Научная статья на тему 'Групповое преследование в рекуррентных дифференциальных играх'

Групповое преследование в рекуррентных дифференциальных играх Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
167
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА / ГРУППОВОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ / РЕКУРРЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ / ПОИМКА / КОНТРСТРАТЕГИИ / DIFFERENTIAL GAME / EVADER / PURSUER / GROUP PURSUIT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Петров Николай Никандрович, Соловьева Надежда Александровна

Приведены условия поимки одного убегающего в линейных нестационарных задачах группового преследования в предположении, что все участники обладают равными возможностями и фундаментальная матрица однородной системы является рекуррентной.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Group pursuit in the recurrent differential games

We obtained new conditions for the solvability of some problems of group pursuit.

Текст научной работы на тему «Групповое преследование в рекуррентных дифференциальных играх»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.977

© Н. Н. Петров, Н. А. Соловьева ГРУППОВОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ В РЕКУРРЕНТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ1

Приведены условия поимки одного убегающего в линейных нестационарных задачах группового преследования в предположении, что все участники обладают равными возможностями и фундаментальная матрица однородной системы является рекуррентной.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, рекуррентные функции, поимка, контрстратегии.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Кк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Р\,... ,Рп и m убегающих ..., Ет [1—7]. Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

х!г = A(t)xi + Щ, Xi(to) = х0, Пг € V.

Закон движения каждого из убегающих Ез имеет вид

Уз = А(г)Уз + V, Уз(^ = у°, Уз € V,

где Хг, уз, иг, Уз € Кк, А(^ — непрерывная матричная функция, V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, гО = X0 — у0.

П р едположение 1. Фундаментальная матрица Ф^) системы

й = А(Ь)й, Ф(^) = Е

является рекуррентной на [^, те), а Ф(£) равномерно ограничена на [^, те).

§ 2. Поимка одного убегающего

Пусть т = 1, преследователи используют квазистратегии, условие поимки убегающего — Хр(т) — у1(т) € Мр при некоторых р, т, где Ы\,..., Мп — заданные выпуклые компакты, причем х0 — у0 / Мг для всех г.

Теорема 1. Пусть выполнено предположение 1 и у0 € 1п1со{х° — М1, ... ,ХПп — Мп}. Тогда в игре Г происходит поимка.

§3. Поимка скоординированных убегающих

Предполагается, что все убегающие используют одно и то же управление. Цель группы преследователей — поймать хотя бы одного убегающего, условие поимки убегающего — хр(т) = уя(т) при некоторых р,д,т, причем г0з = 0.

Т еорема 2. Пусть выполнено предположение 1 и

1Шсо{х?, ...,х°п}^ со{у0, ...,у°т} = 0. (1)

Тогда в игре Г происходит поимка.

хРабота поддержана РФФИ (грант № 12-01-00195).

Следствие 1 (см. [4]). Пусть А(Ь) = 0 для всех t ^ 0, V = ^(0) и выполнено условие (1). Тогда в игре Г происходит поимка. Пример 1. Пусть к = 2, ^ = 0, матрица А(Ь) имеет вид

Матрица Ф(Ь) является рекуррентной. Утверждение 1. Пусть выполнено условие (1). Тогда в игре Г происходит поимка.

1. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.

2. Благодатских А. И. Почти периодические конфликтно управляемые процессы со многими участниками // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 2. С. 83-86.

3. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51.

4. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С.75-79.

5. Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2. Вып. 4. С. 74-83.

6. Петров Н.Н., Петров Н.Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники» // Дифференциальные

N. N. Petrov, N. A. Solov’eva

Group pursuit in the recurrent differential games

We obtaine new conditions for the solvability of some problems of group pursuit.

Keywords: differential game, evader, pursuer, group pursuit.

Mathematical Subject Classifications: 49N70, 49N75

Петров Николай Никандрович, декан, математический факультет, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: npetrov@udmnet.ru

Соловьева Надежда Александровна, аспирант, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: solov_na@mail.ru

Petrov Nikolai Nikandrovich, Dean, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia

Solov’eva Nadezhda Aleksandrovna, post-graduate student, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia

Тогда фундаментальная матрица Ф^) имеет вид

Список литературы

уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1366-1374.

7. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 380 с.

Поступила в редакцию 15.02.2012

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.