпа V. +, :

Л+1 - г/ -Аг - с (Аг/(1 + ],+х) -1)/т,

-1.

(3)

И соответствующей ставки дисконта:

. 1 1 + V Л ',+1 = Гг + (---— +1) • Аг + с,

т, 1+] ,+1

где г^ — безрисковая ставка дохода,

г — среднерыночная рыночная доходность, с — поправка на факторы, не учтенные в классической модели САРМ.

2. Уравнение для ставки капитализации

В рамках предположений [5] справедлива формула метода прямой капитализации:

Ч ,(1 + V+1)

X =-

К,

(4)

где К — соответствующая ставка капитализации. В частности, при t = 0 получим из (10) формулу метода прямой капитализации:

Чо(1 + ^

Xо =-

К

(5)

Формула (5) решает задачу определения текущей инвестиционной стоимости недвижимости. Ставка капитализации К1 находится в результате решения фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации К , полученного в [5]:

К =

1 + '

' 1+

1 + К +

, t = п,п -1,...,1.

(6)

Классическое граничное условие для уравнения (6) дает формула Гордона [5]:

(7)

Кп+1 'п+1 Vn+1.

При известных из формулы (3) темпах V,,, = 1,2,..., п, уравнение (6) можно решить последовательно для , = п,п -1,...,1, отправляясь от граничного условия (7).

финансовая аналитика

проблемы и решения

7х"

63

т,+1 = т,

v,+l =

12 (24) - 2009

Оценка бизнеса

3. Условия корректности формулы Гордона

Строго говоря, формулой Гордона называется формула:

X =

4n (1 + Vn+l)

(8)

Из нее и вытекает классическое граничное условие (7) для постпрогнозной ставки капитализации Кг Формула (8) выводится в предположении стационарности (в данном случае — постоянности) постпрогнозных значений it , vt (на уровне /и+15 vи+1), удовлетворяющих условию

1 + < 1 + и, (9)

обеспечивающему сходимость соответствующего бесконечного ряда, фигурирующего при выводе формулы (8). Этому условию могут удовлетворять и отрицательные параметры, например, =-0,2; /и+1 =-0,1 . В этом случае ставка капитализации по Гордону существует и равна

Кп+1 = 4+1 - ^+1 = 0,1

Это позволяет использовать формулу Гордона (8) и при отрицательных значениях /и+1, уи+1 , удовлетворяющих условию корректности (9), что позволяет применять классическое граничное условие (7) в условиях кризиса при падении базового индекса и вытекающие из него устойчивой отрицательности темпов it , vt.

4. Условия эквивалентности новых и старых граничных условий

Предположим, что выполнены условия стационарности. В [3] было предложено новое граничное условие для фундаментального рекуррентного уравнения:

1+У- (10)

^n+1 = ■

m_

С учетом принятых обозначений оно равно сильно формуле:

Ч„(1 + О

*n+1 = ■

X

(11)

Формула (11) в свою очередь эквивалентна формуле метода прямой капитализации (4) при t = п. Но при сделанных предположениях имеет место формула Гордона (8), откуда и следует классическое граничное условие (7). Таким образом, при сделанных предположениях новое граничное условие (10), предложенное в [3], оказывается эквивалентным классическому граничному условию (7).

Разумеется, это является следствием того обстоятельства, что в качестве постпрогнозных значений zn+1, vn+1 выбираются значения, полученные в рамках той же модели переменного роста из [5], и условия стационарности постпрогнозных значений на уровне in+1, vn+1. Если постпрогнозные значения выбираются из каких-то других соображений или не соблюдено условие стационарности постпрогнозных значений на уровне in+1, vn+1, то это будет неверно. Поэтому указанную эквивалентность граничных условий можно использовать только в теоретических исследованиях для построения проверочных тестов, что и было сделано в настоящей работе.

В общем случае в формуле Гордона (7) нужно использовать какие-то другие постпрогнозные значения in+1, vn+1, известные из иных априорных соображений, чтобы не получилось порочного круга.

5. Пример прогноза по индексу роста стоимости СМР

Приведем числовой пример прогноза темпов изменения ЧОД от аренды недвижимости для следующих исходных данных в пересчете на квартал:

rf = 7,8/4 = 1,95%; r = -3,53%; Дг = -5,48%;

с = 5/4 = 1,25%; 1/m0 = 1%; n = 11.

В качестве исходной последовательности темпов используем докризисный прогноз темпов изменения индекса роста стоимости СМР из издания КО-ИНВЕСТ № 60 за 2007 г. на 11 кварталов, начиная с сентября 2007 г. (см. [4]), изменив знак темпов на отрицательный в экспериментальных целях, чтобы смоделировать возможное падение индекса во время кризиса, если бы он начался в это время.

Безрисковая ставка rf = 7,8% взята по данным сайта cbr. га по депозитам в рублях для юридических лиц со сроком свыше одного года до кризиса 2008 г. Средняя квартальная доходность индекса СМР r = -3,53% подсчитана для наглядности по тем же прогнозным данным. Начальное значение мультипликатора ЧОД/Цена выбрано на уровне 1 / m0 = 1,46% , что соответствует мультипликатору арендная ставка/удельная стоимость 10 % и рентабельности (ЧОД/Валовая выручка) 58,4 % с учетом пересчета на квартал. Все выбранные значения вспомогательных мультипликаторов соответствуют рыночному уровню (до кризиса).

В таблице приводится решение фундаментального рекуррентного уравнения (6) с классическим граничным условием (7). Заметим, что это решение

финансовая аналитика

проблемы и решения

и+1 Vn+1

Оценка бизнеса

12(24) - 2009

о

У

К

г =

ш Я

а

г

т Я со

О =

Ш

н «

Б =

Ш 9 Ш Я

т

•в

X

т О

О &

=

Е-

Ш 9 и св СЬ

о О т со" 1,00 —7,3389 | —2,3370 | 0,050001

ш т 1,04 —7,3072 —2,3394 0,049924

00 —3,39 1,09 —7,1978 —2,3419 0,049842

—3,44 3 —7,1782 —2,3443 0,049756

чо —3,48 8 —7,1614 —2,3468 0,049626

1Л —3,53 1,22 —7,0748 —2,3494 0,049463

■ч- —3,58 1,27 —6,9976 —2,3519 0,04931

—3,62 2 ,3 —6,9966 —2,3545 0,049164

—3,67 7 ,3 —6,9975 —2,3571 0,048958

- —3,72 ,41 —6,8734 —2,3598 0,032287

о —3,77 1,46

Наименование Темп изменения стоимости jp % Мультипликатор ЧОД/Цена 1/т, % Темп изменения ЧОД у^ % Ставка дисконта % Квартальная ставка капитализации К, полученная из фундаментального уравнения с классическим граничным условием, %

2 - 2 3 4 5

не совпадает с точным, которое можно получить по формуле (10) при п = 0 . Это связано с тем, что не выполнено условие стационарности постпрогнозных значений на уровне гп+х, vn+l. Таким образом, это условие является существенным.

В заключение отметим, что в настоящей работе показана справедливость формулы Гордона для постпрогнозной стоимости недвижимости при устойчивом падении базовых индексов в известных пределах и что соответствующие ставки капитализации оказываются положительными и, следовательно, имеют экономический смысл. Эти соображения имеют самостоятельное методологическое значение для применения метода прямой капитализации в условиях финансового кризиса и носят фундаментальный характер.

Список литературы

1. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/ или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche, декабрь 2003 — март 2005.

2. Оценка бизнеса: учебник / под ред. А. Г. Грязновой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика. 2002.

3. Перевозчиков А. Г. К граничному условию для фундаментального рекуррентного уравнения для ставки капитализации // Финансовая аналитика, № 9. 2009. С. 64—67.

4. Перевозчиков А. Г. К рекуррентному уравнению для ставки капитализации чистого операционного дохода от аренды недвижимости // Финансовая аналитика, № 8, 2009. С. 34—37.

5. Перевозчиков А. Г. Стохастическая модель переменного роста для оценки стоимости некотируемых активов // Финансы и кредит, № 27. 2004. С. 22—26.

Форум iFin-2010 пройдет на одну неделю раньше

X юбилейный Международный Форум iFin-2010 "Электронные финансовые услуги в России" состоится 9-10 февраля 2010 года

Место проведения прежнее: гостиница "Рэдиссон САС Славянская" (г. Москва, Площадь Европы, 2).

http://forum.ifin. ги

финансовая аналитика

проблемы и решения