Исследование донных линий потока при развороте потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК62-251-762.89:532.5.013.12

А. А. Кишкин, Е. В. Черненко, А. А. Зуев, В. С. Горошко ИССЛЕДОВАНИЕ ДОННЫХ ЛИНИЙ ПОТОКА ПРИ РАЗВОРОТЕ ПОТОКА

Рассмотрен разностно-характеристический способ интегрирования параболичной системы квазилинейных дифференциальных уравнений импульсов пространственного пограничного слоя при течении в круговом секторе. Отмечено удовлетворительное совпадение результатов численной и экспериментальной визуализации донных линий тока.

Ключевые слова: пространственный пограничный слой, уравнения импульсов, дифференциальное соотношение, визуализация донных линий тока.

Значительный круг задач, рассматривающих течение рабочего тела в проточной части лопаточных машин, связан с необходимостью интегрирования уравнений пограничного слоя по сложной криволинейной поверхности с поперечным градиентом давления. Наиболее верные и продуктивные шаги в этом направлении были сделаны Г. Ю. Степановым [1] и С. Н. Шкарбулем [2], построившим свои гипотезы на анализе сил, действующих на элементарный объем жидкости при повороте. Однако отсут -ствие обоснования коэффициентов Ламе для рассмотренных ими каналов, а также то, что ядро потока принимается потенциальным (безвихревым), не дает возможности адаптировать уравнения для случая произвольного закона распределения скоростей и давлений в ядре потока. Для эффективного выбора метода решения и построения расчетного алгоритма необходимо привести систему уравнений импульсов пространственного пограничного слоя (ППС) к виду, определенному по переменным и позволяющему вести как численное, так и аналитическое интегрирование. Общий вид уравнений пространственного пограничного слоя [3] в естественной системе координат

1 55*; 1 аи, ,

+------(25* +5* -5) +

Н

ни дф

1 55

ф;

1 ди

Ну ду И у и ду

( 25ф;-5,)+НфНу 25*;-5;)=

- 1 дР 5 + -Тф

pH фи2 1 55*; 1 55

Н; 5; Нф

-и ;ф + 25;ф ди +

Нфи дф

25*;* ди 25**ф дН,

Н*и д; НфН; 1 дН,

Нф Н; д;

(5*;+5*ф*+5*ф-5) =

-1

др 5 - -„;

терные толщины ППС) [1], которые для практических расчетов в безотрывной зоне считаются постоянными величинами:

н7=1* ,=15,

5** ’ с»** ’ _ *,.. *

* е 5* е 5*

** **

I = -1^, М = 15*

е2 5*** е 5**

5ф*

N- —,

5** '

где 5ф* - толщина потери импульса в направлении ф (вдоль

линии тока); е - tg90 - -0*- - тангенс угла скоса донной

** ** ** -0ф

линии тока; 5ф;, §**, §;*ф - характерные толщины потерь импульсов; 5*, 5* - толщины вытеснения в проекциях на оси естественной системы координат (продольной ф и поперечной ;); 5ф, 5; - толщины ППС в проекциях на оси естественной системы координат [3].

В естественной системе координат координатная линия ф совпадает с проекцией предельной линии тока на стенке, а координатная линия ; ортогональна ф. Дифференциал дуги координатной линии равен дифференциалу по аргументу ёБ. = Н^,, следовательно в естественных координатах, привязанных к известным линиям тока, коэффициенты Ламе Нф=Н; = 1. В результате преобразований получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

д5ф

д5

де

+15ф* _де =

д; ф д;

А г-Р 5ф

ри2 дф ф -(21 - к)

е5фф* ди и д;

д5’

+ Т (и; 5ф*; у)

(2)

(1)

д5* *

____ф_

д;

М є^^ + Ье2

д

де дъ

+М 5ф*—+ 2 Ь5;*є—-ф дф ф д;

pH у и 5у ри

не позволяет провести интегрирование, поскольку число неизвестных функций здесь превышает число уравнений.

Воспользуемся известным приемом и введем относительные существенно положительные величины (харак-

5ф* +

N др

ри2 д;

2Ме5ф* ди

и

где принятый закон трения

2Ье25ф* ди

и д;

■еТ (и; 5ф*; у)

Т (и; 5ф*; у) =-итг- Для тур-

булентного распределения скорости

ри2

— = [у и І5,

закон трения записывается в виде [5]

Т (и; 5ф*; у) =

ґ

ри2

- 0,01256

и 5Г

1-**-I е,

ё ф

М^ --МЫ-^

ри2

2 --( N - Н)——-

ри2 д; у ’ и дф

КМе2 ди

-(М+^ Т (и; 5Г; у) .

+15” — -

д; ф д;

-( 2 + Н )ф — -( 21 - К )>

' 7 и дф 7

. е5Г ди и д;

д5Г

М є-

■Т (и; 5ф*; у)

д5* *

д

- + Ье

д;

де де

+М5ф* _ + 2Ь5;*є-5є-ф дф ф д;

(2Ье2 - N)5*—+

' и д;

+ 2Ме5ф* ди +

и дф

и дифференциальное соотношение

еТ (и; 5ф*; у)

ёе МНеди і 2\

М — ------------+ (N - КМе2) *

ёф и дф ' '

*_! ^-( м + 1)4т Т (и; 5”; у) ,

и д; 1 V ' ф >

(7)

(3)

Система (2) принадлежит к виду квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных [4]. Дискриминант характеристического уравнения (2) имеет вид

Б = 4Ье2 (5**)2 (I -М1),

следовательно эта система относится к эллиптическому, параболическому или гиперболическому типам, если величина Ы(МТ) меньше, равна или больше единицы соответственно. Для различных профилей скорости эта величина близка к единице [ 1].

В случае параболичности у системы уравнений импульсов (2) существует одно семейство характеристик

где е - тангенс угла скоса донной линии тока, е = ^ „ 0. Дифференциальное уравнение (7) выражает зависи-

г-.**

мость е от ф и 5 вдоль характеристик.

Для потенциального течения в круговом секторе сделаем некоторые допущения. Скорость потока вдоль линии тока не изменяется:

ди

ф

-0.

(4)

а дифференциальное соотношение на характеристике имеет вид

др

— -МШ -----г

ё

N др

Распределение скорости по радиусу подчиняется закону свободного вихря иЯ = С, тогда

ди = - = - ё Г С1 = 2С

д; = дЯ _ ёЯ I, Я ) Я2 '

Для решения используем комбинированный метод, совмещающий метод конечных разностей и метод характеристик. Система уравнений записывается в конечных разностях с учетом принятых выше допущений и включает уравнение характеристик

Л; - IеЛф - IеЯЛа, (8)

дифференциальное соотношение на характеристике

Ае -

ли

Н—— + (N - КМе2 )— и Лф '' ’ ми Л;

(5)

и 5у 4 7 57 ' Ф '

Во многих случаях потенциального течения в ядре потока удобнее использовать несколько упрощенную запись уравнений импульсов (2) и дифференциального соотношения (5).

Во внешнем безвихревом потоке

-1 др = и ди 1 5р = и ди

р 5* 5* р 5у 5у

Подставим эти выражения в (2) и (5) и получим уравнения импульсов ППС в случае потенциального ядра потока

55** 55** Зе

М +1 _е_ М 5:

Т (и; ф; у)

Ф

(9)

Л

и уравнение импульсов

е5

Л5Г -

(К - 21 )■

-Ли-(2+Н фи+

и Л; ’ и Лф

Л5*

Л;

+Т (и; 5”; у) -1 -15” —

' ф > Л; ф Л;

(10)

(6)

Численное интегрирование выполняется следующим образом (рис. 1).

В области решения АВСБ определяются поля скоростей, линии тока и строятся естественные координаты ф и у. На входе в область (кривая ^4В) задаются значения е0 и (5* )0. По выражению (8) находятся точки пересечения характеристик, выходящих из узлов в плоскости ф(0) с плоскостью ф(1): Ду00, Дую, Ду02, .. . Отметим, что эти точки не совпадают с узлами на линии тока в плоскости ф (1) (см. рис. 1).

По выражению (9) определяются приращения вдоль каждой характеристики:

^е00, ^е01, ^е02,... .

Значения е в плоскости ф(1) находятся по выражениям

(е10 ) =е00 + ^00 , (е11 ) =е01 + ^01 ,

(е12 ) = е02 + ^е02 , ... . где обозначения для е взяты со штрихом, поскольку точки пересечения характеристик с плоскостью ф(1) не совпадают с узлами.

Затем делается допущение о гладкости функции е(К) (или е(у)), после чего выполняется коррекция значений,

т. е. определяются значения e непосредственно в узлах:

% =-----------------------_(Дуоо )'+(s„)' ,

DR -(Ду 00 ) + (ДУ 01 )

e - (e11 M%) 7(4Vo, )'+(e„)'.....

DR -(ДУо1 ) + (ДУо2 )

5R

то разностные аналоги производной имеют вид

5Г -S**

DR

Д8ф*

_____ф_

DR

00

Л

DR

S** -8*:

DR

(5ф*)10 - 0,036Дфо,

(*) - 0,036Дфо

Справедливость принятых допущений подтверждается совпадением теоретических расчетов (рис. 4) с данными эксперимента по визуализации донных линий тока (рис. 5).

Рис. 1. Схема численного интегрирования

Приращение толщин потери импульса вдоль координатной линии j (y = const) рассчитывается по выражению (10). Поскольку

55*ф* 58**

Таким же образом определяется и Де/ДК.

При нулевых начальных условиях: (8“ )0. = 0 - для старта решения при переходе а0 ® а1 необходимо использовать выражения для толщины потери импульса на плоской пластине [5]:

Дф00^ 01

Дф01^ о:

Это допущение вполне справедливо, поскольку е00 = 0, а шаг интегрирования Да ® 0. Далее на переходе а1 ® а2 используется выражение (10).

Результаты расчета представлены ниже (рис. 2.. .4). Анализ полученных результатов показывает, что тол -

(1.015

0.05

0.02

0.01

^ nO.tlS !Л // J // / "iff

10 20 00 40

Т: 00':: 00

Рис. 2. Зависимость толщины потери импульса от угла поворота потока на круговом секторе с углом поворота потока 90° при скорости потока 25 м/с

t.t

1.4

1

Ц4

4

-—

--Мй®.!»

/

■ .. ^*^07 ж

--Н,»аа5 м

/

ю га

3» 4D SV № 14

Рис. 3. Зависимость угла скоса донной линии тока от угла поворота потока (условия те же, что и на рис. 2)

Рис. 4. Результаты теоретических исследований данных линий тока

На основании вышеизложенного можно сделать сле-

щина потери импульса расслаивается в зависимости от ра- дующие выводы:

дауса линии тога. Тангеж угла ж°са донной линии тока не - получена форма записи уравнения импульсов и

зависиг от радиуса и достигает величины тс;ыщенияе = 1,511. дифференциального соотношения на характеристике,

Библиографический список

1. Степанов, Г Ю. Гидродинамика решеток турбомашин / Г Ю. Степанов. М. : Физматгиз, 1962.

2. Шкарбуль, С. Н. Анализ пространственного пограничного слоя в центробежном колесе турбомашины / С. Н. Шкарбуль, В. С. Вольчук // Энергомашиностроение. 1977. №> 1.

3. Кишкин, А. А. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя / А. А. Кишкин, Д. В. Черненко, Е. В. Черненко // Изв. вузов. Сев.-Кавк регион. Серия «Технические науки». Новочеркасск, 2007. N° 4.

4. Камке, Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / Э. Камке. М. : Наука, 1966.

5. Шлихтинг, Г Теория пограничного слоя / Г Шлих-тинг. М. : Наука, 1969.

A. A. Kishkin, E. V. Chernenko, A. A. Zuev, V. S. Goroshko BOTTOM FLOW LINES RESEARCH AT FLOW TURNING

A difference-characteristic integration method ofparabolic quasi-linear differential equation system of impulses of three-dimensional boundary layer atflow on the circular sector is analyzed. A satisfactory fit of results of the computational and the experimental visualization of bottom flow lines is registered.

Keywords: three-dimensional boundary layer, equations of impulses, differential relation, visualization of bottom flow lines.

© Кишкин А. А., Черненко Е. В., Зуев А. А., Горошко В. С., 2009

УДК 681.332.53/519.676

Е. И. Алгазин, А. П. Ковалевский, В. Б. Малинкин

ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ИНВАРИАНТНЫМ МЕТОДОМ С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБРАБОТКОЙ

Синтезирована инвариантная система обработки информации на основе квадратичной нелинейной обработки. При расчете параметров такой системы принято допущение, что отсчеты поднесущей зашумлены аддитивной помехой и некоррелированы между собой. Проведено сравнение количественных оценок работы данной системы с количественными показателями классической системы с амплитудной модуляцией и характеристиками инвариантной системы на основе расширенного синхронного детектирования.

Ключевые слова: помехоустойчивость, инвариант, вероятность попарного перехода, отношение сигнал/шум.

В работах [1-5] исследовались инвариантные сис- имеют существенно лучшие характеристики по срав-темы передачи информации, которые имеют различ- нению с классическими системами амплитудной мо-ные вероятности попарного перехода. Такие системы дуляции при комплексном воздействии помех. Выиг-

позволяющая вести интегрирование совмещенным разностно-характеристическим методом в естественной системе координат с произвольных начальных координат при течении в круговом секторе;

- расчетная и экспериментальная визуализация донных линий тока показывает, что угол скоса этой линии изменяется от нуля в прямолинейном потоке до предельного значения насыщения при повороте потока на криволинейном участке.

Рис. 5. Экспериментальная визуализация донных линий тока при течении в прямоугольном колене (скорость потока 18 м/с)

2o