CC BY
18
УДК 517.934
© И.Н. Баранова
ibaranova@udm.ru
К ПРИМЕРУ Л.С. ПОНТРЯГИНА 1
Ключевые слова: дифференциальная игра, преследователь, убегающий.
Abstract. The paper gives a sufficient condition of capture by group of the same inertial objects of one escaping, in linear differential game, provided that one of roots of the characteristic equation is positive.
Введение
В 1976 году Б.Н. Пшеничным [1] были получены необходимые и достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в задаче простого преследования с равными возможностями всех участников. Естественным обобщением данной задачи является пример Л.С. Понтрягина [2].
В случае, если все корни характеристического уравнения имеют неположительные вещественные части задача рассматривалась в работе [3], если корни чисто мнимые, — в статье [4].
В данной работе рассматривается пример Л.С. Понтрягина со многими участниками при условии, что среди корней характеристического уравнения есть положительный. Получены достаточные условия поимки.
1 Работа выполнена при поддержке программы гУнпверсптеты Рос-спп6(грант 34126).
1. Постановка задачи
В пространстве Кк рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей р,..., Рп и убегающий Е .
Движение каждого из преследователей Р, описывается уравнением
+ а— х}1~^ н-Ь а2Х} + а\Хг + ЩХ} = Щ, ||и,|| ^ 1. (1.1)
Е
у^ + а1—у^-1^ + ■ ■ ■ + а2у + а\у + аоу = V, |^|| ^ 1. (1.2)
Здесь хг, у, и}, V € Кк, ао,..., а1— € К1 .При Ь = О заданы на-
чальные позиции преследователей
Хг(0) = Х°, Х}(0) = х], . . . ,Х?-)(0) = х}-1 и убегающего
у(0) = уо, у(0) =уъ---,у(1-1)(0) = уг-1,
причём х] ф у о для всех г.
Пусть г} = х] - у0, г} = х} - ух,..., г}-1 = х}-1 - уг—.
Определение 1.1. Будем говорить, что в игре Г происходит поимка, если существуют Т > 0, функции и,(Ь) = и}(Ь,г},...,г}— ■)) такие, что ||и}(Ь)|| ^ 1, и для любой из-
меримой функции V ( |^(Ь) | ^ 1 для всех Ь) найдутся момент т € [О, Т и номер д такие, что
Хд(т) = у(т).
Здесь vt(■) = М«),5 € [0,Ь]} .
2. Решение задачи
В системах (1.1), (1.2) сделаем замену гг = Х г - у.
Получим систему
г}1 + а— Н--------Ь ^гг + а^ + а0гг = иг - V. (2.1)
г(0) = 4, ..., = 4-1.
Обозначим через фч{Ь), д = ОД,... , I - 1 решения уравнения
+ аШг-1) + ■ ■ ■ + агш = О с начальными условиями
ш(0) = 0,..., Ш(1— (0) = 0, Ш^ (0) = 1,
Ш *+1)(о) = о,...,Ш 1-1)(о) = о.
Предположение 2.1. Уравнение Л1 + ах А1 -Ь ■ ■ ■ -Ь аг = 0
имеет корень с положительной вещественной частью.
Предположение 2.2. Для всех Ь > 0 справедливо неравенство (Ь) ^ 0.
Из предположения 2.2 следует, что среди корней с максимальной вещественной частью существует вещественный корень, который будем обозначать Л5, а его кратность к3.
Пусть 7 = к3 - 1, ^г(О) = {г|||г|| ^ 1}. Определим функцию Л : ^1(0) ^ К1 вида
АС, V) = эир{Л|Л ^ 0, -Л£ € ^г(О) - V},
где С фиксированный ненулевой вектор Кк. Пусть далее
$ = ф0(Ь)4 + ^(Ь)г}1 + ■ ■ ■ + ф— (Ь)4-1,
Сг{ Ь) = е-Хв ь Ь)/(Ь + 1 )7.
Лемма 2.1. Существует а > 0 такое, что
t
1
о
Доказательство леммы проводится непосредственным интегрированием.
Лемма 2.2. Пусть вектор-функции пг '■ [0, ж) ^ Rk,
i = 1,... ,n таковы, что Пг{t) ф 0 для всех t ^ О, i и
n
5 = inf min max A(f]i(t),v) > t ||v||<i г а
Тогда существует момент Tq такой, что для любой измеримой функции v : [О, Ж ^ ^i(O) найдется номер j, что jTq) ^ О. Здесь
Доказательство. Функции hi непрерывны,
t
h^t) = 1 - e-Xst
1
о
hi(0) = 1
и
J2hd t)
n
ST' -\at [
U J (t + w
г
Hnd t),v(r))dr
t
1
о
t),v(r))dr <
так как J2 Hndt),v(r)) ^ max А(пг(t),v(r)) ^ 5 > 0 для всех
гг
v, т.
При t ^ ж
t
J (t+lP
О
Следовательно,
t
п — 5 [ e~Xst^^^——dr —> n — 5a < 0
J (t+lp
о
в силу условия. Поэтому существует То такой, что hj(То) ^ О j.
Пусть далее
Т0 = min J t ^ 0 : inf max [ ^ Aj(&(t), v(r))dr ^ 1 > .
I vt(о г У (t+l)7 I
В силу леммы 2 Т < ж.
Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения . , .
n
inf min max A(£i(t),v) > —■
t ||v| г а
Тогда в игре Г происходит поимка.
Доказательство. Пусть v(t),t € [О ,Т0) - произвольное допустимое управление убегающего E, t\ наименьший
h
t
h(t) = 1-max J A(6(T0), v(r))dT.
о
Зададим управление преследователей Р^ следующим образом:
щ(г) = у(г) - АД&(т0),у(г))&(т0), г е [о,т0].
Считаем, что АДТо),^(г)) =0 при г е [г^То]. Подставляя щ в систему (2.1), получим
е-Л-То^(То) _р(т,_ Г <Р1-1(Т0-т) , , _
(^ _|_ 1)7 — Чг(^о) J (2д + 1)7 ^г(^г(^о)^\т))я,гЦо)йТ —
О
= &№,) ^1 - I ^^ШШМг))^ =
= ип) ^1 - / + т)хШП),у(т))(1т^ .
Из леммы 2 следует, что гг(То) = 0 при некотором г. Теорема доказана.
Пример 2.1. Пусть к = 2, п = 3, система (2.1) имеет вид (Ъ > 0)
43} - ЪХг = 0.
Тогда 1ро(Ъ) = 1) <£!(£) = £, <£>2^) = К = Ь, к3 = 1.
&(г) = е ы (ЫФ& + = {г)х°л + <рЖ)г%) =
— ^°2 ++р~ы (70 4 А -и ( о 4*2
-"р" + ге \ Л “ 1Г / I "Р"
/•С ^
а = Нт <х>2 & — т)е~Ы(1т =
Ъ3.
Утверждение 2.1. Пусть Ъ = (0, |) ,
* = (0,
~0 40
уО _ 42 уО _ £г2 ^1 ^ ’ ^гО ^2 '
Тогда в игре Г происходит поимка.
х{)
Доказательство. В нашем случае £*(£) =
5 = Ишш тах А(^( Ь),ь) = Ъ2,
г V г
и поэтому выполнено условие теоремы 5 >
Ъ > ,
*=<о,1), 4=(£4). *&=(-#4).
~0 40
у0 _ £г2 „О _ 42 41 £ ’ 40 у2 •
Тогда в игре Г происходит, уклонение от встречи.
Доказательство. Зададим управление убегающего следующим образом: у(г) =0, г е [0, го). Тогда
С
Ъ2в~ыг2(г) = 4*2 + е~ы I <р2(г - т)щ(т)йт.
о
Поэтому
\\Ъ2е~ыгг{г) II ^ ||4 II - Ъ2в~ы I ^{Ь - т)йт =
0
С
= 1- Ъ2в~ы ! ^2{Ь - т)йт. (2.2)
С
Пусть
f(t) = b2e-bt J <p2(t — r)dr =
= be
2„-bt
dr =
1 — e bt bt2e bt bt
---:---------------=-------te~bt.
t
b t e bt
m = 0, lim f(t) = f'{t) = > 0
t—b 2
для всех t > 0. Следовательно f - монотонно возрастающая
функция. Отсюда 0 ^ f(t) < \ < 1 (т.к. b > 1) для всех t ^ 0.
Из последнего неравенства и (2.2) следует, что
||b2e -btzi(t) || > 0 для всех t > 0 и всех г = 1,2,3. Значит
Zi(t) ф 0, что и доказывает утверждение.
Список литературы
1. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. Г'З. С. 145-146.
2. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. М.:Наука, Т.2. 1988.
3. Петров Н. Н. Теория игр. Ижевск. Изд-во Удм. ун-та, 1997.
4. Благодатских А. И. Об одном колебательном конфликтно управляемом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. 1^2. С. 43-45.
