К примеру Понтрягина со многими участниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.977 © И. Н. Баранова

К ПРИМЕРУ ПОНТРЯГИНА СО МНОГИМИ УЧАСТНИКАМИ Введение

В данной работе рассматривается пример Л. С. Понтрягина со многими участниками, при условии, что среди корней характеристического уравнения есть положительный. Получены достаточные условия поимки.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Кк рассматривается дифференциальная игра Г и + ш лиц: и преследователей .^1,..., и ш убегающих Е1,..., Ет , описываемая системой вида

(О , (1-1) , , , •,

4/ + ач4,- +----+ аг-22у + аг_1г, + ад, = щ — V,.

Здесь г,, щ,-^ € Кк, а1,..., аг € Д1, V — выпуклый компакт Кк. При £ = 0 заданы начальные условия

(°) = 4, ¿у (0) = , ..., г(-1)(0) = г1-1.

Цель группы преследователей — поймать не менее д (1 ^ д ^ ш) убегающих.

Обозначим через (£), г = 0,1,..., 1 — 1 решения уравнения

■ш(1) + а1ад(1-1) +-+ аг-ш = 0

с начальными условиями

Ц0) = 0,..., м(г_1) (0) = 0, м(г)(0) = 1, ад(г+1)(0) = 0,..., ад(1-1)(0) = 0.

Пр едположение 1. Уравнение

А1 + а1Аг 1 + ••• + аг = 0 имеет корень с положительной вещественной частью.

Пр едположение 2. ^г_1 (£) ^ 0 для всех £ > 0.

Из предположений 1, 2 следует, что среди корней с максимальной вещественной частью существует вещественный корень, который будем обозначать А8, а его кратность к8. Пусть 7 = к3 — 1. Определим функцию А : V ^ Д1 вида

А(£, V) = 8ир(А|А ^ 0, —А£ € V — V},

где £ фиксированный ненулевой вектор Кк.

§ 2. Поимка группы убегающих

Определение 1. Будем говорить, что в игре Г возможна поимка, если существует момент Т > 0 такой, что для любой совокупности управлений убегающих

{г,(£), £ € [0, то), ] = 1,..., ш}

найдутся управления преследователей

{щ(£), £ € [0, то), г = 1,..., и}

обладающие следующим свойством: существуют множества индексов N С {1,2,...,n}, M С {1,2,... , m} мощности q такие, что каждый убегающий Ej, j € M «ловится» не позднее момента T некоторым преследователем Pi, i € N, причем, если преследователь Pi «ловит» убегающего Ej, то остальные убегающие считаются им непойманными. Выражение Pi «ловит» Ej означает, что существует момент Tj € (0, T] такой, что Zjj (Tj) = 0.

Считаем, что n ^ q.

Введем следующие обозначения

%(t) = фо (t)zi0j + ^i(t)4 + ••• + ^i—i (t)zi—1,

, m _ %(i)e“Asi ; m _ kj{ty~Xst

SvW - (i + 1)7 , - (i + 1)7 •

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1, 2 и для любых p € {0,1,... , q — 1},

N С {1,... , n}, |N| = n — p существует множество M С {1,... , m}, |M| = q — p такое,

что для всех ß € M, t € [0, то) выполнено неравенство

n

inf min max А({ад(£), v) > —. t veV aeN а

Тогда в игре Г происходит поимка.

§3. «Мягкая» поимка в примере Л. С. Понтрягина

Определение 2. Будем говорить, что в игре Г происходит «мягкая» поимка, если существуют T > 0, функции Uj(t) = Uj(t, z01,..., zj_1, vt(-)) такие, что Uj(t) € V, и для любых измеримых функций Vj (Vj (t) € V для всех t) найдутся момент т € [0, T] и номера а и ß такие, что Zae(т) = 0, ¿ав(т) = 0.

П р едположение 3. ф1_ 1 (t) ^ 0, ф i_1 (t) ^ 0 для всех t > 0.

Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1, 3 и существует j такой, что справедливо неравенство

n

inf minmaxmin{A({ij(i),v), A({ij(i),v)} > —. t vev i а

Тогда в игре Г происходит «мягкая»» поимка.

Список литературы

1. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. № 3.

2. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т.2. М.:Наука. 1988.

3. Петров Н. Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та 1997.

4. Благодатских А. И. Об одном колебательном конфликтно управляемом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. № 2.

5. Холл М. Комбинаторика. М.:Мир. 1970.

Баранова Ирина Николаевна Удмуртский государственный ун-т, Россия, Ижевск e-mail: ibaranova@udm.ru