CC BY
20
УДК 62-251-762.89:532.5.013.12
ВРАЩЕНИЕ ЖИДКОСТИ НАД НЕПОДВИЖНЫМ ОСНОВАНИЕМ ПО ЗАКОНУ ТВЁРДОГО ТЕЛА
© 2011 г. A.A. Кишкин, A.A. Зуев, Е.В. Черненко, П.Н. Смирное
Сибирский государственный аэрокосмический университет
Siberian State Aerospace University
При допущениях об осесимметричности течения, интегральные соотношения уравнений пространственного пограничного слоя, с учетом характеристик течения по закону твердого тела, преобразованы в систему в полных дифференциалах. В результате интегрирования получено выражение для оценки толщины потери импульса в зависимости от геометрических и режимных параметров течения.
Ключевые слова: пространственный пограничный слой; уравнения импульсов; дифференциальное соотношение; закон твердого тела.
At assumptions about axis-symmetrical current, integrated parities of a boundary layer's equations, with the consideration of characteristics of a current under the law of a solid body, are transformed to system in full differentials. As a result of integration, expression for an estimation of a thickness of an impulse loss depending on geometrical and regime parameters of a current is received.
Keywords: three-dimensional boundary layer; equations of impulses; differential relation; law of a solid
body.
Известно, что вращение жидкости по закону твёрдого тела реализуется при турбулентном режиме для диска, вращающегося в кожухе [1]. Аналогичные режимы течения реализуются между рабочим колесом центробежного насоса и неподвижной стенкой корпуса. В известных решениях рассматривается момент сопротивления вращающегося диска. Впервые интегральные соотношения пограничного слоя на вращающемся диске записаны Карманом [1]. Решение для момента сопротивления диска, вращающегося в кожухе, выполнено Окайя и Хасегава [2]. Интегральный момент сопротивления на неподвижной стенке считался эквивалентным моменту на вращающемся диске. Однако характер течения в пограничном слое у неподвижной стенки существенно отличается от течения жидкости у вращающегося диска.
Для решения задачи о характере распределения толщины потери импульса пограничного слоя на неподвижном основании при вращении жидкости по закону «твёрдого тела» воспользуемся в качестве исходной системы уравнений импульсов пространственного пограничного слоя (ППС) с поперечным градиентом давления [3]. Сделаем допущение, позволяющее упростить уравнения импульсов: течение жидкости осесимметрично по
замкнутым кольцевым линиям тока, следовательно, члены уравнений импульсов ППС [3] с
Э / Эф равны нулю, система примет вид
1 д5
фу + 1 дU
(** * \ 25ф; -5;j +
Ну dy UHy д;
■ 1 дНф(25ф;-§;)= Т0ф
нфнy д;
pU
2
д5^ + 25; ди +
Н; д; H;U д; 1 дНф
НфН; д;
(** ** * \ 5; +5ф +5ф -5) =
; 1
др
5 —
^0;
p^U2 д; pU2
(1)
С учётом сделанного допущения выгодно перейти к цилиндрическим координатам ф = а; у = Я. Учтём, что коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат Нф = Н а = Я; Ну = НЯ = 1 [4], тогда производная для коэффициентов Ламэ
+
определится как дН Р/Эу = дН * /дЯ = дЯ/ дЯ = 1. Согласно закону вращения твердого тела скорость внешнего потока и = ю • Я , где ю — угловая скорость вращения ядра потока, дифференциал по давлению определяется выражением <р = рю2Я<Я . В записи уравнения перейдём от частного к полному дифференциалу. Учитывая сделанные замечания, запишем систему (1) в цилиндрических координатах:
d8
10а
—+1dU fe - 2§:r )+1 (- 2§:r )-. 2 dR U dRyR aR' R aR' pU2 '
d8R_+28r dR R
+1 (1 RK 1
+ 8 0
t0R
+ 8l -s)=--8-- ,
а ' R p(o). R)2
величина Н не зависит от Re и от безразмерно-
5" <и
го градиента давления--, что подтвержда-
и <х
ется результатами многочисленных исследований. Значительные расхождения расчётных и экспериментальных данных отмечались только для пограничных слоёв на диффузорных участках вблизи отрыва пограничного слоя. В случае пространственного пограничного слоя предположение о постоянстве относительных величин пограничного слоя Н, I, К, L, М менее обосновано и используется лишь из-за возможности вести интегрирование уравнений импульсов (2). С помощью указанных подстановок преобразуем систему (2) к виду
Представим выражение для скорости внешнего потока и и продолжим преобразования:
d8
R
dR
+ R ((R - 2С)+R (1
- 28aR) =
х0о
р(ш- R )2
l0R
<5я_+25Я_+1 (*+5;*+5а -5)=-—-■ ч2.
<Я Я Я а а Я р(ю-Я )2
Окончательно получим уравнение импульсов для потока, вращающегося как твёрдое тело над неподвижным основанием в проекциях на цилиндрические координаты:
d8
0
df + R (8R - 2801 )=-)
d
4*114
80* е
е80
2 + —
R
d
dR 1 8*
1 8R
е 8 0
е80 - 2
**
18 R
е 8о
е8о
т0о
80* е2
2* е28о
dR
о**
+ 8 a +
*
80
* 8*
1
+
R
*
• 80
' J.8R*4 е2 8*
р(ш1 )2'
•е28* +
t0a е
р(ш1)
d8R
dR
+ — (381 Rv
*
+ 8*
+ 8a )=-
t0R
p(«v R )2
(2)
В таком виде система (2) не определена. Преобразуем систему, используя рекомендации Г. Ю. Степанова [5]. За основную характерную толщину пограничного слоя примем толщину потери импульса продольного потока в окружном направлении, введём относительные, существенно положительные величины:
H = . I = 1 8 aR
8* * е 8* *
к = 1 l = — 8*.
е 8*
е2 8*
1 81
М = 1. ^
е 5*;* ,
причём М+1=К, где е = т0Я/т0а — тангенс угла, определяющего направление напряжения трения. Обозначение форм параметра Н совпадает с обычным обозначением в теории плоского пограничного слоя. Для практических расчётов относительные толщины пограничного слоя считаются постоянными. В случае плоского пограничного слоя
Вынесем постоянные коэффициенты за знак дифференцирования:
1 •d(е8 0*) + — 280* (K - 21)= .
dR R 1 р(ш1 )2;
L •d (е 280*) + - (28*а* +80* + H8*L )=--^ dR RK a a a' р(ю1 )2
Возьмём производные и окончательно запи-
шем
d8a r 0** de 2 ,,**/„ T0a
I •e +1 •80* ^ + 4 e8*a* (K - 21) =
dR
dR R
pM )2 ;
L•e2^ + 2L 80*еА + •e2 +1 + H) dR 0 dR R v ;
et00
p(®R)
(3)
Для дальнейшего интегрирования системы (3) необходимо выбрать профили продольной, поперечной скоростей и закон трения. Профиль
+
продольной скорости и(у) выберем, как и в случае плоского пограничного слоя
и = и • /(у), у = у / 5 , где вид безразмерной
0,01256 — е I
/ \
rnR5
-0,25
4L £5* I R
"(K - 2I)
функции f (у) = у. Поперечная скорость ^(у) у автора [5] находится в функциональной зависимости от продольной скорости
V = № • g(и), и = и, где № — максимальное значение поперечной скорости.
Расчёты показывают, что полная скорость
4и 2 + м?2 не превосходит внешней скорости и при е0 < 60°.
Примем, что т0а зависит от внешней скорости и и толщины потери импульса 5" так же, как и в плоском турбулентном пограничном слое [5]:
т0а
pU2
= 0,01256 (Re)
1-0,25
Т 2 d5a - „** de Le2—— + 2L5a — dR а dR
- 0,01256 е
-0,25
wR5a
**
+ — (3Le2 +1 + H)
R X '
Сложим выражения почленно и выразим производную толщины потери импульса пространственного пограничного слоя:
d5'a* _ 0.01256 ®R5a* -0,25 Г 2 1 ^ + —
dR e v V / I V L /
45
(K - 2I)+ (3Le2 +1 + #) IRy LRe
(5)
В нашем случае вращательного движения = 0,01256 •
l0a
/ „.« V0,25
rnR5„
p(®R )2
где V — вязкость жидкости. Учитывая изложенное, запишем систему (3) в преобразованном виде
фф фф
Ie^ + I5*a* А + 2■e5^(K -21) =
dR a dR R v '
_ 0,01256
/ ** \-0,25
rnR5a
(4)
,2 d5a
Le2 ^ + 2Le5" — + ^ (e2 +1 + H) dR a dR Ry '
/ ** 0,25
rnR5a
= -0,01256 e
Система дифференциальных уравнений (4) состоит из двух уравнений и содержит два неизвестных е и 51*. Приведём систему к более удобному для интегрирования виду, выразим производные явно. Домножим первое уравнение на
, 2Х
(-~ е) и получим:
- 2Le 2 d5
dR
a - 2L5*a* — _
dR
Домножим первое уравнение системы на
/ т \
получаем:
L -1е
т 2 d5a т „* - Le2 —— - Le5a dR 0
- 0,01256 L e I
de _
dR _
/ n~** v0,25 raR5a
2L IR
e X* (K - 2I)
r 2 d5a - T q ** de Le2 —— + 2Le5a — dR dR
0,01256e
/ ds*8 л-0,25
+ — (e2 +1 + H)
R V '
Суммируем выражения почленно и выразим производную е — тангенса угла скоса донных линий тока:
А= 21 ( - 2/)--(2 + 1 + Н )-
0,01256
*
5,,
o>R50
-0.25
I + L
(6)
v
+
v
v
v
v
+
v
v
v
Попытка численного интегрирования системы (5), (6) по методу Рунге—Кутта не приводит к положительному результату по двум причинам.
Во-первых, невозможно корректно задать начальные условия, поскольку при Я ^ 0 про-
^б" ае
изводные —— и —г стремятся к бесконечнос-аЯ аЯ
ти. Решение получается неустойчивым, незначительное изменение начальных условий приводит к значительному изменению хода решения. Подобрать начальные условия и получить сходимость в решении не удаётся.
Во-вторых, при определённом значении па-
раметра е в ходе интегрирования функция
d5a
dR
имеет разрыв второго рода, не имеющий физического обоснования. Из сказанного следует вывод, что решение системы (5), (6) имеет существенные внутренние ограничения [6].
Сделаем попытку получить интересующие нас соотношения с помощью анализа системы квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, на том основании, что исходная система уравнений импульсов пространственного пограничного слоя принадлежит к этому классу уравнений. Запишем общий вид квазилинейных уравнений [6]:
эи , эи ЭУ , ЭУ „
+ ьи^" + а12т" + ь12т" = С1;
Эх Эу Эх Эу
•*21
эи , эи Эу , Эу
+ ¿12 "г" + а22 3 + ь22^~ = С 2 •
Эх Эу Эх Эу Сопоставим ему уравнения системы (4):
Iе +1§;* А + 2 (К - 21) =
ая а ая я '
= 0,01256
/ ** \-0,25
o>R5 „
C1 =
0,01256 •
rnR5n
-0,25
Я**
- 2(K - 21) а
R
C 2 = -
0,01256 • 5"
/ ** \-0,25
rnR5 „
+ ■
R
(e2 +1 + H)
(7)
Тип системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка определяется по корням характеристического уравнения
b11 a11 b12 a12 b21 - ^ a21 ¿22 - ^ a22
= 0
В наших значениях оно запишется в виде - X 1е-Х 15"
-Ь Le2 -Ь 2Le 5a
= 0
Из характеристического уравнения следует, что Х1 = X2 = 0 . Это означает, что направление характеристик совпадает с координатной линией Я. Система параболична и имеет одно семейство характеристик, корни характеристического уравнения действительны, хотя решение тривиально.
Запишем дифференциальное соотношение на характеристике
((¡Л + В )и + СОу + мах + Му = 0, (8) в наших обозначениях уравнение (7) примет вид
(Л + В )5" + сае + мая + Ша = 0, где коэффициенты определяются из выражений:
Le2 d5 »
2Le5;* — + — (e2 +1 + H) dR a dR R '
/ ** 0,25
rnR5„
= -0,01256 e
Обозначим коэффициенты и переменные: U = б"; v = е; ап = /е; а12 = /б" ; bn = ¿>12 = 0 ;
а21 = Le2 ; а22 = 2^ебГ; ¿21 = ¿22 =0;
^/A =
a11 a12 a21 a22
^ = 0
так как корни характеристического уравнения равны нулю;
B =
¿12 a11 = 0; C = ¿12 a12
¿22 a21 ¿22 a22
= 0;
M =
C1 ¿12
C 2 ¿22
= 0.
v
+
v
v
v
здесь коэффициенты равны нулю, потому что
ьп = ¿12 = ь21 = ¿22 = 0 •
Единственный коэффициент в дифференциальном соотношении, отличный от нуля,
1 + H
(4K - 11I )M
0,5
Отметим, что
N =
«12 C1
Ü22 C2
е = а + а +
1 + H
(4K - 11I )M
= -I5„
/ ** \—0,25
rnR5„
0,01256 е**
+ — (е2 +1 + H) R '
е2 —
1 + H
откуда а =
(4K - 11I )M
2е
Перейдём к нашим обозначениям:
- 2L - е5а
0,01256 -K - 2I
/ ** \-0,25
rnR5„
е5„ R а
,28 -10 -3 1 + 2L
R
4K - 11I L51
rnR5a
v0,25
= 6,28 -10"
I + 2L R -х
0,75
Дифференциальное соотношение на характеристике (8) имеет вид
Ша = 0 , (9)
для того, чтобы удовлетворялось дифференциальное соотношение, необходимо записать
0.
Изменим знак, раскроем скобки и перепишем выражение, получим квадратное уравнение относительно параметра е:
4K -l(§: )
е2 - 1 + H
25
/v Л0-25
ю
(4К -111 )М .
" 2е
Выразим толщину потери импульса:
Sa = 0,01256-
е
0,8
е2 -
1 + H
0,8
е =
- 0,01256(I + 2L)5" v \ / -0,25 ± 1,577 -10-4(I + 2L)(-;*) v \ / -0,5 +
2(4K - 11I )L -— х R
(4K - 11I )M
0,2
х R
0,6
ю
\ /
' I + 2L (4K - 11I )L
(11)
+ 4(4K - 11IX1 + H)LI
(sOtj)
r2
0,5
(10)
Рассмотрим положительный корень, разделим числитель на знаменатель, получим:
\-0,25
+
е = 0,00628, ( + 2L \ х 4* ' (4K - 11I )L §Г
mR5„
v
3,9425 -10
-5
(I + 2L )2
r2
(4K - 11I) L2 (а*)
юR5r,
-0,5
При анализе этого выражения, удовлетворяющего дифференциальному соотношению на характеристике (9), следует, что при изменении параметра е вдоль оси Я (ось Я совпадает с характеристикой) дифференциальное соотношение терпит разрыв второго рода при определенном значении е , как видно из (11). Разрыв в производной в квазилинейном уравнении распространяется по характеристике [6]. Отметим, что дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка вырождается в дифференциальное соотношение на характеристике [6]. С другой стороны, вдоль характеристики распространяются начальные значения функции. Следовательно, можно сделать вывод, что по оси Я, совпадающей с характеристикой системы, уравнение (6)
+
+
v
v
х
х
х
5
+
+
v
вырождается в значение функции е в точке разрыва. Система уравнений (5), (6) примет вид
d5a _ 0,01256
dR
/ _ _ ** \
rnR5
-0,25
1 1 I + L
Le2R
- 4 — (K - 2I )+ IR
(3Le2 +1 + h) ;
(12)
£ _
1 + H
(4K - 11I )M
где с учётом параболичности системы —^ = 1-
Выполним преобразования системы (12) и получим обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
d§n
dR
_ 0,01256
l(4K - 11I )M V 1 + H
a>R5 a
-0,25
2+1 I+L
После интегрирования при нулевых начальных условиях получаем выражения для толщины потери импульса продольного потока при враще-
нии жидкости как твердого тела над неподвижным основанием:
v /
R
0.6
где Q _ 0,04535
/ о \0,4 .
4M2 - 7L 1 ( 2
1 + H
1 I + L
\0,8
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по гос. контракту №П1657 от 15.09.09 г.
Литература
1. Дорфман Л. А. Гидравлическое сопротивление и теплоотдача врашающихся тел. М., 1960. 260 с.
2. Okaya T., Hasegawa M. On the frictional to the disk rotating in a cylinder // Japan Journal of Physics. 1939. Vol. 13.
3. Кишкин А. А., Черненко Д. В., Черненко Е. В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. №4.
4. Кочин И. Е., Кибель И. А., Розе М. В. Теоретическая гидромеханика. М, 1963. 4.1. 584 с.
5. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбо-машин. М., 1962. 512 с.
6. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частный производный первого порядка. М., 1966. 260 с.
х
£
v
х
5
+
х
v
Поступила в редакцию 28 июля 2010 г.
Кишкин Александр Анатольевич — д-р техн. наук, профессор, Сибирский государственный аэрокосмический университет. Тел. (391) 237-12-95. E-mail: [email protected]
Зуев Александр Александрович — канд. техн. наук, доцент, Сибирский государственный аэрокосмический университет. Тел. 8 (913)180-68-69. E-mail: [email protected]
Черненко Евгений Викторович — зав. лабораторией, Сибирский государственный аэрокосмический университет. Тел. (391) 288-71-77. E-mail: [email protected]
Смирнов Павел Николаевич — аспирант, Сибирский государственный аэрокосмический университет. Тел. (391) 291-90-93. E-mail: [email protected]
Kishkin Alexander Anatolyevich — Doctor of Technical Sciences, professor, Siberian State Aerospace University. Tel. (391) 237-12-95. E-mail: [email protected]
Zuev Alexandr Alexandrovich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Siberian State Aerospace University. Tel. 8 (913)180-68-69. E-mail: [email protected]
Chernenko Evgeniy Viktorovich — head of laboratories, Siberian State Aerospace University. Tel. (391) 288-71-77. E-mail: [email protected]
Smirnov Pavel Nikolaevich — post-graduate student, Siberian State Aerospace University. Tel. (391) 291-9093. E-mail: [email protected]
