К задаче группового преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.934

© А. И. Благодатских

aiblag@mail.ru

К ЗАДАЧЕ ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ1

Ключевые слова: дифференциальные игры, групповое преследование, поимка, убегание, конфликтно управляемый процесс.

Abstract. Sufficient conditions of catching were derived in two problems of group pursuit.

Введение

В работе рассматривается линейный нестационарный конфликтно управляемый процесс с равными динамическими и инерционными возможностями участников в предположении, что фундаментальная матрица системы является почти периодической и ее первая производная равномерно ограничена на [to, то). В первой части работы получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего при дискриминации последнего. Во второй части получены достаточные условия поимки заданного числа убегающих, при условии, что первоначально убегающие выбирают свои управления на [to, то), а каждый преследователь ловит не более одного убегающего.

Работа примыкает к исследованиям [1-5].

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект 06-01-00258).

§ 1. Групповое преследование одного убегающего

В пространстве Ки (V ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Р\, Р2,..., Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Рг описывается системой

Хг = А(Ь)хг + Пг, Щ € V, (1.1)

закон движения убегающего Е имеет вид

у = А(Ь)у + V, V € V. (1.2)

Здесь и далее хг, у, иг, V € Ки, г € I = {1, 2,... , п}, А(Ь) — непрерывная на [Ь0, то) квадратная матрица порядка V, V — строго выпуклый компакт Ки такой, что 1п^ = 0. При Ь = Ьо заданы начальные условия

хг(Ь0) = X0, у(Ь0) = У0, причем X0 = У0 для всех г. (1.3)

Вместо (1.1), (1.2), (1.3) рассмотрим систему с начальными условиями

2г = А{Ь)хг + иг - V, иг, V € V, 2^0) = ^0 = X0 - У0. (1.4)

Отметим, что Z0 = 0.

Определение 1.1. Управления иг(Ь),и(Ь) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (1.1), (1.2), называются допустимыми.

Определение 1.2. В игре Г возможна поимка, если существует момент Т0 = Т0 (^0), при котором для любого допустимого управления v(^) найдутся такие допустимые управления

иг(Ь) = иг(Ь, ^0, v(в), в € [0,Ь]),

что для некоторых т € [Ь0, Т0] и а € I выполнено 2а(т) = 0.

Пусть Ф — фундаментальная матрица системы

о = А(Ь)о

такая, что Ф(Ь0) совпадает с единичной матрицей.

Пр едположение1.1. Матрица Ф(Ь) является почти периодической в смысле Бора и ее первая производная равномерно ограничена на [Ь0, то).

Отметим, что предположение 1.1 выполнено, если матрица А(Ь) постоянна, а все ее собственные числа являются простыми и чисто мнимыми.

Условие 1.1. Начальные позиции участников таковы, что

0 € 1п1со{^0 }.

Построены допустимые управления преследователей, на которых доказана следующая

Теорема 1.1. Пусть выполнены предположение 1.1 и условие 1.1. Тогда в игре Г возможна поимка.

Пример 1.1. В пространстве Ки (V = 2р,р ^ 1) рассмотрим дифференциальную игру Г п + 1 лиц: п преследователей Р\, Р2,..., Рп и убегающего Е . Пусть система (1.4) имеет вид

2г = Ахг + иг — V, где А =

( 0 —а1 0 0 ■ •• 0 0

а1 0 0 0 ■ •• 0 0

0 0 0 —а2 ■ •• 0 0

0 0 а2 0 ■ •• 0 0

0 0 0 0 ■ •• 0 —ар

0 0 0 0 ■ ■ ар 0 )

ai, a2,..., ap — некоторые отличные от нуля и не совпадающие друг с другом по абсолютной величине числа. Корни характеристического уравнения

det(A — AI) = (Л2 + ai)(A2 + a2)... (Л2 + ap) = 0

равны ±aii, ±a2i,..., ±api и предположение 1.1 выполнено.

Утверждение 1.1. Пусть 0 € Intco{Z0}. Тогда в игре Г возможна поимка.

Пример 1.2. В пространстве R2 рассмотрим дифференциальную игру Г четырех лиц: трех преследователей Pi,P2,P3 и убегающего E. Пусть система (1.4) имеет вид

Zi = A(t)zi + Ui — v, zi(0) = Z0, где

A(t) = (sin t 01

У cos t Sin t Z0 ={ M , Z0 ={ —M , Z0 =( 0

Ji - V —ir "2-\ —ir "3 v i

Тогда

gi-cos t 0

ei-cost sin t

^(t) I „i-cost J- „i—cost

и все условия теоремы 1.1 выполнены. Утверждение 1.2. В игре Г возможна поимка.

§ 2. Поимка заданного числа убегающих

В Ки (V ^ 2) рассматривается игра Г п + т лиц: п преследователей Р1, Р2,..., Рп и т убегающих Е1, Е2,..., Ет. Движение каждого преследователя Рг описывается системой (1.1), закон движения каждого убегающего Ej имеет вид

У = А(Ь^ + vj, vj € V. (2.1)

Здесь и далее у, ,Vj € , ,] € 3 = {1,2,...,т}. При Ь = Ь0

заданы начальные условия

Хг(Ь0) = X0, yj(Ь0) = У,0, причем X0 = У,0 для всех г, _?'. (2.2)

Цель группы преследователей — «поймать» не менее г убегающих (1 ^ г ^ т), при условии, что сначала убегающие выбирают свои управления сразу на [Ь0, то), а затем преследователи, на основе информации о выборе убегающих, выбирают свои управления, и, кроме того, каждый преследователь может «поймать» не более одного убегающего. Считаем, что п ^ г.

Вместо (1.1), (2.1), (2.2) рассмотрим систему с начальными условиями

2г, = А(Ь)гг, + иг — V,, иг, V, € V, гг,(£0) = = X0 — У,0. (2.3)

Определение 2.1. В игре Г возможна поимка г убегающих, если существует момент Т) = ), при котором для

любой совокупности допустимых управлений V, (Ь) найдутся допустимые управления

щ(Ь) = иг(Ь, , V,(в), в € [Ь0, то))

обладающие следующим свойством: существуют множества

N С I, М С 3, |Ж| = |М| = г такие, что каждый убегающий Ев, в € М ловится не позднее момента Т0 некоторым преследователем Ра, а € Ж, причем если преследователь Ра ловит убегающего Ев , то остальные убегающие считаются им не пойманными. Выражение «преследователь Ра ловит убегающего Ев» означает, что для некоторого т € [Ь0,Т)] выполнено гав(т) = 0.

Условие 2.1. Для каждого к € {0,1,... , г — 1} верно следующее: для любого множества N С I, |Ж| = п — к найдется такое множество М С 3, |М| = г — к, что для всех в € М

0 € 1п1со{Д°в, а € N}.

Теорема 2.1. Пусть выполнены предположение 1.1 и условие 2.1. Тогда в игре Г возможна поимка г убегающих.

Приме р2.1. В пространстве Л2 рассмотрим дифференциальную игру Г шести лиц: четырех преследователей Р1,Р2,Рз,Р4 и двух убегающих Е1,Е2. Цель преследователей — «поймать» всех убегающих (г = 2). Пусть система (2.3) имеет вид

2г, = А(Ь)гг, + иг — V,, гг,(0) = = X0 — У0, где

А(Ь)=( сой Ь 81п Ь — сой Ь А У0=^М У0 = /" —М

( ) у 2 соэ Ь — сов3 Ь — сов Ь 8Ш Ь J, 1 \^ / , 2 V 0 у ,

и предположение 1.1 выполнено. Проверяя, получаем, что, при указанных начальных позициях игроков, условие 2.1 имеет место.

Утверждение 2.1. В игре Г возможна поимка всех убегающих.

Список литературы

1. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. №3. С. 145-146.

2. Петров Н. Н. Теория игр / УдГУ. Ижевск, 1997. 197 с.

3. Пилипенко Ю.В., Чикрий А. А. Колебательные конфликтно управляемые процессы // Прикладная математика и механика. 1993. №3. С. 3-14.

4. Чикрий А. А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 380 с.

5. Благодатских А. И. О двух колебательных конфликтно управляемых процессах со многими участниками// Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2005. №2. С. 3-22.