Момент сопротивления диска, вращающегося в потоке, закрученном по закону твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5.032

МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДИСКА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ В ПОТОКЕ, ЗАКРУЧЕННОМ ПО ЗАКОНУ ТВЕРДОГО ТЕЛА

© 2012 г. П.Н. Смирнов, АА. Кишкин, ДА. Жуйков, С.И. Пшенко

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева, г. Красноярск

Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev, Krasnoyarsk

Решается система уравнений импульсов пространственного пограничного слоя для случая вращения диска в потоке, закрученном по закону твердого тела. Получено выражение для момента сопротивления вращающегося диска. Полученные результаты сравниваются с эмпирическими и классическими результатами.

Ключевые слова: пространственный пограничный слой; уравнения импульсов; момент сопротивления; вращающийся диск; закон твердого тела.

The system of impulses equations of the dimensional boundary layer solve for the case of the disk rotating in a flow, swirling by the law of solid body. Expression for the moment of resistance of the rotating disk obtained. The results are compared with the classical and empirical.

Keywords: dimensional boundary laye; equations of impulses; moment of resistance; rotating disc; law of the solid body.

В теории турбомашин задача о моменте сопротивления вращающегося диска занимает особое положение, поскольку значительная доля механических потерь в компрессорах и турбинах относится к так называемым дисковым потерям. Без знания момента сопротивления диска невозможна корректная постановка задачи о распределении давления в торцевой щели - основного источника осевой силы, важнейшего эксплуатационного параметра. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, проведенные различными авторами, в диапазоне изменения геометрических и режимных параметров дают целое поле разнящихся между собой значений [1 - 3]. В плане приложения методов теории пространственного пограничного слоя (ППС) [4] задача о моменте сопротивления диска также имеет существенное значение. Во-первых, реализуется возможность сравнения результатов интегрирования уравнений импульсов ППС с результатами известных решений, и, во-вторых, как будет показано ниже, решение получается общим относительно уже имеющихся.

Применять уравнения импульсов ППС [4] для описания течения у вращающегося диска не представляется возможным, поскольку эпюра продольной скорости и по своему характеру противоположна принятой в уравнениях импульсов ППС (рис. 1). Решение задачи возможно с помощью инверсионной подстановки (ид - ия), где ид, ия - окружные скорости диска и жидкостного ядра соответственно. Другими словами, задача о сопротивлении диска заменяется задачей о сопротивлении жидкости, вращающейся над неподвижным основанием. При этом необходимо обратить особое внимание на то, что поперечная составляющая скорости w направлена по радиусу диска, по нарастанию давления р, что приводит к некоторым особенностям решения.

Диск

5с

Стенка

Рис.1. Расчетная схема течения по неподвижной стенке и вращающемуся диску

В соответствии с этой подстановкой и учитывая, что решать эту задачу удобнее в цилиндрических координатах, введем новые определения характерных толщин ППС для случая вращающегося диска.

Толщина расширения продольного потока (в направлении а)

s;=j

si ид -ия -иЛ

1 —

Ug - ия

dy.

Толщина поперечного потока (в направлении R)

SR =J

о Uд - U я

dy.

Толщина прироста импульса продольного потока (в направлении а)

s :=j

1-

U д - U я - u ид - ия ,

U Д - U я - U dy =

U Д - U я

R

д

w

Sf

= 1

1--

V ^ - ^ ,

U д - U я

dy.

Толщина импульса поперечного потока (в направлении R)

sR = J

w

(UД - Uя У

-dy.

Продолжив преобразования, получаем уравнения импульсов для диска:

Толщина прироста импульса продольного потока в поперечном направлении

-+-(25:;-5Г)=-dR R

(2SOR -s R ) =

и0а

p(roR )2

d S R 1 / ** Г-. ** C» * \ R + R (3SR +So +S«) = -

0R

(1)

. dR Rv " " "' р^)2

Закон трения примем, как и для плоской пласти-

sOR = J

U„ -U„ -иЛ

1-

Uд - Uя ,

U Д - U я

dy =

P(Uд -Uя)

= 0,01256

^ nc4 * * ,

roRS^

v

V ,

(2)

= J

о Uд - U, Uд - Uя

dy.

Толщина импульса поперечного потока в продольном направлении

SR*o = J-

w

Sf

=J

1-

U д -

U

я д

>

U я , U

-dy = -dy.

для радиальной составляющей имеем

T0R = ИТ0а = т0а ,

где 60 - угол скоса донной линии тока.

Введем относительные, существенно положительные величины. Для практических расчетов, согласно [6], считаем эти величины постоянными:

I = 1SOR; K = 1 sR

e S ** e S **

L = J_% ; H = S

e S* S *

Запишем систему уравнений ППС в проекциях на оси цилиндрической системы координат (соответственно а и R); учтем, что при осесимметричности течения члены с д /За равны нулю:

1 dS

oR

1

d (UД - Uя )

Hr dR {UR - U я ) H

dR

(2SOR -S R)+

1 dH,

H o Hr dR

O( 2SOr-S R ) = -

0o

p(UД - Uя У

¿SR + 2SRd (U д - U я) + H dR HR (UД - Ux ) dR

1 dHO /5.««

H o Hr dR

(S RR" +SO« +SO-S) =

dp

S-

0o

Н К "^)2 dR Р(ид "ия)'

Примем во внимание [5], что для цилиндрических координат коэффициенты Ламэ Нк = 1, На = R, dHа/dR = dR/dR = 1, ид - ия = тК, где ю - угловая скорость отставания жидкостного ядра от диска, юд - юя = ю; dp = pю2RdR - дифференциал давления при вращении жидкостного ядра, как твердого тела; юя = фюд, где ф - коэффициент закрутки ядра.

Согласно [4], величины 8а , 8а , 8Д - существенно положительные, а знак остальных характерных толщин ППС совпадает со знаком поперечной скорости, поперечная скорость направлена по координате R.

Преобразуем систему (1) с помощь указанных подстановок. В итоге, после преобразований, уравнения примут вид:

Г /в^+/5- ^ - 2 К - 2/) = dR а dR R '

= 0,01256

( roRS"^ 0,25

v

V

d SO

d e SO

Le2 + 2LeS«* — + ^M3Le2 +1 + H) = dR R

dR

= -0,01256e

rroRS«^ 0,25

v

v ,

Систему (3) перепишем в следующем виде:

dSO гг^«« de

I e—— +1SO — = dR O dR

0,01256

' roRS«*A

v

V ,

+ 2 (K - 2I)

eSo

R

Le2

dS

de

, г с;**

+ 2LSO e— = dR dR

0,01256e

f 0,25 roRS„

v

v ,

+ S°-(3Le 2 +1 + H)

(3)

u

w

X

u

w

u

w

дя

+

1

и сопоставим с общим видом системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [7]:

ди , ди д¥ , дV „

+ + а12^Т + Ь12 V"= С ;

дх ду дх ду

R

3Le 2 +1 + H )

- 2Le8*

0,01256

rroR5t^ 0,25

v

V /

,„K - 2I *

+2-e80

R 0

(8)

dU , ÖU ÖV , dV

-^21

ЙГ

+ + а22^Г + = C2 .

ÖV

ЙГ

ÖV

Обозначим соответственно коэффициенты и переменные: и = 8а , V = е, ап = /е, а12 = /8а , Ь11 = Ь12 = = 0, а21 = Lе2, а22 = 2LеSа , Ь21 = Ь22 = 0, х = у = а,

Ci =

0,01256

iraR8""A 0,25

v

v /

+ 2 (K - 2I)

e80 R

C2 =-

Г

0,01256

raR8*

v

v /

+ ^(3Le2 +1 + H )

.(5)

Гиперболичность системы (4) определяется по корням характеристического уравнения

b11 -Xa11 b12 -Xa12

b21 -Xa21 b22 -Xa22

= 0:

-XI e - XI50

-XLe - 2XLe8*

= 0.

(6)

X Л =

C=

a11 a12 a21 a22

b12 a12

b22 a22

X = 0, 5 =

b12 a11

b22 a21

= 0;

= 0, M =

C1 b1

C2 b22

=0;

Дифференциальное соотношение (7) выполняется только при одном условии - N = 0, или, учитывая (8), имеем:

\ 2

0,01256180* (Re**) 0,01256-2L80*(Re**)

0,25

e +1 (3Le2 +1 + H)

,(80*)

1 + H p-'-

' R

+

-0,25

e+

4L (K -2I)

(80*)2

R

e2 = 0.

Сгруппируем члены и запишем квадратное уравнение

\2 '

3LI + 4L (K - 2I )(80*)

(1 + H )1

0,01256

( 2L +1) {

1 + H

(Re**)

R

-0,25

e2 +

(80*)2 e + --'— = 0

R

или

ae +be+c = 0,

(9)

где a = Л

(80*)2 R

b = 58"

(Re**)

-0,25

(80* )2 R

3LI + 4L (K - 2I) 2L +1

Л =---Ц-, B = 0,01256

Из уравнения (6) следует, что Х1 = Х2 = 0, направления характеристик совпадают с координатной линией R. Система гиперболична, решение тривиально, корни действительны. Запишем дифференциальные соотношения на характеристике в общем виде и в принятых обозначениях:

(ХгА + В) dU + CdV + Mdx + Шу = 0 ;

(X гА + В ) d5a*+ Cd е+ MdR + Ша = 0. (7)

Принимая во внимание (5), распишем коэффициенты:

(1 + Н) / (1 + Н) /'

Решение квадратного уравнения (9)

BR

(Re**)-

2 А5„

B2R2 (Re**) 4Л2 (80* )2

J_

Л

. (10)

Учтем соотношение е = -а±л/а2 -Ь , или

(е2 + Ь )

а =--1, и сопоставим его с выражением (10),

2е

BR

получим

(Re**)-

2 Л8*

e2 +1/Л 2e

Выразим толщину потери импульса, учитывая выражение (2):

D I \ 0,25 5 (V| R0,7518 2 Л V ю

(80*)

-1,25 e 2 +1/Л

2e

a12 C1 ** roR8„ -0,25

N = = -180* 0,01256e 0 +

a22 C2 v V /

8**=i в

0,8

(e2 +1/Л)

-R0,6 lV

0,2

(11)

+

+

0,25

+

С =

0,5

0,25

В = —

0,25

0,8

e

Выражение (11) есть условие, удовлетворяющее дифференциальному соотношению (7); отметим, что при определенных условиях (11) может иметь разрыв.

Для удобства интегрирования системы (4) выразим производные явно. Домножим первое уравнение 2 ^

de

системы (4) на | —— e

-2Le

2LSO*e—= dR dR

0,01256—e I

roRS*

-0,25

4L

I R

(K - 21)

Le

2 dSo

dR

de

+ 2LSO e— = O dR

пульсов ППС. Действительно, как показывают результаты визуализации донных линий тока (рис. 2), на турбулентном режиме вращения диска угол скоса донной линии тока 60 - величина постоянная по радиусу диска и не зависит от режимных параметров.

(

0,01256e

roRS«

-0,25

v

v ,

+ -^(3Le 2 +1 + H)

Сложим почленно уравнения и выразим производную

d SO« 0,01256

dR

roRS«

Л

0,25

v

V ,

21

2+l'+

SO« Г K - 21 1 + H +—| 4-+ 3 +-—

R

I

Le2

(12)

ную

de _ 2e dR ~ IR

(K - 2I)-lk(3Le2 +1 + H)"

Рис. 2. Донные линии тока на диске

При подстановке в уравнение (12) постоянной величины е = 1§(0О), равной величине в точке разрыва (13), причем в первое слагаемое е, а во второе еi, оно значительно упрощается:

d S«

= D

roRS„

где D = -

dR 0,01256

(14)

Продолжим преобразования и выразим производ-

(1 + H)I

13LI + 4L (K - 2I)

2 1

I + L

Разделив переменные, проинтегрируем его при нулевых начальных условиях (Я0 = 0, 8а = 0):

0,01256

SO

roRS«

-0,25

v

V ,

1+1.

Разумно предположить, что ход решения в данном случае аналогичен случаю вращения жидкости над неподвижным основанием [8]. Действительно, при

или

e2 =-

e = i.

(1 + H )I

3LI + 4L (K - 2I);

(1 + H )I

3LI + 4L (K - 2I)

(13)

O (SO«)0,25 d so« = J d p

,0,25 ,D v ) dR

яа25 '

В результате окончательно получаем выражение для толщины потери импульса в окружном направлении для диска, вращающегося в потоке, закрученном по закону твердого тела:

\ 0,2

SO*диск = E j-VJ R0,6 ,

где E = | — D

0,8

(15)

0,8

0,01256

(1 + H )I

3LI + 4L (K - 2I)

дифференциальное соотношение (11) терпит разрыв, что указывает на наличие градиентного кризиса в решении [7]. Комплексное значение параметра е, по нашему предположению, является следствием того, что направление поперечной составляющей скорости м> противоположно направлению падения потенциала давления. Это формально физически некорректно, но дает возможность проинтегрировать уравнения им-

Причем необходимо помнить, что ю

2+1 ^ I + L,

год - гоЯ -

это угловая скорость отставания жидкостного ядра от диска. В итоге система квазилинейных уравнений (4) путем допущений и подстановок свелась к виду (14), позволяющему вести интегрирование при начальных условиях. Хотя для того типа систем нелинейных дифференциальных уравнений [7] нет достаточно

v

в

v

полной теории, нет теорем существования и единственности задачи Коши.

Автором работы [6] были получены значения для относительных величин /, К, L, Н для различных законов распределения скорости в ППС, которые удобно использовать при применении в практических расчетах полученных выше соотношений (таблица).

Значения характерных относительных толщин для различных степеней закона распределения скорости по толщине ППС и = у 1 т

m H I L K

1 3 0,8 0,66(6) 1,4667

2 2 0,7143 0,7714 1,7143

7 1,2857 0,45(45) 0,8 2,2879

9 1,2(2) 0,3956 0,7563 2,3956

11 1,(18) 0,35 0,7105 2,475

e = tg60 =

(1 + H )I

3LI + 4L (K - 2I)

= 0,417,

0,2

V | „0,6

80*диск = E|4 R0,6 = 0,3621-| R

0,2

V I „0,6

(16)

где коэффициент Е рассчитывается по выражению (15); ю = юд - юя - угловая скорость отставания жидкостного ядра от диска.

Момент сопротивления одной стороны диска по кольцевой площади от R1 до R2 записывается как интеграл от напряжения трения:

R2

Мдиск = 2*КаК 2^ ,

Rl

где напряжение трения, с учетом (16), определяется выражением

( \ 0,2

хдаск = 0,01256Е ~°,25рю2 1-1 К1'6.

Окончательно выражение для определения момента сопротивления диска примет вид:

МдиСК = 0,01716E-0,25pra2 | ra | ' (Rf -R14,6 ) . (17)

Экспериментальное исследование момента сопротивления диска проводилось на установке, конструктивные особенности которой при незначительных переборках позволяют организовать течение как от периферии к центру, так и наоборот. Идентичность течения по обеим сторонам диска достигалось равенством торцевых зазоров и контролировалось датчиками расхода справа и слева. Момент сопротивления диска с одной стороны определялся как суммарный измеренный момент, поделенный пополам. Необходимо отметить, что в основной постановке задачи -вращение диска в потоке, закрученном по закону твердого тела, течение на интегральной длине реализуется только на безрасходном течении, поскольку при наличии расхода происходит искажение закона распределения привнесенным количеством движения. В этом случае задачу распределения диска необходимо рассматривать как следствие задачи о течении в торцевой щели.

На рис. 2 представлены результаты визуализации донных линий тока на вращающемся диске. Картина донных линий тока остается постоянной во всей области существования турбулентного течения у диска и не зависит от величины и направления протечек через торцевую щель. Величина тангенса угла наклона донной линии тока, полученная при визуализации, достаточно хорошо согласуется с теоретической величиной (при законе 1/7):

Для удобства сравнения с известными решениями определим выражение для коэффициента момента сопротивления. Согласно [9], коэффициент момента сопротивления для одной стороны диска определяется выражением

М

_ диск СМ = ,

p R4 2 д

или с учетом (17)

CM = 0,03432E"

1,8 т> „-0,2

(1 -ф) Re

(18)

где Rera = Юдиск диск

- число Рейнольдса.

1/7

1 ю „ , „ ю

ной скорости и--= 2,12 —

е и и

u =1 У

U .8,

J u Г1

V U /

продоль-

- поперечной

тогда 6о = 22,6°.

При том же законе распределения продольной скорости по толщине ППС толщина потери импульса по радиусу диска определяется выражением

скорости, выражение (18) примет несколько иной вид:

См = 0,0443(1 -ф)1,8Щ; ю0,2.

Для диска, смоченного с двух сторон,

2См = 0,0886 (1 -ф)1,8Щ; и0,2. (19)

На рис. 3 представлены результаты расчета 2СМ по выражению (19) и результаты классических решений: для диска в кожухе [1, 2] и свободно вращающегося диска [1], а также результаты наших экспериментов.

0,2

V

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы по гос. контракту №П1500 от 03.09.09г.

Литература

1. Karman Th. Über laminare und turbulente Reibung // Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. (ZAMM). (1921). № 1. P. 233 - 252.

2. Schulz-Grunov F. Der Reibungswiderstand vortierender Scheilen in Geha usen // ZAMM. (1935). № 15. P. 191 - 204.

3. Okay a T., Hasegawa M. On the frictional to the disc rotation in a cylinder // Japan Journal of Physics, 1939. Vol. 13, № 1.

4. Кишкин А.А., Черненко Д.В., Черненко Е.В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 4. С. 35 - 41.

5. Кочин Н.Е., Кибель И.Е., Розе М.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М., 1963. 728 с.

6. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., 1962. 512 с.

7. Зайцев В.Ф., Полянин А.А. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М., 2003. 416 с.

8. Вращение жидкости над неподвижным основанием по закону твердого тела / А.А. Кишкин [и др.] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 7.

9. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М., 1969. 744 с.

Поступила в редакцию 7 февраля 2011 г.

Смирнов Павел Николаевич - аспирант, Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]

Кишкин Александр Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]

Жуйков Дмитрий Александрович - канд. техн. наук, доцент, Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]

Пшенко Степан Игоревич - аспирант, Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. E-mail: [email protected]

Smirnov Pavel Nikolaevich - post-graduate student, Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail: [email protected]

Kishkin Alexander .Anatolievich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department, Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail: [email protected]

Zhuykov Dmitry Alexandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail: [email protected]

Pshenko Stepan Igorevich - post-graduate student, Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. E-mail: [email protected]

2С

0,009

0,006

0,003

0

Карм ан [1]

ф = 0

п- ф = 0 ,25 Шульц - Грунов[2]

7Г д & п

о о ф = 0,5

ф = 0,75 Окая - асегава [3]

3

4

5

Рис. 3. Коэффициент момента сопротивления диска в кожухе, смоченного с двух сторон, на безрасходном режиме

Необходимо отметить, что в диапазоне изменения коэффициента закрутки ф = 0...0,75 полученное решение перекрывает область уже известных. Экспериментальные точки достаточно хорошо укладываются в область ф = 0,25...0,5.

5

ReQ-10