KÓP AǴZALILAR SAQIYNASIN DÚZIWDIŃ BAZIBIR USILLARI Текст научной статьи по специальности «Языкознание и литературоведение»

EURASIAN|OUmMOT__

ARTICLE INFO

EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 7.906 www.in-academy.uz

SOME METHODS OF FORMING A RING OF POLYNOMIALS

M.Asqarov

Associate Professor of the Department of Mathematics Teaching Methodology of Nukus State Pedagogical Institute named after Ajiniyaz

G.Allambergenova Assistant teacher of the Department of Mathematics Teaching Methodology of Nukus State Pedagogical Institute named after Ajiniyaz

J. M. Asqarova

Teacher of Nukus Academic Lyceum near Karakalpak State University https://doi.org/10.5281/zenodo.13284483 ABSTRACT

Received: 02nd August 2024 Accepted: 08th August 2024 Online: 09th August 2024

KEYWORDS Polynomials, sequences, vectors, the ring, multi-membered degrees.

The article considers the vector model of a ring of polynomials. This ring considers some properties of polynomials. All statements are provided with detailed examples with solutions

KOP AGZALILAR SAQIYNASIN DUZIWDIN BAZIBIR USILLARI

M. Asqarov

Ajiniyaz atindagi NMPI matematika oqitiw metodikasi kafedrasi docenti

G.Allambergenova

Ajiniyaz atindagi NMPI matematika oqitiw metodikasi kafedrasi assistent oqitiwshisi

J. M. Asqarova QMU janindagi Nokis akademiyaliq licey oqitiwshisi https://doi.org/10.5281/zenodo.13284483

ARTICLE INFO

ABSTRACT

Received: 02nd August 2024 Accepted: 08th August 2024 Online: 09th August 2024

KEYWORDS Ko'phadlar, ketma-ketlik, vektorlar, halqa, darajali ko'phadlar.

Ushbu maqolada ko'phadlar halqasining vector modeli keltirilgan. Bu halqada ko'phadlarning bazi xossalari ko'rib chiqilgan. Har biriga misollaryechimlari bilan ko'rsatilgan.

Kopagzalilar tusinigi kobinese sanlar maydanin keneytiw arqali kiritiledi. Yagniy bazibir P sanlar maydani x elementi jârdeminde belgili shârtler arqali keneytirilip, P[x] bir belgisizli kopagzalilar saqiynasi duziletugin edi.

Endi bizler kopagzali tusinigin târtiplengen sanli izbe-izlikler hâm vektorlardan paydalanip uyreniwdi qaraymiz.

Meyli P- bazibir maydan, n-teris emes putun san, x- belgisiz san bolsin. 1-aniqlama. P-maydan ustinde x- belgisizli n - dârejeli kopagzali dep fix) =f0+ fxx + f2X2 + ■■■ + fnxn, (1)

turdegi anlatpaga aytamiz.

EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 7.906 www.in-academy.uz

Bunda fk ( k = 0, ...,n) P-maydanniñ elementleri bolip, kópagzaliniñ koefficientleri, al fn * 0 bas koefficienti dep ataladi.

Dárejesi n = 0 bolgan kópagzali yagniy P-maydanniñ nollik emes elementleri skalyarliq element yamasa turaqli dep ataladi.

P-maydanniñ nollik elementide skalyarliq kópagzali bolip esaplanadi. P-maydan ústindegi x- belgisizli barliq kópagzalilardiñ kópligi P[x] arqali belgilenedi. Kópagzalini qisqasha tómendegishe jaziwga da boladi:

f(x)=rn=ofkxkfn*0 (la)

2-aniqlama. Eger eki f(x) hám g(x) kópagzalilarinda

1) olardiñ dárejeleri birdey;

2) barliq sáykes keliwshi koefficientleri teñ bolsa, onda olar teñ kópagzalilar dep ataladi.

Eger f(x) kópagzalisi (1) formula, al g(x) kópagzalisi

g(x) = g0 + gxx + g2x2 + ••• + gmxm ;gm*0 (2)

arqali berilgen bolsa, onda 2-aniqlamadagi 1 hám 2 shártler tómendegi kóriniste boladi:

1) n = m hám 2) qálegen k = 0,...,n ushin : fk = gk

Kópagzalilardiñ teñligi arifmetikaliq vektor-qatarlardiñ teñligine uqsasligin bayqaymiz. Bul qatarlardiñ uzinligi n + 1 ge teñ boladi.

f(x) kópagzalisina vektor-qatar sáykes qoyiladi

r = (f0,fvf2-,fn)

Bul jerde hárqiyli dárejedegi kópagzalilardi bir waqitta qaraw jagdayina baylanisli belgili qiyinshiliq kelip shigadi. Bul jagdayda sáykes vektorlar hár qiyli siziqli arifmetikaliq keñisliklerge tiyisli boladi, demek olardi qosiw múmkin emes. Onda koordinatlari sheksiz izbe-izlikti dúzetugin biraq tek koordinatlariniñ shekli sani nolden ózgeshe bolatugin sheksiz vektor-qatarlar túsinigin kiritiw arqali sheshiwge boladi:

ñ=(fo,fvf2 ...,fn,0,0,...);fk6P;k = 0,1.....n; fn * 0 (3)

(3) túrdegi vektorlar kópligin P^ arqali belgileymiz. Bul kópliktiñ elementleri ushin da qisqasha jaziw qollaniladi:

f = (fk)?=0i fn * 0 ; (V k > n) (fk = 0) (3a)

Elementleri P maydannan bolgan (fk)k=0 túrdegi barliq izbe-izliklerdiñ kópligi P™ simvoli arqali belgileymiz. Komponentler boyinsha qosiw hám skalyarga kóbeytiw ámelleri aniqlangan P™ kópligi P maydan ústinde siziqli keñislik bolip esaplanadi. P0° úles keñisligi P™ keñisliginde siziqli úles keñislik boladi. Bul úles keñisliktiñ ózi sheksiz ólshemli bolip esaplanadi. Kópagzalilar teñligi aniqlamasi boyinsha P[x] hám P0° kóplikleri arasinda tábiyiy biekciya bar boladi: f(x) ^ ftt

f(x) kópagzaliniñ (1a) qisqasha jaziliwin tómendegi formada jaziwga boladi f(x) = Z<¡?=ofkxk; fn*0;(vk>n)(fk = 0) (1b)

Eger P^ de k > n nomerlerde barliq fk lar nolge aylanatugin (fk)k=0 izbe-izliklerden bolgan úles kópligin ajratip alsaq, onda Pn+X ge izomorfli bolgan shekli ólshemli siziqli keñislik payda boladi. Bul úles keñisliktiñ vektorlarina dárejesi berilgen n saninan asip ketpeytugin kópagzalilar juwap beredi; bunday kópagzalilar kópligi Pn[x] arqali belgilenedi.

EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 7.906 www.in-academy.uz

Kópagzalilardi vektorliq formada añlatiw járdeminde kópagzalilardiñ teñligine arnalgan (2) aniqlamani keltirip ótiwge boladi: eki kópagzali tek sáykes vektorlari teñ bolganda gana teñ dep esaplanadi.

(f(x) = g(x) ~fI = gI) Aniqlama boyinsha hárbir kópagzaliga oniñ dárejesi dep atalatugin teris emes pútin san sáykes qoyiladi. Bul san dárf(x) yamasa dár f arqali belgilenedi. Usilayinsha berilgen maydanda barliq nollik emes kópagzalilar kópliginen barliq teris emes pútin sanlar kópligine sáwlelendiriwshi "dáreje" funkciyasi payda boladi:

dár: P[x]\{0}^ Nu{0}; f(x)^ dár f(x);f(x)eP[x]; f(x>0 (4)

Ayirim waqitlarda dár funkciyasin nolinshi kópagzalilarga da paydalanadi,bunda

dár(0) =

(5)

P[x] kopagzalilar kopligi ham P0° siziqli kenislik arasindagi biekciya bolgani ushin kopagzalilar vektorlardagiday principte komponentleri boyinsha qosiladi ham skalyarga kobeytiledi. Bul f(x) ham g(x) kopagzalilari qosilganda saykes darejelerinin koefficientleri qosilatuginin anlatadi. Yagniy

h(x) = f(x) + g(x) ushin hk = fk + gk (k = 0,1,2 ...) (6)

Meyli berilgen kopagzalilar (1) ham (2) formulalar menen aniqlansin. Bul jagdayda k > max(n,m) koefficientlerdin barligi nollik boladi. Eger n*m yamasa n = m bolsa, onda tomendegishe aniqlanadi.

1-qagiyda: dar(f(x) + g(x)) < max(dar(f(x)),dar(g(x))) (7) Eger dar(f(x)) * dar(g(x)) bolsa, onda (7) tensizlik tenlikke aynaladi. 1-misal. 5 moduli boyinsha shegirmeler klassinin maydani F5 te eki kopagzalini qaraymiz:

f(x) =4x2 +x + 3; g(x) = x2 + 2x + 2

Bul kopagzalilarda algabraliq qosiw ham aliw amellerin orinlasaq: f(x) + g(x) = 3x; f(x) - g(x) = 3x2 + 4x + 1

Demek, P maydanda P[x] kopagzalilar k6pligiP0°° siziqli kenisligine izomorfli bolgan siziqli kenislikti duzedi.

P0f ke tiyisli bolgan har qanday vector-qatar basis qatarlardin siziqli kombinaciyasi korinisinde anlatiladi:

T^^of^ (8)

Bazis qatarlarga kopagzalilar kenisliginde basis kopagzalilar(biragzalilar) saykes qoyiladi: e0t: ga skalyar 1 saykes; e-^ ge x biragzali; e2t ge x2 ham t.b. saykes qoyiladi. (1) formula mazmuni boyinsha f(x) kopagzalini bazislik xk biragzalilarga jiklewdi anlatadi.

Meyli n-darejeli f(x) kopagzalisi (1b) formulasi, al m-darejeli g(x)kopagzalisida sonday formula arqali berilgen bolsin:

g(x) = lf=o di*1; 9m* 0 ; (¥l>m)(gl = 0) (2b)

Endi olardin kobeymesi bolgan h(x) = f(x) • g(x) kopagzalinin jaziliwin tabamiz. Qosindi indeksin jana harip s ke ozgertemiz. h(x) ushin jikleniwinde xs (s > 0) darejeler kobeyme xs = xk • xl natiyjesi retinde alinadi, bunda k ham l qalegen teris emes putin sanlar, k + I = s. Korsetilgen kobeymelerdin har birinde fk • gi ge ten bolgan koefficientler payda boladi.

EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 7.906 www.in-academy.uz

Gruppalaw ham xs ti qawistin sirtina shigargannan keyin tomendegi koefficientlerge iye

bolgan hsxs biragzali payda boladi.

(9)

hs = fods + flds-1 + - + fs-ldl + fsdo = Zk>o,i>ofkgi

k+l=s

Bul qosindi da qosiliwshilar sani s+1 ge ten boladi, biraq ta olardin bazibirleri nolge ten boliwi mumkin: fk koefficienti k > n bolganda, gi saykes I > m bolganda nolge ten boladi. Demek, hs koefficienti s > n + m bolganda nol boladi. Bul waqitta hs+m ^ 0 boladi, sebebi

hs+m = fngm (10)

Skalyar (10) h(x) kopagzalinin bas koefficienti boladi.

2-qagiyda: dàr(f(x) • g(x)) = dàr(f(x)) + dàr(g(x)) (11)

Demek, P[x] kopliginde qosiw ham skalyarga kobeytiw ameli menen birge (9) formula jardeminde ushinshi algebraliq amel kobeytiw aniqlangan boladi.

Juwmaginda P maydanda berilgen P[x] kopagzalilar kopligi (6) ham (7) formulalar arqali berilgen algebraliq qosiw ham kobeytiw amelleri menen kommutativlik saqiyna duzedi.

References:

1. Sh.A.Ayupov, B.A.Omarov, A.X.Xudoyberdiev, F.H.Haydarov, Algebra vasonlarnazariyasi, Toshkent "Tafakkurbo'stoni" 2019, 295 b. (o'quvqo'llanma)

2. Nazarov R.N.,Toshpo'latov B.T., Dusumbetov A.D., Algebra va sonlar nazariyasi, I - qism 1993 y., II - qism, 1995 y.

3. Vinberg. E.B. Algebra mnogochlenov. Moskva-1980g. 175str.