CC BY
9
УДК 62-251-762.89:532.5.013.12
К РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ РАЗВОРОТЕ ПОТОКА В КРУГОВОМ СЕКТОРЕ
© 2009 г. Д.В. Черненко, Е.В. Черненко, А.А. Зуев, Ю.Н. Шевченко
Сибирский государственный Siberian State
аэрокосмический университет Aerospace University
Рассмотрен разностно-характеристический способ интерирования системы квазилинейных дифференциальных уравнений импульсов пространственого пограничного слоя при течении в круговом секторе с учетом параболичности. Отмечено удовлетворительное совпадение результатов численной и экспериментальной визуализаци донных линий тока.
Ключевые слова: пространственный пограничный слой, уравнения импульсов, дифференциальное соотношение, визуализация донных линий тока.
A difference-characteristic method of an integration of quasi-linear differential equations system of impulses of three-dimensional boundary layer at flow on the circular sector subject to parabolic is analyzed. A satisfactory fit of results of the computational and the experimental visualization of bottom flow lines is registered.
Keywords: three-dimensional boundary layer, equations of impulses, differential relation, visualization of bottom flow lines.
Уравнения пространственного пограничного слоя (ППС) приведены к виду, позволяющему вести их численное интегрирование в произвольной естественной системе координат. При допущениях для течения потока в круговом секторе выполнено их интегрирование. Приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований.
Значительный круг задач, связанных с течением рабочего тела в проточной части гидромашин аппаратов, связан с необходимостью интегрирования уравнений пограничного слоя по сложной криволинейной поверхности с поперечным градиентом давления. Наиболее верные и продуктивные шаги в этом направлении сделаны Г.Ю. Степановым [1] и С.Н. Шкар-булем [2], основавшими свои гипотезы на анализе сил, действующих на элементарный объем жидкости при повороте. Отсутствие обоснования коэффициентов Ламе для рассмотренных каналов, а также то, что ядро потока принимается потенциальным (безвихревым), не даёт возможности адаптировать уравнения для случая произвольного закона распределения скоростей и давлений в ядре потока. Для эффективного выбора метода решения и построения расчетного алгоритма необходимо привести систему уравнений импульсов ППС к виду, определенному по переменным и позволяющему вести как численное интегрирование в общем случае, так и аналитическое в частных случаях. Общий вид уравнений пространственного пограничного слоя [3] в естественной системе координат
1 35;* 1 3U/ ч 1
ф 1 (25ф+5ф-5^ ф;
Нф Зф HU Зф
1 3U
Hw ^ HWU З;
1 ЗНф
(Г\ Q ** Q * I 25ф;-5;)=
ЗР 5+.Т°Ф
PH;U 2 Зф pU 2
1 35; + 1 З5уф + 25уф 3U + 25у 3U + 25уф 3H; +
Hw 3У Нф Зф Нфи Зф HwU 3У НфH; Зф
1 3H
НфН; ЗУ
ф(5;*+5ф*+5ф-5) =
-1
ЗР 5-.т°;
pH;U2 3; pU2
не позволяет провести интегрирование, поскольку число неизвестных функций превышает число уравнений. Воспользуемся известным приемом [1] и введем относительные существенно положительные величины (характерные толщины ППС), которые для практических расчетов в безотрывной зоне считаются постоянными величинами
H =
5ф
*=4
е 5ф
I = 15ф; е 8ф*
* = 1
е 5 **
m =1^ е 5ф*
N =-
где 5™ - толщина потери импульса в направлении ф
(вдоль линии тока); е = tg90 = —- тангенс угла
Т0ф
скоса донной линии тока; 5^;5™;5™ф; 5ф;5^; 5 -
соответственно, толщины потерь импульсов, толщины вытеснения в проекциях, толщина ППС [3].
В естественной системе координат координатная линия ф совпадает с проекцией предельной линии тока на стенке, у - ортогональна ф. Дифференциал дуги координатной линии равен дифференциалу по аргументу dSi = Hdqi, следовательно, в естественных координатах, привязанных к известным линиям тока,
+
5
5
1
коэффициенты Ламе Нф = Ну = 1. В результате преобразований получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными
Л5; Л5 ; „„ Л8
ф-+1 в^+15;*— =
Лу
Л;
Лу
Л & 5Г-( 2 + H - N ^^ -
pU2 Л; ; U Л;
-( 21 - K )
£5;* Ли U Лу
- + T
(и; 5;*; v)
(1)
M 8
Лв
Л5; т 2 ; »^с-**Лв **
—— + Lb 2—— + M5; —+ 2L5; в-
Л; Лу Л; Лу
N Лр »»
-т—5; +
pU2 Лу ;
2Lb25; Ли U Лу
2Mв5;* Ли U Л;
+ bT (U ;5;*; v)
турбулентного распределения скорости и = У
закон трения записывается как и для плоского пограничного слоя
T
(u ; 5;*; v)
v =
o;
pU
= 0,01256
U 5
;
v
v )
KM в2 Ли U Лу
-(M +1)-8*t(=;5;*;v) .
(2)
Во многих случаях потенциального течения в ядре потока удобно использовать несколько упрощенную запись уравнений импульсов (1) и дифференциального соотношения (2).
Во внешнем безвихревом потоке
1 Лр = U Ли p Л; Л;
1 _Лр = U Ли p Лу Лу
Подстав им эти выражения в (1) и (2) и получим окончательно:
- уравнения импульсов ППС потенциального ядра потока
случае
18^ + 15** _Л8 = Лу
Л;
Лу
-(2 + H ^Ли-(2I - к )85**?U+т (и; 5;*; v)
U Л;
U Лу
tr Л5; т 2 Л5; , ,?** Лв „г~** Лв Mb—— + LB2—— + M5; — + 2L5; в— = Л; Лу Л; Лу
(2Lb2 - N)
5;* Ли 2Mb5;* Ли
\ 0ф
и; 5ф ; э I = —- принятый закон трения. Для
' ри2
U Лу U Л; - дифференциальное соотношение
+ вТ (U; 5;*; v)
dB MH8ЛU / Ли
+ (N - KM в 2 )—
M— =
d; U Л;
U Лу
(M +1)5*T (U;5;*; v) .
(3)
Система (1) принадлежит к виду квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных [4].
Дискриминант характеристического уравнения (1)
имеет вид D = 4Lв2(8ф*)2 (L -М1), следовательно,
система (1) относится к эллиптическому, параболическому или гиперболическому типам, если величина L/(MI), соответственно, меньше, равна или больше единицы. Согласно [1], для различных профилей скорости эта величина близка к единице. В случае пара-боличности система уравнений импульсов (1) имеет одно семейство характеристик
Х = СУ = I в.
Сф
Дифференциальное соотношение на характеристике имеет вид
,,С в в Лр N Лр , ЧМ в Ли
М— = -MN-- —--- - -(N - НI---
Сф ри2 Л' ри2 Лу у 'и Лф
Дифференциальное уравнение (3) выражает зависимость в (тангенс угла скоса донной линии тока в = tg0o) от ф и 5ф* вдоль характеристик.
Для потенциального течения в круговом секторе сделаем некоторые допущения. Скорость потока
Ли п в
вдоль линии тока не изменяется -= 0. Распре-
Лф
деление скорости по радиусу подчиняется закону свободного вихря UR = С, тогда
Ли Ли
d ( C 1 2C
Лу
ЛR
dR V R ) R
Для решения используется комбинированный способ метода конечных разностей и метода характеристик. Система уравнений записывается в конечных разностях с учетом принятых допущений и включает в себя:
- уравнение характеристик
Ду=IвДф=IвRДa; (4)
- дифференциальное соотношение на характеристике
Дв =
H АДи + ( n - KM в 2 )
U Д;
M +1 _в_ M 5**
1 ди
MU Ду
T
(и; 5;*; v)
Д;
(5)
+
2
- уравнение импульсов
as;* =
Sl* AU
(к - 2I -(2 + H +
v ' U Ay ' U Аф
+T (U; Sф*; v)-1sAS<p
_<-,** As -1Sф — Ay T Ay
Аф .
(6)
Расчетная схема представлена на рис. 1. Расчет выполняется в следующей последовательности. В области решения ABCD должны быть определены поля скоростей, линии тока и построены естественные координаты ф и у. На входе в область (кривая АВ)
должны быть заданы значения еп
(Зф*)о. По
(Ay0i)
(Ayo2>
Ayoo=AR
Ayoi=AR
Ayffi=AR
Рис. 1. Схема численного интегрирования
По выражению (5) определяется приращение вдоль каждой характеристики - Дв00; Дв01; Дв02... . Значение в в плоскости ф(1) определяется по формулам:
(sio) =s00+As0
(Sil)' =soi+Asoi; (S12) =S02+AS02 ;
S1 П = "
(S10 )' -(S11 )'
AR -(Ay 00 ) +(Ay 01)'
-(Ay00/+(si0/ ;
s,, =-
(S11 )' - (S12 )
-(Ay0i)'+(sii/;■■■ .
AR -(АУп1 ) + (АУ02 )'
Приращение толщин потери импульса вдоль координатной линии ф (у - const) определяется по
выражению (6). Учитывая, что
öS
ф _
öS*
9у dR
разностный аналог производной определяется с помощью выражения
i . г* ** л ASФ _Зф00 -Зф01
AR
V /00
AR
f . с.** Л Q** Q **
ASФ _вф01 -Зф02
AR
V /01
AR
выражению (4) определяем точки пересечения характеристик, выходящих из узлов в плоскости ф(0) с плоскостью ф(1) - Ду00; Ду01; Ду02... . Из рисунка видно, что эти точки не совпадают с узлами на линии тока в плоскости ф(1).
Аналогично определяется Дв/ДК.
При нулевых начальных условиях (бф*) = 0 для
старта вычислительного процесса при переходе а0^а1 необходимо использовать выражение для толщины потери импульса на плоской пластине [5]:
(5ф*)10 = 0,036Aф( (Зф*)11 = 0,036Aфl
AФооU 0!
AФ01U 01
-0,2
Это допущение вполне справедливо, поскольку в00 = 0, а шаг интегрирования Да^0. Далее на переходе а1^а2 используется выражение (6).
Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис. 2-4.
На рис. 2 представлена зависимость толщины потери импульса от угла поворота потока на круговом секторе с углом поворота потока 90° при скорости потока 25 м/с.
Зф , м
где обозначения для в^ ) взяты со штрихом, поскольку точки пересечения характеристик с плоскостью ф(1) не совпадают с узлами.
Сделав допущение о гладкости функции в(К) (или в(у)), выполняем коррекцию значений (определим значение в непосредственно в узлах):
0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
R1 = 0,09 м /
///
R2 = 0,07 м///
Л/
= 0,05 м
0 10 20 30 40 50 60 70 80 ф, °
Рис. 2. Зависимость толщины потери импульса от угла поворота потока
На рис. 3 показана зависимость угла скоса донной линии тока от угла поворота потока при тех же условиях.
и
0.2
V
V
ф
1,4
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
^-----
^—R1 = 0,09 м
R2 = 0,07 м
4 / R3 = 0,05 м
Рис. 4. Результаты теоретических исследований Поступила в редакцию
10 20 30 40 50 60 70 80 ф, °
Рис. 3. Зависимость угла скоса донной линии тока от угла поворота потока
Из результатов расчетов видно, что толщина потери импульса расслаивается в зависимости от радиуса линии тока. Тангенс угла скоса донной линии тока не зависит от радиуса и достигает величины насыщения е = 1,511.
Справедливость принятых допущений подтверждается совпадением теоретических расчетов рис. 4 с данными эксперимента по визуализации донных линий тока рис. 5.
Рис. 5. Экспериментальная визуализация, и = 18 м/с, при течении в прямоугольном колене
На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:
- по результатам исследований получены уравнения импульсов и дифференциальная зависимость на характеристике, позволяющие вести интегрирование совмещённым разностно-характеристическим методом в естественной системе координат при течении в круговом секторе;
- расчётная и экспериментальная визуализация донных линий тока показывает, что угол скоса донной линии тока изменяется от нуля в прямолинейном потоке до определённого предельного значения насыщения при повороте потока на криволинейном участке.
Работа выполнена при финансовом содействии Красноярского краевого фонда науки 18G145 и поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-08-00830а.
Литература
1. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.,
1962.
2. Шкарбуль С.Н., Вольчук В.С. Анализ пространственного пограничного слоя в центробежном колесе турбомашины // Энергомашиностроение. 1977. № 1. С. 14-16.
3. Кишкин А.А., Черненко Д.В., Черненко Е.В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 4.
4. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М., 1966.
5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1969.
29 сентября 2008 г.
Черненко Дмитрий Викторович - канд. техн. наук, доцент кафедры холодильной, криогенной техники и кондиционирования Сибирского государственного аэрокосмического университета. Тел. (3912)647866. E-mail: chernenko_d@sibsau.ru Черненко Евгений Викторович - аспирант кафедры холодильной, криогенной техники и кондиционирования Сибирского государственного аэрокосмического университета. Тел. (3912)647866. E-mail: chernenko_е@sibsau.ru Зуев Александр Александрович - зав. лаб. кафедры холодильной, криогенной техники и кондиционирования Сибирского государственного аэрокосмического университета. E-mail: xkt@mail.ru
Шевченко Юлия Николаевна - студент Сибирского государственного аэрокосмического университета. Тел. (3912)371295. E-mail: spsp99@mail.ru
Chernenko Dmitriy Victorovich - Candidate of Technical Scince, assitant professor of department refrigeratory, cryogenic technic and conditioning of Siberian State Aerospace University. Ph. (3912)647866. E-mail: chernenko_d@sibsau.ru Chernenko Evgeniy Victorovich - post-gaduante student of departament of refrigeratory, cryogenic technic and conditioning of Siberian State Aerospace University. Ph. (3912)647866. E-mail: chernenko_е@sibsau.ru Zuev Aleksandr Aleksandrovich - head of laboratory departament refrigeratory, cryogenic technic and conditioning of Siberian State Aerospace University. E-mail: xkt@mail.ru
Shevchenko Yuliya Nikolaevna - student of Siberian State Aerospace University. Ph. (3912)371295. E-mail: spsp99@mail.ru
б
