CC BY
39УДК 539.3
К РАСЧЕТУ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЯГКОЙ ТОРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: rashidsab@mail.ru
Тороидальные оболочки применяются в аэрокосмической технике. Выполнен расчет напряженного и деформированного состояния тороидальной оболочки на действие внутреннего давления; уравнения равновесия составлены по деформированной схеме. При деформировании объем материала конструкции не меняется за счет уменьшения толщины стенки. При надуве оболочки разрешающее нелинейное уравнение предрешает монотонное увеличение внутреннего давления до определенного предела, а затем его понижение.
Ключевые слова: тороидальная оболочка, сосуды давления, напряжения, деформации.
CALCULATING THE DEFORMATION OF FLEXIBLE TOROIDAL SHELL
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: rashidsab@mail.ru
Toroidal shell is used in aerospace technology. The calculation of the stress and strain state of the toroidal shell to the action of internal pressure; the equation of equilibrium is composed on the deformed scheme. During deformation, the volume of construction material is not changed by reducing the thickness of the wall. When inflating a shell, a resolving nonlinear equation prejudges the monotonous increase of the internal pressure to a certain limit and then decrease.
Keywords: toroidal shell, pressure vessels, stress, strain.
Введение. Уравнения для расчета тороидальных оболочек изложены в работах [1-3].
Основы технической теории мягких оболочек, предполагающей выделение некоторого основного напряженного состояния и линеаризацию системы уравнений оболочки, приведены в [4].
Уравнения равновесия мягкой цилиндрической оболочки составляются для деформированного состояния. Неизвестными величинами являются мембранные внутренние усилия и геометрия деформированной оболочки.
Постановка задачи. Рассмотрим тороидальную оболочку (рис. 1). Фрагмент меридионального сечения тора изобразим на рис. 1 а, где обозначим: a -радиус от центра вращения тора, до вертикальной оси меридионального сечения окружности; R0 - начальный радиус срединного слоя оболочки; t0 - начальная толщина.
Приложение внутреннего давления q приводит к увеличению радиуса R0 на величину w , которую назовем расширением.
Толщина оболочки вычисляется из условия сохранения объема материала оболочки
t = R0 tJR + w). (1)
Меридиональное усилие N1, выведем из уравнения равновесия отсеченной части деформированной оболочки (рис. 2) на вертикальную ось:
N ( ) [ 2a + (R, + w)sin Ф](R, + w) n )
Nitow) = -—2Г , (R , ) .—;— qNi 1w) =
2 [a + (R0 + w) sin ф] [2a + (R, + w) sin ф] (R, + w)
= —F-—л— q. (2)
2 [a + (R0 + w)s.n ф]
Широтное усилие N2 получим из уравнения Лапласа [2]:
N2(w) = (R, + w)q/2. (3)
Уравнение, связывающее расширение w с нагрузкой q, основывается на законе упругости Гука [5]:
Et Et
N = --2 (В! + цв2), N2 = --г (в2 +ЦБ!), (4)
1-ц 1 -ц
в котором E - модуль Юнга, ц - коэффициент Пуассона, а в1 и в2 - относительные деформации срединной поверхности оболочки:
в1 = w / R0, в2 = w sinф / (a + R0sinф). (5)
Нелинейное уравнение задачи, в котором расширение w = w(q, ф), следующее
Решетневские чтения. 2017
(1 -ц2)(а + Е0 БШ ф)(Е + w)2 а + Е0(1 + ц) бш ф [ Е0(1 + ц) бш ф + ца ] бш ф
= Ч. (6)
I Е + w а + Е„Бт ф
Здесь 0 <ф< 2п, ч > 0.
Расчет. В качестве примера тора рассмотрим резиновую камеру колеса автомобиля. Физические характеристики материала: Е = 106 Па, ц = 0,499 ; результаты обмера камеры: Е = 0,065 м , а = 0,215 м, ^ = 0,002 м .
Представим результаты расчета на линиях широты, координаты которых ф = -п /2, ф = -п /4, ф = 0, Ф = п /4, ф = п /2 при давлении ч = 6000 Па .
На рис. 3 представим деформированный вид меридионального сечения, соответствующее первому корню, полученному при решении уравнения (6).
В таблице представим прогибы и напряжения. В столбце 2 выписаны расширения w(1), соответствующие первому корню решения уравнения (6), а в столбце 3 - решения w(2), отвечающие второму корню решения уравнения (6). В столбце 4 записаны меридиональные напряжения решения задачи Ст[, а в столбце (6) - широтные напряжения ст2 при расширении w(1) .
В столбцах (5) и (7) вычислены меридиональные напряжения ст^ и широтные напряжения стЛ геометрически линейной задачи, в которой w = 0.
а
б
Рис. 1. Фрагмент тороидальной оболочки: а - начальный вид оболочки; б - деформированный вид
Ф = 0
w = 0,02445
Ф = -п /2
w = 0,0245 м
^(ф, w)
w = 0,014 м
Ф = п/4 w = 0,0105 м Ф = п/2
w = 0,0096 м
Рис. 2. Фрагмент меридионального сечения тора
Рис. 3. Деформированное сечение
Прогибы и напряжения
X
Ф w(1), м w(2), м ст1, МПа стЛ, МПа ст2, МПа стЛ, МПа
1 2 3 4 5 6 7
-п/2 0,0245 0,0925 21,32 20,496 0,185 0,0975
-п/4 0,02445 0,096 20,45 20,134 0.185
0 0,014 0,3 19,85 19,85 0,144
п/4 0,0105 0,55 20,09 20,03 0,132
п/2 0,00963 0,6 20,29 20,194 0,129
Выводы. При надуве оболочки внутреннее давление повышается до определенного предела, а затем понижается.
Каждой нагрузке д соответствует два расширения и .
Напряжения ст1 и ст^ различаются несущественно. Самая большая разность между ними по широтной линии ф = -л /2, составляет 4 %.
Библиографические ссылки
1. Авдонин А. С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. М.: Машино-строение.1969. 402 с.
2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М. : Наука. 1974. 560 с.
3 Кан С. Н. Строительная механика оболочек. М. : Машиностроение, 1966. 508 с.
4. Балабух Л. И., Алфутов Н. А., Усюкин В. И. Строительная механика ракет. М. : Высш. шк., 1984. 391 с.
5. Шалашилин В. И., Горшков А. Г., Трошин В. Н. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : МАИ, 2000. 616 с.
References
1. Avdonin A. S. Prikladnye metody rascheta obolochek i tonkostennykh konstruktsiy [Applied methods of calculation of shells and thin-walled structures]. M. : Mashinostroenie, 1969. 402 p.
2. Feodos'ev V. I. Soprotivlenie materialov [Mechanics of materials]. M. : Nauka, 1974. 560 p.
3. Kan S. N. Stroitel'naya mekhanika obolochek [Structural mechanics of shells]. M. : Mashinostroenie, 1966. 508 p.
4. Balabukh L. I., Alfutov N. A., Usyukin V. I. Stroitel'naya mekhanika raket [Structural mechanics of rockets]. M. : Vyssh. shk., 1984. 391 p.
5. Shalashilin V. I., Gorshkov A. G., Troshin V. N. Soprotivlenie materialov [Mechanics of materials] : Ucheb. posobie. M. : MAI, 2000. 616 p.
© Сабиров Р. А., 2017
