К применению оверлейных кодов в модернизированном радиоинтерфейсе GPS Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория сигналов

УДК 621.396.969.11

В. П. Ипатов, Д. С. Непогодин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

|К применению оверлейных кодов в модернизированном радиоинтерфейсе GPS

Рассмотрены сигнатурные ансамбли каскадной архитектуры, положенные в основу модернизированного радиоинтерфейса системы GPS. Приведены результаты исследования влияния оверлейного кода на корреляционные характеристики дальномерных сигналов, оценки средней мощности и пикового значения помехи множественного доступа в каскадных ансамблях как при отсутствии взаимных частотных сдвигов сигналов, так и с учетом доплеровских расстроек.

Глобальные навигационные спутниковые системы, GPS, ГЛОНАСС, оверлейное кодирование, коды Ньюмана-Хофмана, помеха множественного доступа

Десятилетия штатной эксплуатации глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) GPS и ГЛОНАСС закрепили за ними доминирующую роль в арсенале современных средств позиционирования подвижных объектов. ГНСС не имеют конкурентов в части оперативной доступности координатно-временного сервиса в любой точке на поверхности Земли или в околоземном пространстве в произвольный момент времени и вне зависимости от метеоусловий. Постоянное расширение сферы приложений радионавигации космического базирования в совокупности с прогрессом в области электронных технологий стимулировало появление проектов дальнейшего развития ГНСС, предусматривающих, в частности, модернизацию пользовательского интерфейса за счет пополнения номенклатуры сигналов, передаваемых космическими аппаратами (КА).

Целевыми установками совершенствования радиоинтерфейса ГНСС являются повышение точности местоопределения, улучшение иммунитета к многолучевым и нешумовым помехам, обеспечение работоспособности при пониженном уровне и существенном динамическом разбалансе принимаемых сигналов КА и т. д. Для выполнения указанных требований необходима коренная ревизия структуры и параметров существующих сигналов в плане расширения полосы, увеличения длины дальномерных кодов и оптимизации законов модуляции и кодирования. Надобность в переходе к более длинным дальномерным кодам связана в первую очередь со стремлением к снижению уровня взаимных помех между сигналами различных КА, т. е. помех множественного доступа (ПМД), без которого повышение надежности функционирования аппаратуры потребителя в условиях заметного разброса интенсивностей сигналов КА нереально. С другой стороны, простое увеличение длины кода имеет результатом затягивание процедуры поиска сигнала при "холодном" старте. Один из возможных путей достижения компромисса между приемлемым уровнем ПМД и скоростью поиска сигнала подсказывается идеей оверлейного кодирования, положенной в основу

© Ипатов В. П., Непогодин Д. С., 2010

структуры новых гражданских сигналов L1C и L5 системы GPS [1]-[3]*. В терминологии теории кодирования оверлейный код есть внешний код каскадной конструкции, внутренним кодом которой служит один период избранной псевдослучайной последовательности.

Несмотря на общность каскадного построения, упомянутые новые сигналы радиоинтерфейса GPS имеют существенно различные внешние коды. Так, в сигнале L1C длина оверлейного компонента равна 1800 элементам, и каждому из спутников космической группировки присвоена уникальная последовательность [1]**. В свою очередь, для сигналов L5 внешняя последовательность имеет длину 10 символов в канале данных и 20 в пилотном канале (коды Ньюмана-Хофмана) [2], [3]***. Указанные отличия обусловлены, по-видимому, различным предназначением каскадного кодирования упомянутых сигналов. Для сигнала L1C оно введено, скорее всего, исключительно с целью снижения ПМД и удлинения предельного периода когерентного накопления, тогда как коды Ньюмана-Хофмана в сигналах L5 предназначены главным образом для ускорения поиска границ битов в потоке навигационных данных.

В настоящей статье анализируются характеристики оверлейного кодирования с точки зрения его влияния на корреляционные свойства дальномерных кодов. Вопросы об эффективности оверлейных кодов с точки зрения ускорения процедур поиска и битовой синхронизации предполагается рассмотреть в отдельных публикациях.

Корреляционные функции сигналов с каскадным кодированием. В каскадной схеме кодирования исходная внутренняя дальномерная последовательность k-го спутника \pki} периода Nj манипулирует чипы длительности А, формируя сигнал с итоговым периодом Nj А. Далее однопериодные отрезки получившегося сигнала рассматриваются как эквивалентные новые чипы длительности Nj А, манипулируемые внешним кодом {ckj} некоторой длины Nov. Таким образом, результирующая последовательность - сигнатура {akj} длины N = NjNov, переключающая исходные чипы сигнала k-го спутника, - выражается равенством

aki = hjCkj0, i = ••■, "I, 0, 1, ..., k = 1, 2, ..., K, (1)

где i0 = |_i/Nj J (L-J обозначает округление в сторону уменьшения); K - число сигнатур в ансамбле.

Найдем теперь общее выражение для нормированной периодической взаимной корреляционной функции (ВКФ) Pk/ (m) k-й и l-й каскадных последовательностей (1) соглас-

* Interface specification / Navstar GPS space segment / User segment L1 interfaces. 2006. (Draft IS-GPS-800) // URL : http://www. navcen.uscg. gov/gps/modernization/default.htm

Interface specification document / Navstar GPS space segment / User segment L5 interfaces. 2005. (IRN-705-001, IS-GPS-705) // URL: http://www.navcen.uscg.gov/gps/modernization/default.htm

** Interface specification / Navstar GPS space segment / User segment L1 interfaces. 2006. (Draft IS-GPS-800) // URL : http://www. navcen.uscg. gov/gps/modernization/default.htm

*** Interface specification document / Navstar GPS space segment / User segment L5 interfaces. 2005. (IRN-705-001, IS-GPS-705) // URL: http://www.navcen.uscg.gov/gps/modernization/default.htm

1 N-1

но общему выражению [4] р^ (m) = — Z akiai(i-m), в котором m обозначает взаимный

N i=0

сдвиг последовательностей, измеряемый числом символов. Подставив в эту формулу выражение (1), имеем

1 N -1

Pkl (m) = — Z bkicki0 bl(i-m)cl(i-m)0 . (2)

N i=0

Введем новые переменные вида i = + i'2, m = m1N;- + m2, где /1, m1 = 0, 1, ..., Nov -1; i'2, m2 = 0, 1, ..., N, -1, учтя, что (i'2 -m2)0 = [(i'2 -m2УN, J . Примем также во внимание периодичность последовательности {¿ki} с периодом N,: bk+i2)= bki2 и соотношения [(i1Ni + /2 )/Ni J = /1; [[(/1 - m1) Ni + /2 - m2 J/Ni J = (/1 - m1) + L('2 - m2 VNi J.

Тогда выражение (2) запишется как

j Nov -1 Ni -1

Pkl (m) = N Z Л ¿k1^ СМ1Ь% -mi )Cl[(/1 о» )+(i2 -m2 )]0. (3)

/1 =0 /2 =0 0

Заметим, что

L(/2 - »2 )/ N J=|0,'2' ^

[-1, /2 < m2,

и представим сумму по i2 в (3) в виде двух сумм:

1 Nov -1 Ni-1 1 Nov-1 m2 -1

pkl (m) = N Z ck/1 cl(q -m1) Z bki2 bl(i2 -m2)+ N Z cki1cl(q -m1 -1) Z bki2 bl(i2 -m2) .(4)

N /1 =0 /'2 =m2 N /1 =0 /2 =0

Ni -1 m2-1

Суммы Z bki2 bl(i2 -m2) и Z bki2 bl(i2 om2) представляют собой ненормированные

/2 =m2 /2 =0

апериодические ВКФ k-го и l-го внутренних кодов:

N-1 b m2-1 b

Z bki2 bl(i2 -m2) = NiPa kl (m2 ); Z bki2 bl(i2 -m2) = NiPa kl (m2 - Ni),

/2 =m2 /2 =0

так как нормированная версия указанной периодической ВКФ определяется равенствами [4]

Pb kl (m ) =

1 N -1

N Z bkibl(i-m), m ^ 0;

Ni i =m 1 N, + m-1

^ Z bkibl(i-m), m <

N,

i=0

Nov -1 Nov -1

Аналогично суммы Z Сц cl ^ oщ) и Z СцС^ -щ o1) после нормировки по-

i1 =0 i1 =0

1 Nov -1

вторят значения периодической ВКФ оверлейных кодов: Pp kl (m) =- Z с,с,-m для

Nov i=0

сдвигов т = ту и т = ту +1 соответственно. В итоге периодическая ВКФ (4) каскадных последовательностей запишется как

Рк1 (т) = Рр М (т1) Ра к1 (т2 ) + Рр к1 (т1 +Р^ М (т2 " ^) , (5)

где т = + т2; 0 < ту < -1; 0 < т2 < Ni -1. Отметим, что на сдвигах, кратных периоду внутреннего кода т = mlNi (т2 = 0), значения периодической ВКФ (5) полностью совпадают со значениями периодических ВКФ оверлейных кодов на сдвиге т1:

Рк1 (m1Ni ) = Рр к1 (т1). (6)

Средняя мощность ПМД в ансамблях с каскадным кодированием. Выясним, насколько средняя мощность ПМД в ансамбле каскадных кодов отличается от теоретического нижнего предела 1/N [4], [5], т. е. оценим средний квадрат взаимных корреляций

Рггга = |Рк1 (т)| , к Ф 1, 0 < т < N -1, где усреднение осуществляется по всем парам сигна-

тур, а также по всем их возможным взаимным сдвигам:

Р2 = Prms

1

К (К -1) N

К N-1 2 К N-1 2

X X Рп1(т)- X X Рпк(т)

к,1=1 т =0 к=1 т=0

Воспользовавшись известным тождеством Сталдера-Кана [6], связывающим ВКФ с автокорреляционными функциями (АКФ) периодических последовательностей, придем к соотношению

2

Р2 = Prms

1

N-1

К (К -1) ^

К

X Ркк(т)

к=1

К 2

- X Р2к (т)

к=1

(7)

В случаях когда длина оверлейного кода на несколько порядков меньше длины внутреннего кода (Nov « Ni) (7), можно довольно точно предсказать потери в средне-

квадратическом уровне ПМД Рг^ относительно нижней границы 1/ N. Для этого следует

вернуться к соотношениям (5), (6), из которых можно видеть, что, когда боковые лепестки апериодических АКФ внутренних кодов достаточно малы, а периодическая АКФ оверлейного кода в силу его небольшой длины имеет значительные боковые пики, максимальные выбросы АКФ каскадного кода приходятся на сдвиги, кратные N, т. е. при значениях т1 = m/Ni, соответствующих заметным боковым выбросам периодической АКФ оверлейного кода. Это позволяет следующим образом оценить суммы в (7) в случае, когда все сигнатуры используют один и тот же оверлейный компонент:

К

X Ркк(т)

к=1

= К Рр (т1), тп =0;

К

X Ркк(т)

к=1

К

0, т2 Ф 0;

К 2 Г ~|2 К 2

Xpпk(т) = К |_Рр (т1)] , тп =0; Xpпk(т0, тпФ 0

к=1

к=1

где Рр (т1) - нормированная периодическая АКФ оверлейного кода.

В итоге среднюю мощность ПМД можно приближенно оценить как

NOV -1,

2 1 "OV "г -|2

Prms ^ Z LPP (m1 )J • (8)

N m1 =0

Как видно из (8), малый уровень боковых лепестков АКФ оверлейного кода достаточен для близости средней мощности ПМД к потенциальному минимуму 1/N. Для иллюстрации этого факта обратимся к радиоинтерфейсу L5 GPS, где дальномерный код периода 1 мс манипулируется оверлейным кодом, период которого в реальном времени составляет 10 мс. В роли оверлейной при этом выступает десятиэлементная последовательность Ньюмана-Хофмана + + + ъ----1---ъ-, периодическая АКФ которой приведена на рис. 1.

r

Просуммировав квадраты ее отсчетов, согласно (8) получим p1-ms «1.36/N, что означает

проигрыш по отношению к потенциалу 1/N на 1.34 дБ. Этот прогноз удивительно точно

r

соотносится с данными табл. 1, содержащей результаты прямого расчета prms по формуле (7) для ряда вариантов внутреннего кода при оверлейном коде в виде последовательности Ньюмана-Хофмана длины NOV = 10.

R 0.8 0.6 0.4 0.2 0

- 0.2

Таблица 1

0

4

Рис. 1

Длина внутреннего кода, Nj Тип ансамбля внутренних кодов p2ms, дБ 1/N, дБ

10 230 Укороченный Касами - 48.78 - 50.10

Укороченный Кердока - 48.76

Укороченный Голда - 48.79

Максимальные пики корреляций в ансамблях с каскадным кодированием. Полученные теоретические и численные результаты свидетельствуют, что рациональный выбор оверлейного компонента позволяет строить ансамбли каскадной конструкции со сред-неквадратическим уровнем ПМД, близким к нижней границе 1/ N. Наряду со среднеквадра-тическим уровнем показателем деструктивного влияния ПМД является и ее максимальный выброс. Известно, что для наилучших (минимаксных) сигнатурных ансамблей он близок к нижнему пределу [4]. Ограничимся рассмотрением каскадных конструкций с общим

оверлейным кодом для всех сигнатур. Обратимся к равенству (5) и заметим, что в пределах главного пика АКФ общего оверлейного компонента, т. е. при т1 = 0, значение ВКФ двух каскадных кодов складывается из отсчетов апериодической ВКФ внутренних кодов при сдвигах т2 и т2 - N1, взвешенных единичным весом и первым боковым лепестком АКФ

оверлейного кода соответственно. Первое из этих слагаемых при оверлейном коде с "хорошей" АКФ окажется преобладающим. В свою очередь, апериодическая ВКФ внутренних

последовательностей имеет выбросы, как правило, ощутимо превосходящие предел ,

r

6

8

т

0.04 0

- 0.041

- 0.08

0.04

0.040

- 0.04

- 0.08

0

2560

5120 Рис. 2

7680

0

2560

5120 Рис. 3

7680

и потому результирующий пик ртах ВКФ каскадных кодов заметно превысит 1 у N , даже

если ансамбль внутренних кодов является минимаксным, т. е. имеющим периодический корреляционный пик, близкий к этому пределу. Это означает существенное превышение корреляционным пиком ртах нижней границы 1/>[Ы. Как пример на рис. 2 показана ВКФ двух каскадных последовательностей, внутренними для которых служат последовательности Касами длины N = 1023, а общим оверлейным компонентом по-прежнему является код

Ньюмана-Хофмана длины Nov = 10. Как видно, в зоне малых сдвигов (0 < т < N1 -1) наблюдаются выбросы ВКФ до минус 21.9 дБ, многократно (на 18.2 дБ) превышающие граничное значение 1/>[Ы, которое для данной общей длины N = NiNov = 10 230 составляет минус 40.1 дБ. Отметим, что в отсутствие оверлейного компонента, т. е. для исходного ансамбля Касами длины N1 = 1023, максимальный пик равнялся бы минус 29.8 дБ, что на 8 дБ ниже, чем для получаемого каскадного кода вдесятеро большей длины. Одновременно в зоне больших сдвигов (N1 < т < N - N1) уровень выбросов ВКФ каскадных последовательностей существенно ниже, но все же заметно (на 4.7 дБ) превосходит потенциал 1/>[Ы. Из изложенного следует вывод, что наложение оверлейного компонента на минимаксные внутренние последовательности вряд ли целесообразно из-за ощутимого возрастания корреляционного пика ртах в ансамбле увеличенной длины N = NiNo-w.

Ситуация коренным образом меняется, если внутренние последовательности минимаксными не являются. Пусть, к примеру, в качестве внутреннего используется укороченный код Касами длины N1 = 10 230, для которого корреляционный пик вдоль оси задержек составляет минус 26.9 дБ [7]. На рис. 3 приведена ВКФ пары каскадных последовательностей длины N = 102 300, полученных манипуляцией внутренних компонентов указанного типа оверлейным кодом Ньюмана-Хофмана. Численный расчет дает максимальный корреляционный выброс в каскадном семействе, равный минус 30.5 дБ, что на 3.6 дБ меньше, чем в исходном ансамбле. На первый взгляд этот факт в свете предыдущего обсуждения может показаться парадоксальным, однако ему можно дать вполне адекватное объяснение. Из [4], [5] известно, что периодическая ВКФ рр ^ (т) последовательностей

длины N1 связана с их апериодической ВКФ ра ^ (т) равенством

к

к

т

т

Pp kl (m ) = Pa kl ( m ) + Pa kl ( m - Ni). (9)

В случае если внутренний ансамбль является минимаксным, достижение пиками периодических ВКФ уровня \j\jN~i является результатом взаимной компенсации слагаемых

(9), обеспечиваемой тонкой детерминированной настройкой структуры последовательностей. Это происходит несмотря на то, что в большом ансамбле последовательностей выбросы апериодической ВКФ заметно превосходят предел l/-y/N". Если же внутренний ансамбль не является минимаксным, слагаемые в (9) взаимодействуют по квазислучайному закону, так что пик периодической ВКФ может явиться продуктом суммирования двух больших апериодических пиков. Тогда апериодический корреляционный пик внутреннего ансамбля окажется заметно меньше периодического. Как показано ранее, наибольшие выбросы ВКФ каскадных кодов с общим оверлейным компонентом приходятся на зону малых задержек 0 < m < N -1, в которой периодическая ВКФ почти повторяет апериодическую ВКФ внутренних кодов. Это и ведет к снижению уровня корреляционного пика в каскадном ансамбле по сравнению с исходным внутренним. Тем самым, для ансамблей, исходно не являющихся минимаксными, оверлейная манипуляция может рассматриваться как инструмент уменьшения максимального выброса ПМД, несмотря на сохраняющуюся

недостижимость нижнего предела l/-\/N.

Статистика взаимных корреляций каскадных дальномерных кодов в доплеров-ских зонах. Сигналы различных КА ГНСС на входе пользовательского приемника могут иметь взаимный доплеровский сдвиг вплоть до десятков килогерц. Поэтому приведенные данные о корреляционных свойствах ансамбля в отсутствие частотных рассогласований следует дополнить информацией о статистике ПМД в характерных зонах доплеровских расстроек. Для каскадных сигналов с параметрами Nt = 10 230 (укороченные коды Голда)

и Nov = 10 (коды Ньюмана-Хофмана) радиоинтерфейса L5 GPS был проведен компьютерный расчет уровней ПМД в доплеровских полосах ±1 и ±5 кГц на сетке с узлами, отстоящими друг от друга на 250 Гц по частоте и на одну пятую длительности чипа по задержке. Результаты расчета представлены в табл. 2, содержащей значения длины кода N, максимального pmax и среднеквадратического prms выбросов ПМД, а также однопроцентного квантиля распределения ПМД P001. Для сравнения в таблицу включены данные, соответствующие нулевой доплеровской расстройке. Сравнив цифры второй (внутренний ансамбль) и третьей (каскадный ансамбль) строк таблицы, можно констатировать, что позитивный эффект оверлейного кодирования в части ослабления ПМД при доплеров-

Таблица 2

Ансамбль N Fa, кГц pmrs, дБ Fa, кГц

0 ±1 ±5 ±1 ±5

pmax, дБ P0.0b дБ

Внутренний 10 230 -26.6 -26.6 -26.6 -41.8 -35 -35

Каскадный 102 300 -28.1 -28.1 -28.1 -51.5 -41 -42

ских расстройках проявляется столь же отчетливо, что и без них. Подчеркнем особо, что статистические оценки интенсивности ПМД ( prms, Ро 01) реагируют на дополнение даль-номерного кода оверлейного компонента вполне ожидаемо, как если бы исходные коды длины Nj были заменены новыми длины N = N;Nov, удовлетворяющими при этой длине типовым критериям псевдослучайности.

Проведенное исследование корреляционных характеристик каскадных дальномер-ных кодов показало:

• что при рациональном выборе оверлейного кода средняя мощность ПМД в ансамбле каскадных сигнатур результирующей длины N близка к потенциальному нижнему пределу 1/ N;

• при оверлейном кодировании минимаксного внутреннего ансамбля пиковый уровень ПМД возрастает за счет разрушения тонкой структуры внутренних последовательностей;

• когда внутренний ансамбль заведомо не оптимален по корреляционным свойствам, его оверлейное кодирование может сопровождаться снижением не только средней мощности ПМД, но и ее пикового значения.

Список литературы

1. Description of the L1C signal / J. W. Betz, M. A. Blanco, Ch. R. Cahn et al. // Proc. ION GNSS 19th Int. tech. meeting of the satellite division, 26-28 Sept., 2006 / Fort Worth Convention Center. Fort Worth, TX, USA, 2006. P. 2080-2091.

2. Tran M. Performance evaluation of the new GPS L5 and L2 civil (L2C) signals // Navigation J. 2004. Vol. 51, № 3. P. 192-212.

3. Signal specification for the future GPS civil signal at L5 / A. J. Van Dierendonck, C. Hegarty, W. Scales et al. // Proc. of IAIN world congress, ION 2000 Annual Meeting, San Diego, CA, June 26-28, 2000. P. 232-241.

4. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 487 с.

5. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.

6. Кан С. Граничные значения для пиков корреляционных функций периодических дискретных последовательностей // ТИИЭР. 1964. Т. 52, № 10. С. 1362.

7. Варианты дополнения пользовательского интерфейса ГЛОНАСС дальномерными сигналами с кодовым разделением / С. Б. Болошин, Д. В. Гайворонский, В. П. Ипатов и др. // Новости навигации. 2009. № 3. С. 9-16.

V. P. Ipatov, D. S. Nepogodin

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

On the use of overlay codes in the GPS modernized air interface

Signature ensembles of cascade architecture to be used in the next generation GPS air interface are studied. The effect of overlay component on correlation parameters of ranging codes is analyzed towards calculating average and peak levels of multiple access interference both in the absence of Doppler shift between satellite signals and within typical Doppler zones.

Global navigation satellite system, GPS, GLONASS, overlay coding, Neuman-Hofman codes, multiple access interference

Статья поступила в редакцию 21 января 2010 г.