CC BY
29исследования высокоскоростного взаимодействия тел. Изд-во Томского гос. ун-та, 2007. С. 572.
4. Орлов Ю. Н. Исследование процессов высокоскоростного деформирования разрушения комбинированных ударников : дис. ... к-та физ.-мат. наук. Томск : ТГУ, 2007. С. 28.
5. Удар-ОС 1. Ударно-волновое нагружение конструкций. Осесимметричная задача. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ / Ю. Н. Орлов [и др.]. № 2010610911; 28.01.2010.
References
1. Orlov M. Yu. Modelirovanie udarnovolnovogo nagrugenia stalnych pregrad s gradientnoy podkogkoy // Trudy Tomskogo Universiteta, Seria physico-mathematicheskay. T. 276. 2010. S. 52-54.
2. Glazyrin V. P., Orlov M. Yu., Orlov Yu. N. Investigation of destruction of functional gradient barriers at shockwave loading // AIP Conference Proceedings zababakhin scientific talks - 2005: International
Conference on High Energy Density Physics. Сер. "Zababakhin scientific talks - 2005 : International Conference on High Energy Density Physics" Snezhinsk, 2006. Pp. 421-426.
3. Glazyrin V. P., Orlov M. Yu. The dynamics of deformation and fracture of heterogeneous materials on impact // Theoretical and experimental studies of highspeed deformation of solieds. Publishing House of Tomsk State University, 2007. Pp. 572.
4. Orlov Yu. N. Issledovanie prozessov vysokoskorostnogo deformirovaniy i razruschenia udarnikov : dis. ... k-ta phys.-mat. nauk. Tomsk : TGU Publ., 2007. S. 28. (In Russ.)
5. Orlova Yu. N. Glazyrin V. P., Orlov M. Yu., Orlov Yu. N. Certificate of state registration of the computer № 2010615392 of 20.08.2010 "Explosive loading designs. Axisymmetric problem".
© Орлов М. Ю., Голубятников В. В., 2016
УДК 539.3
К РАСЧЕТУ ДЕФОРМАЦИИ ТОНКОСТЕННОГО ШАРА, СОСУДА ПОД ДАВЛЕНИЕМ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Рассмотрена тонкая оболочка, представляющая шар от действия внутреннего давления. Составлено уравнение равновесия по деформированной схеме с учетом неизменности первоначального объема материала оболочки. Уравнение связывает перемещение и давление. Решение этого нелинейного уравнения выявляет, что каждому уровню давления соответствуют два перемещения. Построены графики, связывающие перемещения с изменением внутреннего объема шара, с изменением его толщины, возникающими напряжениями и усилиями. Результаты обобщены для сообщающихся сосудов, имеющих до стыковки различные давления и перемещения.
Ключевые слова: расчет напряженного и деформированного состояния, большие перемещения, давление в шаре.
TO THE CALCULATION OF THE DEFORMATION OF THIN-WALLED BALL, A VESSEL UNDER THE PRESSURE
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
The paper considers a thin shell, representing the ballon from the action of internal pressure. The authors compose the equations of equilibrium on the deformed scheme in view of the immutability of the original volume of the shell material. The equation relates to the displacement and pressure. The solution to this nonlinear equation shows that for each pressure level the two movements correspond. The graphs, linking movement with the change of the internal volume of a sphere, change its thickness, resultant strains and stresses. Results are summarized for communicating vessels (balloons) having different pressure and displacement.
Keywords: calculation of the stress and deformations, large displacements, the pressure in the balloon.
<Тешетневс^ие чтения. 2016
Введение. Сосуды высокого давления, в том числе и сферические баки, используются в военно-морской и аэрокосмической технике, также имеют широкое применение в быту. Для толстостенных сосудов не допускаются большие деформации, поэтому для решения вопроса обеспечения прочности конструкции применяется уравнение равновесия Лапласа [1] с приложением нормативных коэффициентов запаса в соответствии с назначением. Для тонкостенных сосудов давления (оболочек) из металлических сплавов, в том числе изготовленных из композиционных материалов, резины или иных каучуковых материалов, вопросы деформирования от действия внутреннего давления, в том числе и от изменения давления при стыковке сосудов, в литературе по теории упругости и строительной механике рассмотрены недостаточно [2; 3].
Формулировка задачи. Рассмотрим простую модель деформирования сферической оболочки, составив уравнение равновесия по деформированной схеме. Срединная поверхность оболочки имеет первоначальный радиус Д0. От действия давления q первоначальный радиус оболочки увеличивается на величину w , которую назовем прогибом. Положим упругое деформирование материала в рамках закона Гука [4] с модулем Юнга Е . Объем материала оболочки Ут = 4nR^t0 , где - начальная толщина. Уравнение равновесия связывает нагрузку и прогиб:
W / (Д + w)3 - 2кЯ, q/(EVm) = 0. (1)
Решения. Рассмотрим оболочку в виде шара с начальным радиусом Д0 = 0,1 м и начальной толщиной
t0 = 10-3м . Материал примем из группы каучуковых, имеющих Е = 1 МПа . Примем внутреннее давление q = 2000 Па. Для этих данных решение уравнения (1) дает два корня: w = 1,5-10-2м и w = 14-10-2м. Третий корень отрицательный.
Рассмотрим взаимосвязь прогиба с внутренним давлением, внутренним объемом шарового баллона, напряжением и толщиной стенки при условии несжимаемости материала.
Построим график, связывающий функцию изменения давления q и прогиб w в области 0 < w < 0,5 м (рис. 1). Из графика видно, что одной и той же нагрузке q соответствуют два значения прогиба. Давлению qmax = 3000 Па соответствует W = 5 -10-2 м. Объем оболочки можно вычислять по формуле V = 4п(Д0 + w)3 / 3 . Толщина нелинейно зависит от прогиба. График изменения внутреннего усилия N приведем на рис. 2. Напряжения в области 0 < w < 0,5 м не превышают величины 5 МПа, что меньше предела прочности резины 13 - 34 МПа .
Анализ решений. Рассмотрим соединяющиеся шаровые сосуды давления (рис. 3).
1. Надуем два одинаковых шарика разными давлениями qa и qb, но не превышающими давления qmax (рис. 1). Затем шарики соединим. Давления
в шариках выравниваются, и шарики приобретают одинаковый радиус.
м-
Рис. 1. График, связывающий давление и прогиб
N
Рис. 2. График изменения внутреннего усилия
Рис. 3. Фотографии раздувания шарика большего диаметра, шариком, который изначально имел меньший диаметр, но большее давление
2. Если первый шарик надуть давлением qc < qmax в области w < w (рис. 1), а второй надуть давлением qd < qmax в области w > w (пусть qc > qd), тогда при выравнивании давления шарик меньшего диаметра раздувает шарик большего диаметра.
3. Вновь одинаковые шарики надуем давлениями qe и (рис. 1), превышающими qmax, но разными
(qe > qf ). Шарик меньшего диаметра уменьшается,
накачивая шарик большой.
Физические эксперименты по взаимодействию сообщающихся сосудов давления - воздушных шариков, проведены в [5].
Выводы. В шаровой оболочке, внутреннее давление, прогиб, внутренний объем и толщина стенки так связаны между собой, что давление увеличивается до определенного значения, затем, оно начинает уменьшаться. Одному и тому же давлению соответствуют два деформированных состояния.
Библиографические ссылки
1. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.
2. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматгиз, 1963. 880 с.
3. Саусвел Р. В. Введение в теорию упругости для инженеров и физиков. Гос. изд-во иностр. лит. М., 1948. 675 с.
4. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
5. Моделирование шарового сосуда по деформированной схеме / А. В. Изохватов [и др.] // Проспект Свободный - 2016 : сб. материалов Междунар. конф.
студентов, аспирантов и молодых учёных / Сиб. фе-дер. ун-т. (15-25 апр. 2016, г. Красноярск). С. 34-38.
References
1. Van Czi-de. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 1959. 400 p.
2. Vol'mir A. S. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems]. Moscow : Fizmatgiz, 1963. 880 p.
3. Sausvel R. V. [Southwell R. V.] Vvedenie v teoriju uprugosti dlja inzhenerov i fizikov. Gosudarstvennoe izdatel'stvo inostrannoj literatury [An introduction to the theory of elasticity for engineers and physicists]. M., 1948. 675 p.
4. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow : Nauka, 1975. 576 p.
5. Modelirovanie sharovogo sosuda po deformirovannoj sheme [Simulation of ball vessel on the deformed scheme]. A. V. Izohvatov, S. A. Polegot-chenkov, L. A. Burym, T. V. Dadyko, I. A. Motorkin. Sbornik materialov Mezhdunarodnoj konferencii studentov, aspirantov i molodyh uchjonyh "Prospekt Svobodnyj-2016", Sibirskij federal'nyj universitet, 15-25 aprelja 2016, Krasnojarsk, рp. 34-38.
© Сабиров Р. А., 2016
УДК 539.3
К УЧЕТУ КРАЕВОГО ЭФФЕКТА В ТОРОИДАЛЬНОМ БАКЕ ОТ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
На основе уравнений общей моментной теории оболочек получены уравнения расчета торового бака давления. Полученное дифференциальное уравнение преобразовано в вариационное; последнее реализовано вариационно-разностным методом. Расчет показал возникновение краевого эффекта в областях, примыкающих к закреплению.
Ключевые слова: теория оболочек, тор, краевой эффект.
INCORPORATING THE EDGE EFFECT INTO A TOROIDAL TANK FROM THE INTERNAL PRESSURE
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
On the basis of the equations of General moment theory of shells equations are obtainedfor the calculation pressure tank. The differential equation is converted into the variation equation; the latter is implemented by variation-difference method. The calculations show the occurrence of the edge effect in the areas of adjacent to the fixations.
Keywords: theory of shells, Thor, edge effect.
