Групповое преследование убегающего в примере Понтрягина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© А.И. Влагодатских

[email protected]

ГРУППОВОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ УБЕГАЮЩЕГО В ПРИМЕРЕ ПОНТРЯГИНА1

Ключевые слова: групповое преследование, поимка, убегание, пример Понтрягина, конфликтно управляемый процесс.

Abstract. Sufficient conditions of catching were derived in one problem of group pursuit.

Введение

В данной работе рассматривается обобщенный пример Понтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков. В предположении, что корни характеристического уравнения являются чисто мнимыми, в терминах начальных позиций получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего.

Работа примыкает к исследованиям [1-3].

1. Постановка задачи

В пространстве Rv (v ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г n + 1 лиц: n преследователей P, P,... ,Pn и убегающий E. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением

xf^ + aixf_1) + a2xf_2) + ■ ■ ■ + azxi = ui, ui Є V, (1.1)

1 Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию (грант А04-2.8Н30) и программы ’’Университеты России” (грант 34126).

закон движения убегающего Е имеет вид

У^ + агУ 1~^ + агУ1-2^ + ■ ■ ■ + щу = V, V € V, (1.2)

где XI,у,41,V € К", а!,а2,...,аг € Е, V - строго выпуклый компакт Еи такой, что 1таЬУ ф 0. При Ь = О заданы начальные условия

Х^(0) = X?, У?}(0) = У?, причем х®ф У0 для всех г. Здесь и далее

г € 1 = и,2,...,п}, 9 = 0,1,...,/- 1, ^0 = (Х?,У?). Вместо уравнений (1.1), (1.2) рассмотрим уравнение

+ а^1-1^ + а2г|1_2^ Н---Ь щгг = щ — V (1.3)

с начальными условиями г|?^(0) = Z? = X? — У?.

Определение 1.1. Управления щ{ Ь)^(Ь) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям (1.1), (1.2), называются допустимыми.

Определение 1.2. В игре Г возможна поимка, если существует момент То = То(^о) такой, что для любого допустимого управления -у(Ь) найдутся допустимые управления

щ(Ь) = щ(Ь, ^о, v(s), 0 ^ 8 ^ Ь)

такие, что для некоторых т € [0, То], а € I выполнено га(т) = 0.

2. Решение задачи

Через <р? обозначим решение уравнения

г_1) + а2Ш 1~2^ + ■ ■ ■ + агш = 0 с начальными условиями

ш(0) = 0,...,ш( ?-1)(о) = о,

ш?} (0) = 1, ш?+1) (0) = О,..., ш1_1) (0) = 0.

Предположение 2.1. Корни характеристического уравнения

X1 + а\Х1-1 + а2Х1— + ■ ■ ■ + а1 = О (2.1)

являются чисто мнимыми.

Обозначим корни уравнения (2.1) через

±Ъ\1, ±Ъ21,..., ±bpi (Q < Ъ\ < Ъ2 < ■ ■ ■ < bp), а их кратности соответственно

- ,Yp (Yi + Y2 Н-Н Yp = 1/2) и j = max{Yi, , jp} - 1-

Пусть, далее,

£i{ t) = p(t)Zf + ipi{t)Zl + ■ ■ ■ + p— (t)Zl~l, и так как каждая из функций pq имеет вид

Pq(t) = tYO-qO (t) + tY—aql (t) -\-h Oq^it) , ГД6

p

°qr{ ^) — ^ ' (CqrkCO S bkt "b sqrk sill Ък j cqrk, sqrk G R , k=l

то все функции £i представимы в виде

£i(t) = t^io(t) + tY~lHa(t^--------1- Si^t), где

p

SiH^) — ^ ^ (Cirk $Ъкt ""b Sirk sin Ък^ j Cirkj Sirk G R j k

здесь r = 0,1,... ,j.

Считаем, что t) ф 0 для всех i,t > 0, ибо если

£а(т) = 0 при некоторых a G /, т > 0, то преследователь Ра

ловит убегающего E к моменту т, полагая ua(t)=v(t), t G [0, т].

Предположение 2.2. 01_ю (Ь) ф 0.

Определим функцию

£

т =

1

Лемма 2.1. Пусть выполнены предположения 2.1, 2.2. Тогда Нт Е(Ь) = ж.

Доказательство. Если 7 = 0, то

£

Нт Я(Ь) = Нт / |а7_ю(Ь — з)|йв = ж,

J

так как функция 07_ю является почти периодической.

Пусть 7 ^ 1, тогда

£ 7

= (£ + !)• / -в) с1,в^ Кг^) - К2(ь), где

£

К1V) = /<«- - в)|ж?,

йв.

Теперь докажем, что Нт Е(Ь) = ж, Нт ^(Ь) ^ М/7, для некоторого положительного М и, тем самым, лемма будет доказана.

Ит ^ Ит 1 [(Ь- ^)'у|сгг_1о(^ - в)|^ ^

£^<х (Ь + 1)' ,}

£^<х £^<х (Ь + 1

О

*/2

/*-*/2\7

^Ит С+Ц2у / - «)1<^ = °°-

\ ь + 1 у у

о

Далее, так как все функции (Г1_\к ограничены, то существует такое положительное число М, что |аг_1 к{Ь)| ^ М для всех Ь ^0 т к = 1,2,... ,7, поэтому

Пт п2(г) < Ит ——— - 8)7 к<1з =

к

М ^ Ьк М

= IIт -------— > — = —.

и + 1 )7 ^ к 7

к

Лемма доказана.

Обозначим через Иг кривые

Щ = {£го(Ь), Ь € [0, ж)}.

Условие 2.1. Существуют Н® € Иг такие, что

0 € 1гйсо{Л|}.

Условие 2.2. Для любых Нг € Э(Н®,е)

0 € 1гйсо{Нг}.

Условие 2.3. Для всех Ь ^1 найдется

Тг € [Ь,Ь + Т(е)), что

Щ^

Тг

. , .

и условие 2.1. Тогда для некоторых е > 0 и Т(е) > О выполнены условия 2.2 и 2.3.

Доказательство. Множество со{Н®} является выпуклым многогранником с вершинами в точках Нк, к € К С I. Из условия 2.1 следует, что 0 € 1гйсо{Нк}. Так как множество 1йсо{Нк } е>

что для любых Нк € Щ Нк ,е) 0 € 1гйсо{ Нк }.

Из последнего, учитывая, что

следует справедливость условия 2.2.

г

е>

Т\(е) > 0 такое, тоо для всех Ь ^ 1 существу ют тг € [Ь,Ь + Т1(е)), что

а значит, существует число Т2 (е) > 0 такое, что для всех

Т е Т е Т е ,

Лемма доказана.

е > Т е >

условий 2.2 и 2.3.

Определим функции ф, X,

{Нк} С {Нг},

£г0 (т) € ЩН® ,е/г).

Справедливо равенство

Шп уг 7&(г) — £м(г) у = о,

||г7&(г) — £г0(г)у < е/а.

1, если ^1_1 (г) ^ о —,

Х(у, ф, Н) = яир {^ X ^ О, (у — ХфН) € V} ,

о

Положим

d = {Н\,Н2,..., Нп), Э = Э(^1, е) х Э(Н2, е) х ■ ■ ■ х Э(НП,

. , .

и условие 2.1. Тогда существует момент Т такой, что для любого допустимого управления у(Ь) и произвольного d € Э наймется номер а € I, что ^Т,Н^ ^ 1.

Доказательство. Из условий леммы следует, что выполнено условие 2.2, поэтому, для произвольного d € Э,

В силу леммы 1.3.13 [3, с. 30] функция Л непрерывна на каждом из множеств V х {±1} х Э(Н®,е) , откуда

следовательно, и функции 5± являются непрерывными, учитывая еще, что множество Э компакт, получим

5 = тт тт тттах Л(ь, ф, Нг) = тт{5+1^), 5— } > 0.

5±1 ^^птах Л(у, ±1, Нг) > 0.

Нт 5±^*) = Нт тттах Л(у, ±1,Н*)

1*^(1 1*^(1 и&У %^1

= тттахЛ(г), ±1, Ы) = 5±

1еЭ ф€{1 ,-1} иеУ г£1

Далее,

тах Нг)

1

о

£

1

" (г +1 рп о

/5

\ipi-iit - «)|с^ = -Щ)-

Т,

из условия ^К{Т) )1 и некоторого а € I выполнено <^(Т,На) ^ 1. Лемма доказана.

Пусть

Т\ = Тх(^о) = тт{Ь ^ 1 : т£ тттах^(Ь, Нг) ^ 1}.

и( ■) 1еЭ г£1

В силу леммы 2.3 Т\ < ж.

Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения . , . . .

Доказательство. По формуле Коши для всех Ь ^ О

£

*г{*) = &(*) + ! ¥1-1 (Ь - э)Ы(«) - У(в))с1в.

о

Пусть -и(т), О ^ т ^ Т = Т + Т{е) - произвольное допустимое управление убегающего Е и - наименьший положительный корень функции

£

= 1 - тах Ду / |(^г_1(гг - - 8),

тг € Т , Т Отметим, ЧТО ^ т®, т.к.

тах — [ \ipi-iiTi - в)\\(у(8),-ф(тг - в),—— г&1 т/ У V тг )

о

Задаем управление преследователей Pi следующим образом:

Ui(t) = v(t) - A(v(t),ip(Ti - t), -t)^^-, t € [0,T0],

i i

где считаем, что A(v(t),^(т — t),r~Y^(п)) = 0 при t € [ti,To]. Тогда, с учетом формулы Коши,

Zi(n) = £i(Tj)(l - Xf J \(pi-i(n - s)\\(v(s),ip(Ti - s),

г о 1

В силу определения ti для некоторого а € I выражение в скобках обращается в ноль, поэтому za(ra) = 0.

Теорема доказана.

3. Пример

В Rv рассмотрим дифференциальную игру Г n + 1 лиц: n преследователей P\, Р2, ■ ■ ■, Pn и убегающего E . Уравнение (1.3) имеет вид

z^ + 2'Zi + Zi = Ui — v.

Корни характеристического уравнения

А4 + 2А2 + 1 = 0

равны ±1, а их кратности 2 (7 = 1) и предположение 2.1 выполнено. Далее,

1 13

<Ро(t) = -tsint + cost, ipi(t) = --tcost + -sint,

1 11 1 ¥2(t) =-tsint, lf3(t) = --tcost + -sint, (T3o(t) = --cost ф 0,

Ш = t(~(Zl +Zf)cost+ ^(Zf + Z?)sm?J +

+Zf cos t + l^(3Zl + Zf) sini.

Следовательно, предположение 2.2 выполнено и

£«(£) = + Zi) cost + 2^г° + S’mt' Учитывая, что

получаем справедливость следующих утверждений.

Утверждение 3.1. Пусть 0 € 1гйсо{^? + }.

Тогда в игре Г возможна поимка.

Утверждение 3.2. Пусть

О € Мсо{^° + 2\ + 2\ + ^}.

Тогда в игре Г возможна поимка.

Утверждение 3.3. Пусть 0 ^ Ыtco{Zl + }.

Тогда в игре Г возможна поимка.

* * *

1. Петров Н.Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1997. 197 с.

2. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные конфликтно управляемые процессы // Прикладная математика и механика. 1993. Т.57, вып.З. С. 3-14.

3. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук, думка. 1992,