CC BY
9Решетневскуе чтения. 2018
УДК 539.3
К АНАЛИЗУ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОЙ ТРУБКИ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: [email protected]
Рассматривается модель тонкой трубки как модель мягкой тонкой оболочки, изгибная жесткость которой весьма мала. Уравнения равновесия составлены по деформированному состоянию; учитывается растяжимость трубки и изменение внутреннего давления. Расширения и напряжения в рассмотренной трубке существенно отличаются от расширений, полученных с помощью классического уравнения Лапласа - чем выше давление, различия существенней. Внутреннее давление имеет предельное значение, причем в определенном диапазоне одному и тому же давлению соответствуют два деформированных состояния.
Ключевые слова: сосуды давления, напряжения, деформации.
THE ANALYSIS OF THE STRAIN STATE OF A THIN TUBE
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: [email protected]
The paper considers a model of a thin tube as a model of a soft thin shell, the bending stiffness of which is very small. The equation of equilibrium is composed by deformed state; takes into account the elongation of the tube and the change in internal pressure. The extensions and stresses in the considered tube differ significantly from those obtained by the classical Laplace equation - the higher the pressure, the differences are more significant. The internal pressure has a limit value, and in a certain range of the same pressure correspond to two deformed state.
Keywords: pressure vessels, stresses, deformations.
Напряжения в тонких трубках традиционно вычисляют с помощью уравнения [1-3]
= q0 R>/ (1)
а деформацию, с параметром wL, (назовем wL «расширением») по формуле
Wl = q0 R2/ Et0. (2)
Здесь ctl - напряжение, q0 - давление, R0 - радиус, t0 - толщина, E - модуль Юнга.
Уравнения (1) и (2) не отражают изменения внутреннего давления и уменьшение толщины стенки трубки, как сосуда высокого давления при его расширении w .
В настоящей работе рассматривается модель деформирования трубки, для которой уравнения равновесия составляются по деформированному состоянию. Неизвестными величинами оказываются не только внутренние силы, но и геометрия деформированной трубки (оболочки) [4].
Постановка задачи. Обозначим радиус базисного слоя трубки символом R0 . Внутренний радиус равен
R0 -10 / 2 , а внешний радиус R0 +10 / 2. Тогда объем
трубки единичной длины равен V0 = 2%R0t0.
При приложении нагрузки q = q0 = const, произошло расширение w . Теперь толщина изменится и
станет равной t; внутренний радиус будет Яо + w -1 /2, внешний радиус равен Яо + w + /2. В этом случае объем материала единичной длины равен V = 2я(Яо + w)t. Приравняв V = У0 вычислим толщину
г = ед/(Яо + w). (3)
Учитывая расширение w, составим уравнения равновесия:
^ф = Чо (о + w). (4)
Отсюда следует окружное напряжение
стф= Чо (о + w)/1. (5)
Положим упругое деформирование материала в рамках закона Гука:
ег = (СТ-Цстф )/Е, еф= (стф-ЦСТ)/Е . (6) Здесь ег, стгстг - относительная меридиональная деформация и меридиональное напряжение; еф - относительная окружная деформация; ц - коэффициент Пуассона.
Пусть напряжение стг = о, тогда второе уравнения в (6) приобретает вид
Стф = Ебф. (7)
Составим геометрическое уравнение. Длина окружности недеформированного состояния равна
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
10 = 2%R, а длина окружности деформированного:
11 = + w). Отсюда следует относительная деформация
Вф = (4 - 1о)/ 1О = w/Ro. (8)
Подстановка (7) в (5), совместно с уравнением (8) дает
w = ЧО Щ
Ro + w
Et
(9)
а подстановка (3) в (9) даёт разрешающее нелинейное уравнение
w _ qo
(Ro + w )2
Eto
Из (10) можно выразить q _ q(w) :
q _ Eto
w
(Ro + w)
Приравняв производную функции (11) 1___2w
(Ro + w)2 (Ro + w)3
(1o)
(11)
^ _ Et dw
к нулю, получим
w _ Ro.
(12) (13)
Это есть точка, в которой
Ч = Чтах = Е{о/(4Ло).
Выше этого значения давление подняться не может.
Наконец, подставив (3) в (5), получим формулу вычисления окружного напряжения
СТФ = ЧО (Ro + w)2/(Ro /О), (14)
учитывающую неизменность объема материала трубки.
Расчет, заключение и выводы. Трубка радиусом R0 = 3 мм и начальной толщины /0 = 1 мм, давление
(Е = 5 • 104 Па; предел прочности 1МПа [1]).
1. Для этой трубки внутреннее давление имеет предельное значение чШах = 4166,66 Па .
2. Разность расширений существенна. Так при нагрузке Ч0 = 1333,33 Па расширение w(1) отличается от расширения wL на 25%. При нагрузке Ч0 = 2666,66 Па расширение w(1) отличается от расширения wL на 56 %. При нагрузке Ч0 = Чтах, расширение w(1) отличается от расширения wL на 400 %. На такие же величины отличаются и напряжения. Максимальные напряжения при всех нагрузках не превышали предела прочности материала, равного 1 МПа.
3. Согласно формуле (11), при переходе через точку w _ Ro давление начинает снижаться при увеличении расширения.
Данную формулировку задачи можно применять при исследованиях деформирования кровеносных сосудов [5] и, возможно, в космической медицине [6].
Библиографические ссылки
1. Биргер И. А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М. : Наука. 1986. 56o с.
2. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Гос. изд-во физико-технической литературы, 1959. 4oo с.
3. Шалашилин В. И., Горшков А. Г., Трошин В. Н. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : МАИ, 2ooo. 616 с.
4. Балабух Л. И., Алфутов Н. А., Усюкин В. И. Строительная механика ракет. М. : Высш. шк., 1984. 391 с.
5. Медицинская физика : учебник / авт.-сост.
B. А. Федоров, А. В. Яковлев, С. В. Васильева ; Министерство образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО.
2o12. 122 p.
6. Фомина Г. А. Изменения сердечно-сосудистой системы человека в невесомости [Электронный ресурс] // XVI Конференция по космической биологии и медицине с междунар.участием (5-8 декабря 2o16).
C. 245-247. URL: spacemedicine-2o16.com (дата обращения: 18.o3.2o18).
References
1. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov (Resistance of materials). Moscow, Nauka, 1986. 56o р.
2. Van Czi-de. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 1959, 4oo p.
3. Shalashilin V. I., Gorshkov A. G., Troshin V. N. Soprotivlenie materialov [Mechanics of materials] : Ucheb. posobie. Moscov : MAI, 2ooo. 616 p.
4. Balabukh L. I., Alfutov N. A., Usyukin V .I. Stroitelnaya mekhanika raket [structural mechanics of rockets]. M. : Vyssh. shk., 1984. 391 p.
5. Medicinskaja fizika [Medical physics]: uchebnik / avt.-sost. V. A. Fedorov, A. V. Jakovlev, S. V. Vasil'eva; Ministerstvo obr. i nauki RF, FGBOU VPO, 2o12. 122 p.
6. G. A. Izmenenija serdechno-sosudistoj sistemy cheloveka v nevesomosti [Changes of cardiovascular system in weightlessness]. Konferencija po kosmicheskoj biologii i medicine s mezhdunarodnym uchastiem. Moscov, 5-8 dekabrja 2o16 goda. P. 245-247 [Jelektron-nyj resurs]. URL: spacemedicine-2o16.com. Fomina (date of visit: 18.o3.2o18).
© Сабиров Р. А., 2o18
