Пример Понтрягина со многими участниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 1

А. И. Благодатских

ПРИМЕР ПОНТРЯГИНА СО МНОГИМИ УЧАСТНИКАМИ *'

1. Введение. В 1976 г. Б. Н. Пшеничным [1] были получены необходимые и достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в задаче простого преследования с равными возможностями игроков. Естественным обобщением данной задачи является пример JI. С. Понтрягина со многими участниками [2].

В данной статье получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего при равных динамических и инерционных возможностях игроков и чисто мнимых корнях характеристического уравнения. Работа относится к исследованиям [3-16].

2. Постановка задачи. В пространстве Д" (;/ ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п +1 лиц: п преследователей , Л,..., Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением

х{Р + + а2ж''~2) -I-----1- щх{ = щ, щ (Е V, (2.1)

закон движения убегающего Е имеет вид

у^+a1yil~1)+a2yV-2)+ --- + aiy = v, v € V, (2.2)

где Xi,y,Ui, v € R"\ a\,a2, ■ ■ • e J?1; F- строго выпуклый компакт Rv такой, что IntV ф 0. При t = 0 заданы начальные условия ж'9'(0) = X'', = Y4, причем

Х° ф У0 для всех г. Здесь и далее г £ / = {1,2,..., n}, q — 0,1,..., I - 1, Z0 = {XI, Y4).

Вместо (2.1), (2.2) рассмотрим уравнение

С) I С-1) I С~2) Ii /п

z\ + a\z\ + a2z\ '+■■■+aiZi = Ui - v (2.3)

с начальными условиями z\ {0) = Z= Xf — Yq.

Определение 2.1. Управления Ui(t),v(t) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (2.1), (2.2), называются допустимыми.

Определение 2.2. В игре Г возможна поимка, если существует такой момент то = To(Zq), что для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления

Ui(t) = Ui(t, Z0, v(s), 0 ^ s ^ t)

такие, что для некоторых т 6 [0,То], а £ I выполнено га(т) = 0.

3. Решение задачи. Через (pq обозначим решение уравнения с начальными условиями

oj{1) + axuj(l~l) + a2oj{l~2) + ■ ■ ■ + щи = 0, w(0) = 0,... ,ш(«_1)(0) = 0, си(9>(0) = 1, w(9+1)(0) = 0,... ,ш('_1)(0) = 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00258), Федерального агентства по образованию (проект № А04-2.8-60), программой «Университеты России» (проект № 34126).

© А. И. Благодатских, 2007

Предположение 3.1. Все корни характеристического уравнения

Л' +aiA,~1 +а2Х1"2 + ■ •• + щ = 0 (3.1)

являются чисто мнимыми.

Обозначим корни уравнения (3.1) через

±biL,±b2L,...,±bpL (0 < bi < bo < ■ ■ ■ < bp),

а их кратности соответственно

71.72, - •• ,7Р (7i + 72 + •• • + 7Р = Ч2) " 7 = тах{71,72,... ,jp} - 1. Пусть далее

m = <po(t)z° + (t)zi + • • ■ + (t)z'-1.

Так как каждая из функций tp4 имеет вид

ipq(t) = fa40(t) + î7_1ct9i (t) + ■ ■ ■ + aql(t),

p

Vqrit) = У^ (Cqrk COS m + sqrk smbkt), Cqrk,Sqrk Ей1, r = 0,1,... ,7, k= 1

то все функции ^ представимы следующим образом:

ш = i7Ej0(t) + i7-1Sii(i) + • • • + Si7(0,

здесь

p

%ir(t) = ^ {Cirk COS M + Sirfc Sill M) , Cirk,Sirk GR", r = 0,1,..., 7. fc=i

Считаем, что ф 0 для всех i,t > 0, ибо если £а(т) = 0 при некоторых а€/,т>0, то преследователь Ра ловит убегающего Е к моменту т, полагая ua(t) = v(t), t G [0, г]. Предположение 3.2. сг/_ю (i) ^ 0. Определим функцию

t

Щ = (^Тф / Iw-ii*

о

Лемма 3.1. Пусть выполнены, предположения 3.1, 3.2. Тогда

lim R{t) = 00.

î—> 00

Доказательство. Если 7 = 0, то

t

lim R(t) = lim / |сг;_ю(i - s)|c?s = 00,

t—>00 ¿—юо J

0

так как функция сг;_ю является почти периодической.

Пусть 7^1, тогда

t

т = (ТТф _ ~ s)|ds > W ~

о fc=0

t t 7 = ItTvr /= I¿(i-S)7-fc

n n

ai-ik(t-s)

ds.

Теперь покажем, что

lim i?i(i) = oo, lim Д2(<) ^ M/7

t—►00 t—>00 ,

для некоторого положительного M, и тем самым лемма будет доказана. Действительно,

t/2 t/2 lim R^t) ^ lim 1 [(t-sy\ai-10{t-s)\ds > lim [ |<r,_10(i-s)|ds = 00,

t->00 t-юо (t + ljT У t-»oo\ i + 1 / У

0 0

а так как все функции ег(_и ограничены, то существует такое положительное число М, что

„ / ч , М f^, ^ к , ,. М sr^tk М

im R2(t) ^ m 7-— / > (i - s)y~kds = lim 7-— > — = —.

¿-►со w Ni-.oo (t+ 1)т J ' t-»oo (< -(- 1)т A; 7

Лемма доказана.

Обозначим через Hi кривые

Hi = {Ejo(i), te[0,00)}.

Условие 3.1. Существуют h° £ Я; такие, что

О £ Intco{/i°}.

Условие 3.2. Для любых hi £ Э(/г°,е) = {d £ Л" : - d|| ^ е}

О £ Intco{/i;}.

Условие 3.3. Для всех t ^ 1 найдется т; £ [i, t + Т(е)) такое, что

Ti

Лемма 3.2. Пусть выполнены предположения 3.1, 3.2 и условие 3.1. Тогда для некоторых е > 0 и Т{г) > 0 выполнены условия 3.2 и 3.3.

Доказательство. Множество со{/г°} является выпуклым многогранником с вершинами в точках h°k, к € К С I. Из условия 3.1 следует, что 0 £ Intco{/i°}.

Множество Intcoj/i^} открыто, следовательно, найдется е > 0 такое, что для любых hk е D{h°k,e) справедливо 0 6 Intco{/ifc}. Так как Iritco{/ifc} С Intco{/i;}, то получаем справедливость условия 3.2.

Так как функции £¿0 являются почти периодическими и выполнено условие 3.1, то для произвольного е > 0 найдется число Т\ (с) > 0 такое, что для каждого t ^ 1 при некотором т, € [t,t + Т] (е)) будем иметь

Sio(ri) € 3>(Л?,е/3).

Из равенства limt->oo l|£~7£t(i) ~ Si0(i)|| = 0 следует, что существует число Г2(е) > О такое, что для всех t ^ Т2(е)

- Si0(i)|K е/3.

Взяв Т(е) = Xi(e) + ГДе), получаем справедливость условия 3.3. Лемма доказана.

Далее считаем, что е > 0 и Т(е) > 0 выбраны из условий 3.2 и 3.3. Определим функции ф, A, Q и множество £>

%b(t) = { если ^ о,

[ —1, в противном случае,

А(и, ф, h) = sup {А : А ^ 0, (v - АфН) е V} , t

0

d= (huh2,...,hn), X> = S(ft°,e) X 3>(Л§,е) x •■■ x D(h°n,e).

Лемма 3.3. Пусть выполнены предположения 3.1, 3.2 и условие 3.1. Тогда существует момент Т такой, что для каждых допустимого управления v(t) и d € D найдется номер а £ I, т. е. что выполнено Q{T,ha) ^ 1.

Доказательство. Из условий леммы следует, что выполнено условие 3.2. Поэтому для произвольного d G Ю

<5±i (d) = min max A(v, ±1, hi) > 0.

«ev iei

В силу леммы 1.3.13 [3, с. 30], функция А непрерывна на каждом из множеств Fx {±1} xQ(h°,e),

откуда

lim <5±i(ef) = lim min max X(v, ±1, h*A == min max X(v, ±1, hi) = ô+i(d). d'-^d d-^dvev iei vev iei ' v '

Следовательно, и функции являются непрерывными. Так как D компакт, то

<5 = min min min max A(u, ф, hA = min{<5+1 (d), <5_i (d)} > 0. d€Dve{i,-i}w€V iei v ' des1 v "

Далее,

t

max Q(t. 1ц) = max J {t - s)|A(u(s), ф(г - s), h{)ds ^

о

t t 1 f S f s

ïj^^jWi-J \<Pi-i(t-s)\ds = -R(t).

0 lEl 0

Таким образом, в силу леммы 3.1, для момента Т, ^Д(Т) ^ 1, и некоторого a G I выполнено Q(T,ha) Jï 1. Лемма доказана. Пусть

Тх = Ti(Zo) = mini« ^ 1 : inf min max Q(t, hi) ^ 1}.

V( )ii6B ¡g/

В силу леммы 3.3, X\ < ос.

Теорема 3.1. Пусть выполнены предположения 3.1, 3.2 и условие 3.1. Тогда в игре Г возмоэюна поимка.

Доказательство. По формуле Коши для всех t ^ О

t

Zi(t) = ti(t) + J <pi-i(t - 8)(ui(s)-v(s))ds. (3.2)

0

Пусть v(t), 0 ^ t ^ То = Ti + T(e) - произвольное допустимое управление убегающего Е и ¿1 - наименьший положительный корень функции

t

F(t) = 1 — max Др f I(fi-i{Ti - s)\\(v{s),ip(Ti - s),

Tj J ^ Ti /

о

где Ti 6 [ТЬТ0) выбраны так, чтобы выполнялось условие 3.3. Отметим, что ti ^ rit так как

Ti

max — [ \(pi-i(Ti - s)\\(v(s),ijj(Ti - s), ^^)ds ^ maxQ(n, ^ 1.

i&i t■ J \ Tî ' tel T'

о

Задаем управление преследователей Pi следующим образом:

Ui(t) = v{t) - A(v(t),1>{Ti - t), Щ)ф(п - t € [О, Т0].

Тг

Считаем, что A(v(t),'i/j(Ti - £),т~7&(тг)) = 0,i 6 [fi,T0]. Тогда, в силу (3.2) и выбора получаем

ti

Zi(n) = Çi(Ti)( 1 - Ду J l^i-iin - s)\\(v(s)^(Ti -

г о 1

Из определения t\ следует, что для некоторого a G I выражение в скобках обращается в нуль, поэтому га(та) = 0. Теорема доказана.

П р и м е р 3.1. В Л" рассмотрим дифференциальную игру Г n + 1 лиц: п преследователей Р\, Р'2,..., Рп и убегающего Е. Уравнение (2.3) имеет вид

г)4' + 2 '¿i + Zi = щ — v.

Корни характеристического уравнения

Л4 + 2А2 + 1 = 0

равны ±с, а их кратности 2 (7 = 1) и предположение 3.1 выполнено. Далее,

1 13

ip0(t) = —t sin í + COSÍ, <Pl(í) = --ícosí + — siní,

Zi ¿j ¿t

1 11 1

^(í) = -jt siní, ip3(t) = --ícosí + -siní, <73o(í) = --cosí ^ 0,

Ш = + cosí + ¿(^ + Zi) sini)+Z? cosí + + Zf) siní.

Следовательно, предположение 3.2 выполнено и

S«o(í) = + Zf) cosí + i(Z? + Z?) sin í.

Учитывая, что

получаем справедливость следующих утверждений.

Утверждение 3.1. Пусть 0 € 1Щсо^° + Z2}. Тогда в игре Г возможна поимка.

Утверждение 3.2. Пусть 0 е + г] + Z? + 2г3}. Тогда в игре Г

возможна поимка.

Утверждение 3.3. Пусть 0 6 lntco{Z¡ + Е?}. Тогда в игре Г возможна поимка.

Условие 3.4. Начальные позиции участников таковы, что

0 € Мсо{2г0}.

Для случая простых чисто мнимых корней уравнения (3.1) доказаны [16] два следствия теоремы 3.1.

С лед ств не 3,1. Пусть выполнены предположение 3.1, условие 3.4 и 7 = 0. Тогда в игре Г возможна поимка.

Следствие 3.2. Пусть выполнено предположение 3.1, 7 = 0, п ^ 3, V = 2. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.

Следствие 3.2, построив другое управление, можно усилить, а именно, имеет место следующая

Теорема 3.2. Пусть выполнено предположение 3.1, 7 = 0, п ^ 2, V = 2. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.

Пример 3.2. В В? рассмотрим дифференциальную игру Гп+1 лиц: п преследователей Р\, Р2, ■ ■ ■, Рп и убегающего Е. Уравнение (2.3) имеет вид

2г(6) + 14ггН) + 492; + 36 2; = Щ-У. Корни характеристического уравнения

А6 + 14А4 + 49А2 + 36 = 0

раины ±а, ±2¿, ±3t, а их кратности 1 (7 = 0) и предположение 3.1 выполнено. Утверждение 3.4. Пусть 0 £ Intco{Zf}. Тогда в игре. Г возможна поимка. Утверждение 3.5. Пусть п ^ 2, и = 2. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.

Пример 3.3. В В.3 рассмотрим дифференциальную игру Г 6 лиц: 5 преследователей Pi,..., Р5 и убегающего Е. Уравнение (2.3) и начальные условия имеют вид

Zi+Zi=Ui-v, Z\ = Z°2 = Z% = (1,0,0), Z° = Z° = (0,0,1), Z\ = (0,1,0), i = 1,2,3,4,5.

Корни характеристического уравнения

A2 + 1 = 0

равны ±i, а их кратности 1 (7 = 0) и предположение 3.1 выполнено. Отметим, что здесь условие 3.4 не выполнено. Далее,

ipo(t) = cost,, ipi(t) = sint, (Tio(f) = sini ^ 0, £i(t) = zfcosi + Z\ sini = T,i0(t),

следовательно, предположение 3.2 выполнено и Hi = //2 = Нз - это окружности радиуса 1 с центром в начале координат, расположенные в плоскости первой и второй координаты, Hi = - это окружности радиуса 1 с центром в начале координат, расположенные в плоскости второй и третьей координаты. Выбирая

hi = (1,0,0), ^М-^'-Т'0)' = Л» = (0,0,-1),

получаем, что условие 3.1 выполнено. Из теоремы 3.1 следует Утверждение 3.6. В игре Г возможна поимка.

Summary

Blagodatskikh A. I. Pontriagin's problem with many players.

Pontriagin's problem about prosecution by group of the persecutors one evader is considered. Литература

1. Пшеничный В. H. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.

2. Понтпрягин Л. С. Избр. науч. труды: В 3 т. М.: Наука, 1988. Т. 2. 576 с.

3. Чикрий A.A. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка, 1992. 384 с.

4. Иванов Р. П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком//Труды Матем. ин-та АН СССР. 1988. Т. 185. С. 74-83.

5. Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 192 с.

6. Петров H. Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртск. ун-та, 1997. 197 с.

7. Вагин Д. А., Петров H. Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих// Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75-79.

8. Петров H. Н., Петров Н. Никандр. О дифференциальной игре «казаки - разбойники»// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1366-1374.

9. Петров Н. П., Прокопенко В. А. Об одной задаче преследования группы убегающих// Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 725-726.

10. Прокопович П. В., Чикрий А. А. Линейная задача убегания при взаимодействии групп объектов// Прикл. математикам механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 12-21.

11. Чикрий А. А., Прокопович П. В. О задаче убегания при взаимодействии групп движущихся объектов// Кибернетика. 1989. № 5. С. 59-63.

12. Сатимов #., Маматов М. Ш. О задаче преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих // Докл. АН УзбССР. 1983. № 4. С. 3-6.

13. Петров Н. Н. Простое преследование жесткосоединенных убегающих// Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 89-95.

14. Иванов Р. П. Простое преследование - убегание на компакте// Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 6. С. 1318-1321.

15. Благодатских А. И. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы инерционных объектов// Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2004. № 6. С. 142-148.

16. Благодатских А. И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Изв. Ин-та математики и информатики Удмуртского гос. ун-та. 2005. № 2. С. 3-22.

Статья представлена к публикации членом редколлегии С. В. Чистяковым.

Статья принята к печати 18 октября 2005 г.