CC BY
15
УДК 539.3
К РАСЧЕТУ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРОВЕНОСНОГО СОСУДА КАК ТОНКОСТЕННОГО СОСУДА ДАВЛЕНИЯ
Р. А. Сабиров, А. А. Григорьев, А. В. Снежков
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: rashidsab@mail.ru
В условиях невесомости у космонавтов происходит значительное увеличение скорости наполнения вен, увеличение их емкости и растяжимости, что приводит к явлению ортостатиче-ской неустойчивости при возвращении на Землю. Рассматривается расчет кровеносного сосуда, уравнения равновесия для которого получены по деформированной схеме; учитывается растяжимость сосуда и изменение внутреннего давления при его наполнении. Расширения сосуда существенно отличаются от расширений, полученных с помощью классического уравнения Ламе. Нелинейная задача деформирования показывает, что одной и той же нагрузке соответствуют два значения расширения, что может негативно влиять на смежные более тонкие сосуды, имеющие меньшее внутреннее давление при гемодинамике.
Ключевые слова: сосуды давления, напряжения, деформации, гемодинамика.
TO THE CALCULATION OF THE STRAIN STATE OF THE BLOOD VESSEL AS A THIN-WALLED CYLINDRICAL PRESSURE VESSEL
R. A. Sabirov, A. A. Grigoryev, A. V. Snezhkov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
Е-mail: rashidsab@mail.ru
In weightlessness the astronauts there is a significant increase of the filling rate of the veins, increase of their capacity and distensibility, which leads to the phenomenon of orthostatic instability when returning to Earth. Discusses the calculation of a blood vessel, the equilibrium equation for which is obtained on the deformed scheme; it takes into account the elongation of the vessel and the change in the internal pressure when it is filling. The extension vessel substantially different from the extension obtained by using the classical lame equation. Nonlinear problem of deformation shows that one and the same load values correspond to the two extensions that may adversely affect adjacent thinner vessels, which have less internal pressure when blood flow.
Keywords: pressure vessels, stress, strain, hemodynamics.
Введение. Деформирование сосудов человека при перегрузках, изучают в космической медицине. Исследования вен в реальных космических полетах, выполненные с помощью современной аппаратуры позволили установить, что с первых дней пребывания в невесомости выявлено значительное расширение вен [1], увеличение их емкости и растяжимости. В земных условиях движение (гемодинамика) крови по сосудам, возникающее вследствие разности гидростатического давления таково, что в венах стопы при ходьбе давление равно 15-30 мм рт. ст., а у стоящего человека - 90 мм рт. ст. [2]. Поэтому, проблему деформирования кровеносного сосуда и системы сосудов человека в условиях космического пространства и на Земле, можно назвать актуальной. В литературе по медицинской физике, например, [3], показано в кровеносных сосудах, вычислять окружное напряжение uL с помощью уравнения
о ь = 4о V ^ С1)
где д0- давление; Л0- радиус сосуда; t0- толщина сосуда. Добавим к (1), закон Гука и закон, связывающий деформацию периметра сосуда с расширением wL, обозначающим величину, на которую увеличится его радиус
wL = q0Я0 / Е'0. Е - модуль Юнга. (2)
Однако уравнения (1) и (2) справедливы при только малых относительных деформациях и расширениях, и не отражают изменение давления и уменьшения толщины стенки сосуда. Отсюда следует задача исследования деформирования сосуда, когда его расширение существенно превышает начальный радиус и изменяется толщина стенки.
Постановка задачи. Рассмотрим модель деформирования сосуда по деформированной схеме. Для этого составим уравнение равновесия деформированного сосуда (рис. 1). На рис. 1, а покажем начальный сосуд, имеющий радиус Я0. После приложения нагрузки q, радиус
увеличивается и становится равным Я0 + w (рис. 1, б). Теперь уравнение равновесия (1) будет
иметь вид
оф = q(^0 + w) / X. (3)
Здесь ор - окружное напряжение; X - толщина деформированного сосуда.
Положим упругое деформирование материала сосуда в рамках закона Гука:
8* = Е(°* ^ 8ф = ^К-^^). (4)
Здесь в *, о * - относительная меридиональная деформация и меридиональное напряжение; вф - относительная окружная деформация; р - коэффициент Пуассона.
Пусть в уравнениях (4) напряжение о * = 0, тогда второе уравнения в (4) упрощается
оф = Евф. (5)
Составим геометрическое уравнение. Длина окружности недеформированного сосуда равна 10 = 2л^0, а длина деформированного равна / = 2л(^0 + w). Тогда деформация равна
вф = (/ -/0)/10 = w/^ (6)
Подстановка (6) в (5), совместно с уравнением равновесия (3) дает
w/(Я0 + w) = qR0/Et. (7)
В уравнение равновесия (7) следует подставить текущую толщину X, которую вычислим из условия неизменности объема материала сосуда. Начальная площадь поперечного сечения Яо = п(R0 + Х0)2 - лR(2; текущая площадь поперечного сечения равна Я = п^0 + w + X)2 - п^0 + w)2. Приравняв Я0 = Я, получаем формулу вычисления толщины
X = -(^ + w) + ,1 (Rо + w)2 + V п , (X > 0). (8)
Подстановка (8) в (7) даёт нелинейное уравнение для вычисления расширения w
w qR0
Rо + w Е
(Rо + w) + ,1 (Rо + w)2 + V п
= 0. (9)
Расчет. Радиус вены R0 = 3 мм. Модуль Юнга Е = 8 -104 Па. Начальная толщина вены равна t0 = 1 мм. На рис. 1, в показан график вычисления корней уравнения (9) при давлении
д0 = 40 мм рт. ст. Результаты для д0 = 10, 20, ..., 50 мм рт. ст., приведены в таблице. В столбцах 1 и 2 приведем значения давления д0. В столбце 3 вычислены расширения wL по формуле (2), а в столбце 4 приведены расширения м>1, вычисленные по формуле (9) (индекс 1 обозначает первый корень уравнения). В столбце 5 подсчитана разность этих расширений. В столбце 6 записаны значения второго корня нелинейного уравнения (9). Колонка 7 таблицы демонстрирует окружные напряжения.
Графики результатов расчета вены представим на рис. 2.
'0
&
б
Рис. 1. Тонкостенный сосуд и график невязки нелинейного уравнения: а - начальное состояние сосуда; б - деформированный вид; в - корни уравнения м>1 = 0,001 м и = 0,0105 м
а
в
Результаты расчета прогибов и напряжений в вене
?0 WL м м ^ " WL 100% м Па
мм. рт. ст. Па
1 2 3 4 5 6 7
10 1333 0,00015 0,00165 10 0,065 3999
20 2666 0,0003 0,0004 13,3 0,029 7998
30 3999 0,00045 0,0006 33 0,017 11997
40 5332 0,0006 0,0010 66,6 0,0105 15996
50 6665 0,00075 0,0017 126 0,0063 19995
зооооо4
2500004
2000004
I50000Н
1000004
500001
00.(1 Ю2 0.(1 Ю6 0.(1 1а
б
Рис. 2. Графики, расчета вены при начальной нагрузке д0 = 40 мм рт. ст.: а - уменьшения толщины стенки; б - изменения внутреннего давления; в - увеличения напряжения в стенке вены
а
в
Выводы. При расчете вены по деформированной схеме, расширения отличаются от расширений линейной схемы деформирования. При д0 = 10 мм рт. ст. различие составляет 10 %, а при д0 = 50 мм рт. ст. различие значительнее - 126 %. Внутреннее давление д при w = 3 мм
достигает максимального значения 7445,5 Па, а затем снижается. Рис. 2, б демонстрирует, что одному и тому же давлению отвечают два разных расширения, что может приводить к увеличению давления в более тонких венах в системе сообщающихся сосудов. Напряжение при всех нагрузках не превышало предела прочности вены 1 МПа.
Библиографические ссылки
1. Фомина Г. А. Изменения сердечно-сосудистой системы человека в невесомости [Электронный ресурс] // XVI Конференция по космической биологии и медицине с международным участием (5-8 декабря 2016 г., Москва). С. 245-247. URL: spacemedicine-2016.com (дата обращения: 18.02.2017).
2. Гемодинамика [Электронный ресурс] // Википедия. URL: ru.wikipedia.org>Гемодинамика (дата обращения: 18.02.2017).
3. Медицинская физика : учебник / авт.-сост.: В. А. Федоров, А. В. Яковлев, С. В. Васильева. 2012. 122 с.
© Сабиров Р. А., Григорьев А. А., Снежков А. В., 2017
