CC BY
30УДК 539.3
ДЕФОРМИРОВАНИЕ КРОВЕНОСНОГО СОСУДА КАК ТОНКОСТЕННОГО СОСУДА ДАВЛЕНИЯ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: rashidsab@mail.ru
В условиях невесомости у космонавтов происходит значительное увеличение скорости наполнения вен, увеличение их емкости и растяжимости, что приводит к явлению ортостатической неустойчивости при возвращении на Землю. Рассматривается расчет кровеносного сосуда, уравнения равновесия для которого получены по деформированной схеме. Нелинейная задача деформирования показывает, что одному и тому же давлению соответствуют два значения расширения. Это негативно влияет на смежные более тонкие сосуды, имеющие меньшее внутреннее давление при гемодинамике.
Ключевые слова: сосуды давления, напряжения, деформации, гемодинамика.
THE DEFORMATION OF A BLOOD VESSEL AS A THIN-WALLED PRESSURE VESSEL
R. A. Sabirov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: rashidsab@mail.ru
In weightlessness the astronauts experience a significant increase in the filling rate of the veins, increase of their capacity and elasticity, that results in the phenomenon of orthostatic instability when returning to Earth. The article discusses the calculation of a blood vessel, the equilibrium equation is obtained based on the deformed scheme. Nonlinear problem of deformation shows that the same pressure corresponds to two values of the extension. This phenomenon has a negative impact on the adjacent thinner vessels, which have less internal pressure when blood flows.
Keywords: pressure vessels, stress, strain, hemodynamics.
Введение. Деформирование сосудов человека при перегрузках, изучают в космической медицине. Исследования вен в реальных космических полетах, выполненные с помощью современной аппаратуры позволили установить, что с первых дней пребывания в невесомости выявлено значительное расширение вен [1], увеличение их емкости и растяжимости. В земных условиях движение (гемодинамика) крови по сосудам, возникающее вследствие разности гидростатического давления таково, что в венах стопы при ходьбе давление равно 15-30 мм рт. ст., а у стоящего человека - 90 мм рт. ст. [2]. Поэтому, проблему деформирования кровеносного сосуда и системы сосудов человека в условиях космического пространства и на Земле, можно назвать актуальной. В литературе по медицинской физике, например, [3], показано в кровеносных сосудах вычислять окружное напряжение сть с помощью уравнения
WL - Ч0R02/ Et0
(2)
- q Ro 1 to
(1)
где q0 - давление, Я0 - радиус сосуда; t0 - толщина сосуда. Добавим к (1), закон Гука и закон, связывающий деформацию периметра сосуда с расширением , обозначающим величину, на которую увеличится его радиус
где Е - модуль Юнга.
Однако уравнения (1) и (2) справедливы при малых относительных деформациях и расширениях, и не отражают изменение давления и уменьшения толщины стенки сосуда. Отсюда следует задача исследования деформирования сосуда, когда его расширение существенно превышает начальный радиус и изменяется толщина стенки.
Постановка задачи. Рассмотрим модель деформирования сосуда по деформированной схеме. Для этого составим уравнение равновесия деформированного сосуда (рис. 1).
На рис. 1, а покажем начальный сосуд, имеющий радиус срединного слоя Я0. После приложения внутреннего давления q, радиус увеличивается и становится равным Я0 + V (рис. 1, б). Уравнение равновесия (1) в полярной системе координат будет иметь вид
ст,
- q (R0 + w) 11.
(3)
Здесь ст, - окружное напряжение; t - толщина деформированного сосуда.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Рис. 1. Поперечное сечение тонкостенного сосуда: а - начальное сечение сосуда; б - деформированный вид сечения
Положим упругое деформирование материала сосуда в рамках закона Гука [4]:
% = Е8Ф . (4)
Здесь еф и стф - относительная окружная деформация и меридиональное напряжение.
Составим геометрическое уравнение. Длина окружности срединного слоя недеформированного сосуда равна 10 = 2пЯ0, а длина срединного слоя деформированного равна 11 = 2л(Я0 + w). Тогда деформация равна
бф= ^ / Л0. (5)
Подстановка в уравнение равновесия (3) закона Гука (4) совместно с (5), дает
w/(Я0 + w) = дЯШ0. (6)
В уравнение равновесия (6) подставим толщину t, которую вычислим из условия неизменности объема материала сосуда. Начальная площадь поперечного
сечения £0 =п(К0 + ^ /2)2 -%(Я0 -10 /2)2 = 2%К^0; изменяющаяся площадь поперечного сечения равна £ = л(Я0 + w +1 /2)2-л(Я0 + w -1 /2)2 = 2л(Я0 + w)t.
Приравняв £0 = £, получаем формулу вычисления толщины
t = Кй+ w) . (7)
Подстановка (7) в (6) даёт нелинейное уравнение для вычисления расширения
w / (Я, + w)2 = д / Е^w / (Я0 + w)2 = д / Е^ . (8)
Расчет. Радиус вены R = 3 мм. Модуль Юнга
E = 8 -104 Па. Начальная толщина вены равна t0 = 1 мм. Вычисления выполним с помощью программы Maple [5]. Результаты расчета вены представим на рис. 2. На рис. 2, а, на графике вычисления корней уравнения (8), при давлении q = q0 = 40 мм рт. ст. наблюдаем два решения: wl = 0,001 м и w2 = 0,008 м. На рис. 2, б представлен график зависимости давления q в зависимости от смещения w . При w = 3 мм внутреннее давление достигает максимального значения q = 6666,67 Па, а затем снижается. Напряжение в расчетах не превышало предела прочности вены, равного 1 МПа.
Выводы. При расчете вены по деформированной схеме, расширения отличаются от расширений линейной схемы деформирования. Например, при q0 = 10 мм рт. ст. различие составляет 10 %, а при q0 = 50 мм рт. ст. различие значительнее - 126 %. В нелинейной задаче одному и тому же давлению отвечают два разных расширения, что может приводить к увеличению давления в более тонких венах в системе сообщающихся сосудов.
Библиографические ссылки
1. Фомина Г. А. Изменения сердечно-сосудистой системы человека в невесомости [Электронный ресурс] // XVI Конференция по космической биологии и медицине с международным участием (5-8 декабря
2016, г. Москва). М., 2016. С. 245-247. URL: spacemedicine-2016.com.
2. Гемодинамика [Электронный ресурс]. URL: ru.wikipedia.org>.
3. Медицинская физика : учебник / авт.-сост. : В. А. Федоров, А. В. Яковлев, С. В. Васильева ; Министерство обр. и науки РФ ; ФГБОУ ВПО. 2012. 122 с.
4. Шалашилин В. И., Горшков А. Г., Трошин В. Н. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : МАИ, 2000. 616 с.
5. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб. : БХВ-Петербург, 2001. 528 с.
References
1. Fomina G. A. Izmenenija serdechno-sosudistoj sis-temy cheloveka v nevesomosti [Changes of cardiovascular
system in weightlessness]. [Jelektronnyj resurs]. Konfer-encija po kosmicheskoj biologii i medicine s mezhdu-narodnym uchastiem. (Moscov, 5-8 dekabrja 2016 goda). М., 2016. P. 245-247. URL: spacemedicine-2016.com.
2. Gemodinamika [Jelektronnyj resurs]. URL: ru.wikipedia.org>.
3. Medicinskaja fizika [Medical physics]: uchebnik / avt.-sost. : V. A. Fedorov, A. V. Jakovlev, S. V. Vasil'eva ; Ministerstvo obr. i nauki RF ; FGBOU VPO, 2012. 122 p.
4. Shalashilin V. I., Gorshkov A. G., Troshin V. N. Soprotivlenie materialov [Mechanics of materials] : Ucheb.posobie. M. : MAI, 2000. 616 p.
5. Matrosov A. V. Maple 6. Reshenie zadach vysshej matematiki i mehaniki [Solution of tasks of higher mathematics and mechanics]. SPb. : BHV-Peterburg, 2001. 528. p.
© Сабиров Р. А., 2017
