Уклонение жестко скоординированных убегающих в одной задаче группового преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© А.И. Благодатских

aiblag@glazov.net

УКЛОНЕНИЕ ЖЕСТКО СКООРДИНИРОВАННЫХ УБЕГАЮЩИХ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Ключевые слова: групповое преследование, убегание, уклонение от встречи, фазовые ограничения.

Abstract. On the pursuit problem of the hardunited evader group the control which ensures the evasion of the meeting is construct.

Введение

Рассматривается задача преследования группы безынерционных убегающих группой инерционных преследователей при условии, что динамические возможности преследователей превосходят динамические возможности убегающих. Предполагается, что все убегающие используют одинаковое управление, которое формируется в каждый момент времени с учетом текущих позиций участников и фазового ограничения на траектории убегающих. Для данной задачи построено кусочно-постоянное управление, обеспечивающее уклонение от группы преследователей всех убегающих.

Близкие задачи, без фазовых ограничений и с одним убегающим, рассматривались НЛО. Сатимовым, Б.Б. Рихсиевым [1,2].

Случай /-поимки (/ > 0) одного убегающего группой преследователей, управляемых по ускорению без фазовых ограничений, рассматривался А.А. Чикрием [3], Н.Л. Григоренко [4].

1. Постановка задачи

В пространстве Rv{u ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + m лиц: п преследователей Р\, Р2,.. Рп и т

убегающих Ei, Е2,..., Е^ . Движения каждого из преследова-

телей Рг описывается уравнением

х^ = Щ, ||«ч|| ^ 1, п\ ^ 2. (1.1)

Закон движения каждого из убегающих Ej имеет вид

Vj = v, ||и|| ^ 7, 7 6(0,1). (1.2)

Здесь Х{,у3,иг)у G Ru. При t = 0 заданы начальные условия

®»(0) = = 4i,^M^n,_1)(0) = s°n,_i, у7(0) = у°.

причем а;°0 ф у® для всех i,j.

Здесь и далее, если не оговорено специально,

I

г = 1,2,..., n, j = 1,2,..., ш, а = 1, 2.

Обозначим 'D(O.R) шар с центром в точке О радиусом R.

Дополнительно предполагается, что убегающий £\ не покидает пределы шара Т)(гДг0), где го положительное число.

Определение 1.1. Управления и,(£),и(£) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (1.1), (1.2), называются допустимыми.

Определение 1.2. В игре Г происходит уклонение ОТ встречи, если ДЛЯ любых допустимых управлений Ui(t) найдется допустимое управление

v(t) = v(t,xi(t),xi(t),...}x\n'~1\t)yyj(t)s)

такое, что Xi(t) ф y:(t) и у3(1) 6 5>(у°,г0) для всех t € [0,ос).

Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени L ^ 0 по величинам |xt(t), it(t),..., (t), уД£)} для

всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление u(t).

2. Уклонение в конусе

В отличие от определения 1.2 предположим, что убегающий Еі не покидает пределы конуса:

С$ = {г Є Д* : (г - г^е) = 0, \\г - г^\ ^ atgв,Zj = + ае, а ^ 0},

где е единичный вектор пространства Я1', в Є (0,7г/2).

Определен ие 2.1. В игре Г происходит уклонение в конусе, если для любых допустимых управлений щ{Ь) найдется допустимое управление

и(0 = V (г, ж;(г), ..., *|п,'"1)(*),

такое, что Хі(і) ф у^{і) и Уі(І) Є Су для всех і Є [0,оо).

2.1. Случай ш = 1

Построим допустимое управление и(і), обеспечивающее уклонение в конусе из любых начальных позиций в задаче с одним убегающим Е\ .

Из возможности уклонения в конусе для V — 2, то есть на плоскости, следует возможность уклонения в конусе И при V > 2. Действительно, если и > 2, тогда выберем произвольную плоскость П, включающую в себя вектор у\ + е, такую, что ни для какой начальной позиции х® ее проекция на плоскость П не совпадает с начальной позицией у®. Такая плоскость найдется в силу конечности числа преследователей п. Если задача уклонения в конусе от проекций разрешима, то тем самым разрешима и исходная задача. Далее считаем и = 2.

Выбираем единичный вектор ё, перпендикулярный е, против часовой стрелки. По е,є как по орт-векторам получаем декартову систему координат.

В выбранной системе координат введем обозначения:

Пусть I = {1. 2,..., п}. Для всех t £ [0. ос) определим функции la[t) — Ia(t,y*(t),x?(t)) - количество /3 € I: Xp(t) < yf(i), qQ{t) =-qpt(t,y?(t),xf(t)) - количество /3 G I : X$(t) = yfit). Кроме того, <52'=0 и pl.p2,6l положительные константы:

y/(Sl + 2ph^ + (2/Лг)2 ^ 7, 2p2n/51 ^ tgfl. (2.1)

Например:

Я1 = 7/\/4 4-tg20, р1 = <5L/(2n), р2 - 8ltgd/{2n),

при этом р1,р2,51 положительны и условие (2.1) выполнено. Лемма 2.1. Для любых с > 0, с?, &i, 62,..., bk € Я1, /г ^ 1

шах min{|а — 6i|,.. •, |о — 6fc|}^ с,

где

Q = {d + 2cs, s = 0,1,..., к}.

Доказательство. Выберем любое s Е {0,1, 2,.... А-}. Предположим, что найдется номер г Е {1.2-------- к} такой, что

| (d 4- 2cs) — 6r| < с.

Для всех а € Q\{d + '2cs} выполнено неравенство

| (d + 2cs) - ft| ^ 2с. откуда |п - ЬГ\ > с.

Пусть лемма неверна, значит, выполнено следующее условие: существуют

с > О, d, bu Ь2,..ьк £ й1, к ^ 1

такие, что

maxmin{ |а - &i|,..., |а - }< с,

откуда следует, что для каждого s £ {0,1, 2,, к] найдется номер г с {1,2, такой, что \{d-\-2cs) - Ьг\ < с. Выше показа-

но. что одному такому г может соответствовать не более одного 5. При этом s принимает к + 1 значение, г-ровно к, поэтому существует, по крайней мере, одно значение s* £ {0,1,2,..., А;} такое, что |(f/ + 2cs*) — 6Г| ^ с для всех г £ {1, 2,..., к). Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Для каждого т £ [0,оо) определим множество

Г2а(г) = {5а + 2раГ(т) + 2pQrs, 5 = 0,1,...,?а(т)}

и величину u>Q(r) £ ^“(т") следующим образом:

если да(т) = 0. тогда w°(r) = 6а + 2ра1а(т)\

если ga(r) ^ 1, тогда иа{т) определяется из условия

mffl{|w°(r) - i^(r)|,...,|a;Q(r) - x^Q{r) (r)|}=

= gg^T) min{i£ - *?, Ml. ■ ■ •. i9- Xpqo(T) M.I}* Pa. (2.2)

Здесь *ge(r) = yf(r), fls £ /, s = 1, 2,.... ga(r).

Неравенство в (2.2) следует из леммы 2.1, если положить

с = ра, d. = <S“ + 2р“1а(т), к = q°{r),

ь* = Хр,{т), S = 1,2, ...,?а(г).

Для определенности: если существует несколько значений w°(r), то возьмем максимальное из них.

Таким образом, для каждого г € [0,оо) величина о;а(т) определена однозначно и

ыа(т) е П? = {<5а 4- 2рав, з = 0,1,..., п}. (2.3)

Л е м м а 2.2. Для любых £ ^ 0 и Т > 0 область достижимости Р\ в момент t + Т совпадает с множеством

гЛ

*!

Доказательство. Интегрируя уравнение (1.1) на интервале [£, £ + Т], получим справедливость утверждения леммы. Лемма доказана.

Для каждого £ £ [0, ос) определим функции Т“(£) ^ 0 как время, через которое впервые могут совпасть а координаты Рг и то есть может выполниться равенство

х°{1 + Т,аЦ)) = УП* + Т,аЮ)

при условии, что г»а(т) = иа(£) для всех г € [г,оо]. При этом возможпы три случая:

1) У\ М < х?(£)• Из (1.1), (1.2) и леммы 2.2 получим, что Т/*(£) есть наименьшее положительное решение уравнения

мо**тт- Е ‘??ШЗЖ_Щг,

13, я! ™

2) У\ (0 > (0 • Тогда Т“(£) есть наименьшее положительное

решение

„гм+- *£ +ШШ1,

' 5! Пг

3) х% (£) = у"(£). Положим Т"(£) = 0.

Таким образом, '/’“(£) определяется для всех t £ [0, со) как минимальный неотрицательный корень многочлена

ШШ1,ж.

п•• 5=2

-(*?(*) - - (*?(о -!,?(«)) = о,

который существует, так как данное уравнение при всех

£ € |0,оо) представимо в виде

2п‘ + С!*71*-1 +-(- СП|_1* = СП|., где Сп, ^ 0.

Пусть

Г“(*) = т1п{Т?(4),Г2"М. ••-.!?(«)}.

Для всех £ £ [0, ос) определим функции 1, если (£) < и

П1 — 1 а(в)

*“(«) =

£

А~0

+

пг!

<*</?(*)+ (*о,(0 + Р*/8)1?(0;

— 1, если г/“(£) > я“(£) и

V XIм_ {тп1)г

Т^о п‘*

£»“(*) + (о“(0 -/>“/8)2?(0;

0 в противном случае.

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Л е м м а 2.3. Пусть убегающий Е\ использует произвольное постоянное управление. Тогда для любого допустимого управления преследователя Р, справедливы следующие утверждения:

1) если для £ > 0 и некоторого и > 0

у?{т)<х?(т) {у?(г)> а?(г)}, г<Е[£-сг,г), У®(0 = *?(*),

У1(т) Ф ®?М> т €[г- <г,£], а € {1,2}\{а},

то найдется е £ (0, <т] такое, что

КГ (г) = 1 {к?(т) = -1}, Т°(т) > Т?(т), г 6 [* - е, г);

В) если для £ > О и некоторого а > О

У1ЛТ) Ф ®КГ). У?(г) Ф х*2(г)> г€[£-<т,£), г/!(£) = ж{(£),

то найдется £'€ (О, о-], что будет выполнено хотя бы одно условие:

К-(г) Ф о, Т?(т) ^ Г/(г), г 6 [( -е,() ШИ Д^М^О, Г/(г) ^ Т?(г), т €[(-£,()■

Доказательство. Из (2.4) и условий леммы следует непрерывность функций 2?(г), Т/(г) для всех г 6 [0, ос).

I. Пусть

У?(т) < *“М, у?(г) # х?(г), г €

»?(«)= *?(0, #(‘) #*?(*).

в этом случае

7?(*) = О, Т?(£) >0.

Учитывая непрерывность: существует £ £ (0. а] такое, что

(Т?(тУ)п‘-1

Т?{т) > Т°(т), ^1_и2--------<; ^/16, г (=[£-£, £).

те,-.

Из (2.6) следует, что К?(г) = 1, г 6 [£ — £*£), если

"£‘ <(5>(^(^(-))5 + РГ(г))- ^ а(г) + (1,«{г) + р«/8)Т?(г),

5! П{\

.<5=0

что эквивалентно неравенству

,п' ~1

(у?(г) + »“(г)ЧГ(г)) - ( £ * _ Шг|))"',)

з=0 ’ ■**

+

+

2(Р“/1б - ^£Ж21)з7(т)1

>0,

которое справедливо, так как первое слагаемое равно нулю в силу определения функции Т*(т), а второе неотрицательно в силу выбору с.

Случай

1/1 (т) > У?М Ф <(г), т- 6 [£ - <т,£),

2/1 (0 = у? (О Ф *?{*)

рассматривается аналогично. Утверждение 1 леммы доказано.

2. Здесь

У12(г) Ф Г€[«-<т,0| У1(0 = **'(0»

поэтому

т/(0 > о, т?(г) > о, Г € [* - ст, г), г?(е) = т;2(г) = о.

Учитывая непрерывность: существует е € (0,<т] такое, что

16

^ Тг М ^ Т{ (г), Г Є [І - Є,*),

Аналогично утверждению 1 для такого є доказывается, что Кг (Т) фи И А'г2(г) 7^ 0, г Є [і — є, і).

Утверждение 2 леммы доказано. Лемма доказана.

Для всех £ ^ О определим функции

в* (г) =

1, если К}(1) ф О, Т?(1) > 1?(1) = тЦг), О в остальных случаях;

(2.7)

(2.8)

1, если К}{г) ф О, Т}{1) > !?(*) = Т2(£) и

в-{г) = { Щ(1) — о для всех£ € Л

О в остальных случаях.

Отметим, что невозможно выполнение равенства

Врг (£) = В^{Ь) = 1 для любых /?1,/?2 € / и £ ^ 0.

Определяем г;(£) следующим образом:

0) иа(£) = и;а(г0а), £ € [г^т"),

ГГ ^ то ~ момент, когда впервые, хотя бы для одного р 6 /, Вр(т?) = 1 и и°(г{*) е

«*(*) = ы«(г“) + лг|(г1а)рв/4, г € [г?,т?),

(3 — минимальный из (3 6 / : (г®) = 1,

г“ > г“ — момент, когда впервые, хотя бы для одного /3 € /, У? (т2°) = ^(г2а); р) »«(*) = £ € [г2°р,г“+1), (2.9)

г2“+, ^ г2“ - момент, когда впервые, хотя бы для одного (3 е /, 5^(г2ар+1) = 1 и г;3(г2ар+1) € П?;

«“(£) = а/*(т2« +1) + ^|(г2ар+1)ра/4,

*6 [Г2ар+1’Г2аР+2)>

/5 — минимальный из (3 £ I : Вр(т£р+1) = 1,

,*2р+2 > т2р+1 - момент, когда впервые, хотя бы для одного (3 6 /, у“(г2р+2) = ^?(г2ар+г)-

В формуле (2.9) = 0, 3 6 {1,2}\{а}, р = 1,2,--------

Далее в этом пункте считаем, что и(£) и {т“}р=0 определены по (2.9), при этом либо ра < эо, либо р° = оо.

Лемма 2.4. Для любого набора допустимых управлений щ{^) преследователей Рг выполнено следующее:

1) если р1 ^ 2 и р2 ^ 2, тогда {т^}|£*2 П{т‘1р}р=|2 = ^

2) если ра ^ 2, тогда у^(£) Ф £?(0 для всех £ € {Т2Р1Т2Р+2) и р = 0,1,.. .,.ра -г 2 — 1;

3) и°(г) Е [<5а,<5а + 2/9ап], г Е {гра}^0.

//од знаком Ч- понимается деление нацело. Доказательство. 1. Из (2.9) следует, что

т2Р+1 Ф т2г+1 Для всех р, г >. 0,

при которых т-2р+1’г2г+1 определены, так как, учитывая (2.8), невозможно выполнить равенства

Вр: (0 = Вр2{Ь) = 1 для любых /?ь/?2 € / и £> 0.

Пусть наступил момент т^р+1, тогда, следуя (2.3), (2.6), (2.9), и1^) = и\т\р)±р1/А £ £ Е (г21р+1,г21р+2),

отсюда и из сказанного выше

г2г+1 £ [г^+1,Т^+а), 1’2(}) = е2(г2‘р+1), I 6 (Гад.Т^). Объединяя

{ ч1(1) = ь1(т)!р+1) + К1~(т1р+1)Р'Ц 1

{ *»(*) = . 'е(г2р+„>2р+2).

откуда, при меняя (2.6), (2.7) и лемму 2.2, получаем систему

/ Г2р+2 € (7'2р+1»Т2р+1 +’^1(г2р+1))>

I ^р+О^ГЧг^),

из которой следует, что

2/1 СО Ф хг(0» ^ ^ [г2р+1> г2р+г]) и т2г ^ [г2р+1» Г2р+2]*

Пусть наступил момент времени т-2г, 2, аналогично получим

2/1 (Ю Ф 1 € Йг + Ь^г+г]. И т}р £ [г|г+1,¥|г+2].

Таким образом, утверждение 1 доказано.

2. Докажем, что

у}(4) ф х}(1), г € (г^,г^+2).

Из леммы 2.3

01 (0 Ф «НО» * € (т2р>т1л{7'21р+1’Г2г + 1})-

Если ш1п{г21р+1, г2г+1} = *2р+1» тогда утверждение выполнено.

Пусть тт{г21р+1, т2г+1} = г|г+1, в доказательстве первого утверждения данной леммы показано, что в этом случае

2/1(0 Ф З-’ЛО’ ^ ^ [Т2г+1 > Г2(г + 1)]-Теперь, снова применяя лемму 2.3, получим

у}(*) Ф *1(г)> 4 е (г22(г+1)’т‘П{Г2|>+1'Г2(г+1)+1^-

Продолжая далее, получим, что для некоторого г'

т1п{Г2р+ИТ2(г+г')+1} ~ Г2р+1 И Утверждение ВЫПОЛНСНО.

Аналогично доказывается, что

2/х(0 /4(0. ^ € (т-22г,г22г+2).

Утверждение 2 доказано.

3. Из (2.3) и (2.9) следует, что

»“(**) е П? с [«“. 6° + 2р°п], р = 0,1......ра -Г 2,

отсюда и из (2.9),

«"(^р+х) = »“(*&) ± Р“/4 € [*“, *а + 2/)%],

если только

^КР) Ф или Уа(т%) ф 6а + 2р°Ч

для всех /л для которых значение т$р+1 существует.

Пусть иа(г£,) = 5“, тогда из (2.2) и утверждения 2 этой леммы следует, что

У?(*) < *?(»), * 6 (г2“,г2“+1], откуда, применяя (2.6), (2.9), имеем

Л|(*•?„+,) = 1 и и“(г2“+1) = «"+/>“/4 € [«".«" + 2/>"»]•

Случай 0°(г2“) = 5“ + рассматривается аналогично и

(г2“+1) = -1 и »"(г2“ +1) = «“ + 2/>“п - ра/4 е [5“,5“ + 2р“г>].

Утверждение 3 доказано. Лемма доказана.

Докажем, что формула (2.9) определяет и(£) для всех 1^0. Для этого достаточно показать, что имеет место следующая

Лем м а 2.5. При любых допустимых управлениях преследователей Рг либо значение ра конечно и гра = оо , либо Пт т° = оо.

р—юо ^

Док азательство. Случай сх = 1. Для каждого набора допустимых управлений щ(Ь) возможен один из двух случаев.

I. Формула (2.9) применяется конечное число раз. поэтому значение р1 конечно и г1, = ос.

1 р

II. Формула (2.9) применяется бесконечное число раз. Требуется доказать, что полученная по ней последовательность

{тр}™= о : 11гп Т1 = °°-

У И р-юо ‘

Предположим противное: существуют допустимые управления

г**(£) : Нш г* = т* < оо.

р-+оо 1

11.1. Рассмотрим числа я*(г*). Пусть они принимают

г £ [1, тг] попарно различных значений < £2 < ••• < £г- Считаем, что

®i(r*) = ®г(0 = '' • = *ii (О =

= **+2 (О = *•• = xlS2{r*) = £2,...,

*La+i(0 = <_2+г(0 = *' ■ = xlr-i(T*) = €r-li

*l_l+l(r*) = ®l_1+2(r*) = • • • = ®i(r*) = &•

Обозначим

5/j = -(- 1, sjt—1 4* 2,...«s^}-, к — 1,2,..., r (s0 0, Sr я)

и для каждого с 6 [0, г*] определим множества “fc(e) = IJ [z € R1 : г = xls(t), i € [т* - £,т*]}, А; = 1, 2,..., г.

sGS*

Пусть Gi,G2 С Л1, положим

dist(GbG2)= inf \gi-g2l

9i€Cii .g26Cr2

Для всех £ £ [0, г*] определим функции

hk,k+i{e) =dist(Ejt(e),Efe+i(e)), к = 1,2, 1,

Л(е) = min{/li)2(e),/l2r3(e), • • M^r-l.r^)},

Я(£) = /1(£)-2(^1 + 2р1тг)£.

В силу непрерывности Я и условия /г(0) > 0 получаем, что существует > 0 такое, что Н(е) > 0 для всех £ € [0,£i]. Отсюда

h{e)/(61 +2р1п) > 2е для всех £ € [0,£i]. (2.10)

11.2. Если Sk состоит из одного элемента, полагаем

е* = оо. Пусть |5*| ^2 и /3ь/32 £ 5^. Рассмотрим преследователей Рр1,Рр2. Отметим, что

4i(r*) = *а(г*) = &• (2Л1)

Разберем всевозможные случаи их взаимного расположения,

1. (г*) > 4>(г*). В силу непрерывности этих функций

существует £ > О, что

Кроме того, учитывая (2.11), имеем

*а(0 < *а(0« * € [г* -£,г*).

2. Хр (г*) < Хр (т*). Аналогично случаю 1 существует £ > О,

что

*л(0 < *&(*).**(О > t 6 [т*-е,г*).

(г*). Этот случай имеет несколько вариантов:

3.1) существует £ > 0, что

= *к(е)» г€

тогда и

*&(*) = 4 € [г*-£,г*];

3.2) существует £ > 0, что

*&(*) > *а(0| ^ [г* -£,Г*), тогда, подобно случаю 1,

*а(0 < ®д»(0» [г*-£,?■*);

3.3) существует £ > 0, что

4,(0 < *а(‘). ге [г*-е, г*),

тогда, подобно случаю 2,

(0 > ^ [г* “ е1 О-

Библиотека

Теперь, перебирая всех преследователей Р3, § 6 5^ попарно, как преследователей Рр1,Рд2, получим, что существует > О такое, что расположение Р3,в £ 5^ друг относительно друга не изменяется на [т* — £2, г*), а это, без потери общности, означает:

1^, 5+1 М(<—1+2(0• • ’{<=}гкМ ,

^-,+1 ^ , «€[т*-4,г*). (2.12)

*.^1+1(0{>=>*.к_1+2М •••{>=}*.*(*)

В (2.12) символы {<=}, {>=} означают, что на всем промежутке [тж — £2, т*) в первой строке формулы знак либо <, либо =, во второй строке знак > соответствует знаку < первой строки, знак = соответствует =. Выбираем

£2 = шт{44 .. •,£2}> о.

11.3. Из непрерывности £*(£) следует существование ег3 > 0 такого, что

|а^(г* — £7) - ^г(г* < Р/4 для всех£',£" € [0,£3)- (2.13)

Возьмем £3 = Ш1П {£3, £§, . . ., £3 } > 0.

11.4. Определим

£* = Ш1п{£1,£2,£з} > 0. (2.14)

Из предположения, что Пт г1 = г*, следует, что до момента

р—ьоо и

т* — £* < г* управление !>*(£) определено и, кроме того, существует номер р такой, что

г2р’Г2р+1.г2?+2----е 1Т"

Рассмотрим игру Г начиная с момента тх — £* и докажем, что найдется номер р* : ^(р+р*) '> т*’ в РезУльтате получим противоречие предположению о конечном значении Пт тем

р—ьос и

самым лемма будет доказана полностью.

Итак, момент т.]^ £ [г* — е*,т*). Необходимо

у}(*&) € Е*(0

при некотором А* € {1,2,..., г*}. Напомним, что

х\(г) 6 В*(е*), £ € [г* -£ж,г*], в € 5*.

Существует хотя бы одно а'1 6 6'аг такое, что

2/1 (^2р) = Х1х(Т2р)-

Из (2.2) следует, что возможны два случая:

1) У1(ту ^ х]Х1 (г2у + р1 ( о?1 - это один или несколько последовательных индексов из 5^). Следуя (2.9), получим

Ь'1 (г2р) ~ Р1/4 < у1(Г2р4-1) ^ у1(Т2р) + Р1/4, отсюда, учитывая (2.13), (2.14), имеем

V1 (О > *1, (0 + Р1/^ Для всех г € [г^, т-21^^). (2.15)

Преследователи Р{ не меняют своего расположения относительно друг друга (2.12), поэтому в момент должна вы-

полнится одно из двух:

а) уК^рч-!)) = *^1(г2(рЧ-1))» из (2Л5) этот слУчай невозможен;

б) у\(т2(р+1)) = Х*2(Т2(р+1))’ а2 > а! {а2 - один или несколько последовательных индексов из 5а ). Рассмотрим систему

| \ха2 (Г2(р+1)) — ^02 (Г2р+1)1 < Р1/4) . .

1 72 > 4,(г‘т) > 42(г>?+1).

Справедливость первого неравенства следует из (2.13), (2.14), второй цепочки неравенств - из (2.15), (2.12). Из (2.16) получим, что

1,1(г2Р+1) > ^(^(р-Н)) + Р1/4-

Поэтому и1 (г2(рч-1)) по (2-9) будет определено так, что

Л’ад-!)) ^ 4г(’2(й.1))+р1-

Продолжая далее, получим, что существует момент Тцр+р') та_ кой, что

^(*адн-р')) = *5*(т2(?ц.'))> »1(г21(?+Р')) =* *1>Лттр'))+Р1- (2Л7)

Из (2.17) получаем, что

®1(0 < у}(*)> I € (г2(р4-р')’ГЧ’ 5 6 ^

Значит, чтобы !^*2(р+р/4-1) ^ [Г* “ Г*)’ необходимо выполнение

равенства

У1,(Г2(рЧ-р' + 1)) = хр{Т2[р+р'+1)1 0 ^ 1\$к,

это означает, что первая координата убегающего Е\ из множества Н*(£*) должна попасть в множество Е*+1.(е*). Из (2.10), (2.14) на это потребуется времени, даже при максимальной по лемме 2.4 скорости (51 4* 2р1п. больше чем 2е* , откуда

Го/-

- > 2е*.

2(р+р'+1) 2(р+р')

Итак, в этом случае показано, что существует р* = р’ 4 1 : Г2(?+Р-) >г*;

2) «‘(^) ^ 1 (г2у — р1. Как и в случае 1, доказывается, что

существует момент ^2(р+р") ТакОЙ1 что

у{(0 < (г), ДЛЯ всех г е (^21(р+р")’ГЖ]’ й 6

Далее, чтобы ^2(р+р,, + 1) ^ [г*_£*>г*)> необходимо выполнение равенства

Ух (Г2(р4-р"+1)) = ®МГ2(р+р#,+1))’ Р ^

это означает, что первая координата убегающего Е\ из множества должна попасть в множество 2^—1 (е*), но это невоз-

можно, так как минимальная по лемме 2.4 скорость убегающего 5х ^ 0. Следовательно, существует р* = р" + 1 : ^(р+р-) > т*.

Случай а = 2 рассматривается аналогично. Лемма доказана.

Из леммы 2.4 и леммы 2.5 следует, что определенные по (2.9) функции в“(£) такие, что

иа{Ь) Е [5а, 6а + 2рап\ для всех < £ [0, оо). (2.18)

Таким образом, полностью определена стратегия убегающего Е\ : в каждый момент времени Ь ^ 0 убегающий Е\ по (2.9) определяет V1 (£) и ь2(Ь), тем самым полностью задает свое управление г>(£).

Т еорема2.1. В игре Г при тп = 1 происходит уклонение в конусе из любых начальных позиций.

Доказательство. Докажем, что стратегия убегающего такова, что

1) управление и(£), £ Е [0, оо) является допустимым;

2) |/1 (£) £ С-\ для всех £ Е [0, оо);

3) Я{(£) ф 2/1 (£) для всех £ Е [0, ос).

1. Управление г>(£), Ь Е [0, оо) из класса кусочно-постоянных функций и меняет свое значение в моменты

т Е {трЧ^иО'р^о- в СИЛУ (2Л8)> (2.1)

||«(<)|| = У(«Ч«))2 + («2(0)2 < у/(Л1+2р1тг)2 + (2р2„)2 ^ 7.

Из определения 1.1 заключаем, что управление г>(£) допустимо.

2. Применяя (2.18) и (2.1) получим, что

1и2(*)/г>1(£) < 2р2п/61 ^ tg^,

откуда и2(г) < г?1 для всех £ Е [0, оо). Из последнего нера-

венства следует справедливость утверждения.

3. Справедливость следует из леммы 2.4 и леммы 2.5.

Эти три утверждения полностью доказывают теорему. Теорема доказана.

2.2. Случай 1П ^ 2

На основе стратегии уклонения в конусе для одного убегающего построим стратегию уклонения в конусе для группы жестко скоординированных убегающих.

Теорема 2.2.5 игре Г происходит уклонение в конусе из любых начальных позиций.

Доказательство. В пространстве Я" определим вспомогательную игру Гх пт + 1 лиц: пт преследователей Р-и убегающего Е. Закон движения каждого из преследователей Р- имеет вид

Хг?] = 1М1 ^ 1‘

Движение убегающего Е описывается уравнением вида

У = »1, |Ы| ^ 7-

При 2 = 0 заданы начальные условия

*у(0)=*?.О = °) = а?Ля;-11 у{0) = 0.

Отметим, что х^(0) ф г/(0) . Убегающий Е не покидает конуса С — {г € Я",-: (г - г0, е) = 0, \\г - г0|| ^ е^0, г0 = ое, а ^ 0}.

В данной вспомогательной игре Г1 преследователи действуют следующим образом: в каждый момент времени £ Е [0, ос) каждый из преследователей Р- использует одно и то же управление щ(£), выбранное преследователем Я; в игре Г.

Пусть 1^1 (£) - управление, обеспечивающее уклонение в конусе в игре Г1, выбранное убегающим Е в момент времени £. Определяем управление убегающих Е3 в игре Г в каждый момент времени I ^ 0 следующим образом: и(£) = г->1(£).

Из построения управления и(£) и теоремы 2.1 следует справедливость этой теоремы.

3. Уклонение от встречи

Используя управление, обеспечивающее уклонение в конусе, построим допустимое управление, обеспечивающее уклонение от встречи из любых начальных позиций.

Теорем а 3.1.5 игре Г происходит уклонение от встреча из любых начальных позиций.

Доказательство. В пространстве Н? определим вспомогательную игру Г2 п + т лиц: п преследователей Р/ и т убегающих Е] . Закон движения каждого из преследователей Р-1 имеет вид

^!П,) = и», |ЫК 1-

Движение каждого из убегающих Е- описывается уравнением вида

Уз = \\Ц < 7-

При £ = £0 ^ 0 заданы начальные условия

= Ж?,5|, Уз{1 о) = у?, причем я?0 ф у- для всех г,у Здесь и далее считаем

= 0, 1, . . ., Щ — 1.

Предполагается, что убегающий не покидает пределы конуса

С; = {г Е Я • (г — , е) = 0, \\г — Zj\\ <С а, — 4- ае, а ^ 0},

где е - единичный вектор пространства Яи.

В данной вспомогательной игре Г2 преследователи действуют следующим образом: в каждый момент времени £ £ [|0, ос) каждый из преследователей Рг1 использует одно и то же з'пра-вление «,•(£), выбранное преследователем Рг в игре Г.

Пусть и(£) = и(£, £0, Щ, ё) - управление, обеспечивающее уклонение в конусе в игре Г2, выбранное убегающими в момент £ ^ ^о-

Определяем управление и(£) убегающих Е^ в игре Г :

0) ц(0 =д ц^_^'°|Л , 4 £[0,^],

> 0 — момент, когда впервые у^х) € ^(у?? го);

Р) (мР>а;|а°(<р),уд(<р), ||^-’*€ (^»гр+1]

^р+1 > Ьр — момент, когда впервые ух(£р+1) € «^(У?» го)> здесь р = 1,2, 3,...

Из построения управления г;(£) и теоремы 2.2 следует справедливость данной теоремы.

Список литературы

1. Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б.Б. О квазилинейных дифференциальных играх убегания // Диф. уравнения. 1978. Т. 14, № 6. С. 1046-1052.

2. Сатимов Н.Ю., Рихсиев Б.Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления. Ташкент: Фан, 2000.

3. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наук,

думка, 1992.

4. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1990.