К определению глубинных напряжений в области контакта упругих цилиндров Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ГЛУБИННЫХ НАПРЯЖЕНИИ В ОБЛАСТИ КОНТАКТА УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ

© 2013 г. Г.А. Журавлев, А.Д. Азаров, И.С. Бабенко

Журавлев Герман Александрович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий отделом конструктивной прочности, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И.И. Воро-вича Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: niimpm@ns.math.sfedu.ru. Азаров Анатолий Дмитриевич - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий отделом, сложных информационно-измерительных систем, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета, пр. Стачки 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: niimpm@ns.math.sfedu.ru. Бабенко Ирина Сергеевна - инженер, Научно-исследователький институт механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федеральнрого университета, пр. Стачки 200/1, г. Ростов-на-Дон,у 344090, e-mail: niimpm@ns.math.sfedu.ru.

Zhuravlev German Alexandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Researcher, Head of the Constructive Durability Department, Scientific Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics by I.I. Vorovich of the Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: niimpm@ns.math.sfedu.ru. Azarov Anatoly Dmitrievich - Candidate of Physical and Mathi-cal Science, Associate Professor, Head of the Complex Informational-Measuring Systems Department, Scientific Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics by I.I. Vorovich of the Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: niimpm@ns.math.sfedu.ru. Babenko Irina Sergeevna - Engineer, Scientific Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics by I.I. Vorovich of the Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: niimpm@ns.math.sfedu.ru.

Предложено решение задачи определения глубинных напряжений для нагруженных контактным давлением цилиндров. Выполнен сравнительный анализ полученных результатов с классическим решением Беляева, основанном на моделировании исследуемого цилиндра полупространством. Выявлены взаимосвязи факторов контакта упругих цилиндров, не отмеченные ранее в литературе. Показано, что универсальное применение в теории и практике контактных расчетов приема моделирования контактирующих тел полупространством может приводить к значительным погрешностям при расчетах глубинных напряжений в зоне контакта.

Ключевые слова: глубинные напряжения, упругие цилиндры, контактное давление, полупространство.

The solution of a problem of determination of deep stresses for the cylinders being loaded by contact pressure is offered. The comparative analysis of the obtained results with Belyaev's classical solution, based on modeling of the studied cylinder by semispace was carried out. Correlations of previously unknown contact's factors (features) of the elastic cylinders are revealed. It is shown that the universal application in the theory and practice of contact calculations based on modeling of contacting bodies by semispaces can lead to considerable errors at calculations of deep stresses in a contact zone.

Keywords: deep stresses, elastic cylinders, contact stress, semispace.

Н.М. Беляевым [1] дано классическое решение задачи определения глубинных напряжений при эллиптической площадке контакта упругих круговых цилиндров бесконечной длины (в общем случае, когда цилиндры не параллельны). Считается, что относительные величины максимальных касательных напряжений xmax/azmax и глубины их залегания hzmax/b в области контакта упругих круговых цилиндров не зависят непосредственно от кривизны контактирующих тел. Здесь и далее a и b - размеры большой и малой полуосей эллиптической площадки контакта соответственно; azmax - максимальное контактное напряжение.

Считается также [1] ЧТО Tmax/azmax и hmax/b

определены только одним параметром b / a формы площадки их контакта (табл. 1).

В основу результатов [1] положены решения плоской и пространственной контактных задач Герца и решение Буссинеска-Черутти с заменой исследуемого цилиндра полупространством.

Таблица 1

Традиционная оценка максимальных касательных напряжений и глубины их залегания в области контакта упругих круговых цилиндров

Отношения НТК НЛК

b / a 1 0,95 0,8 0,6 0,2 0,1 0

т / ^ 'ma^^ z max 0,31 0,31 0,31 0,32 0,32 0,31 0,300

h / b "т mar u 0,50 0,50 0,55 0,62 0,75 0,77 0,786

Таблица 1 содержит соотношения (традиционно считающиеся универсальными), полученные по классическому решению Н.М. Беляева [1] и определяющие величины максимальных касательных напряжений и глубины их залегания для случаев начально-точечного и начально-линейного касаний (НТК и НЛК). При этом здесь исключена повторяемая многими авторами опечатка, допущенная в [1] и отмеченная позже Б.С. Ко-

вальским [2]: для НЛК дано правильное значение

Vax = 0,300а z max вместо Vax = 0,304а z max •

Считается, что при контакте двух цилиндров в них возникают одинаковые напряжения, даже если эти цилиндры разные. Надо отметить, что традиционный подход имеет место и в современной расчетной практике [3].

Согласно табл. 1, для НЛК при любых значениях радиусов контактирующих цилиндров Rc и Rb максимальное по модулю значение касательных напряжений xmax = 0,300а z max [2] достигается на глубине hx max = 0,786b в обоих цилиндрах.

В настоящей статье поставлена задача выявления и оценки уровня зависимости основных параметров действия максимальных касательных напряжений (их величины и глубины залегания) от радиуса рассматриваемого цилиндра и ширины площадки контакта без использования решений Буссинеска-Черутти и замены исследуемого цилиндра полупространством.

Различие между классическими и полученными здесь результатами рассмотрено на примере решения задачи определения глубинных напряжений для нагруженного контактным давлением цилиндра в соответствии с условиями начально-линейного касания контактирующих параллельных цилиндров. Расчет напряжений выполняется для одного из цилиндров с радиусом Rc (для цилиндра Rb напряжения рассчитываются аналогично).

Для оценки уровня зависимости основных параметров действия максимальных касательных напряжений (их величины и глубины залегания) от радиуса цилиндра и ширины площадки контакта использовано точное решение задачи Н.И. Мусхелишвили [4] о сжатии отдельно взятого цилиндра противоположно направленными силами:

ах(гьюьr2,ю2) =-aHiX)(2A + 1Л2 -L ) ;

л и

аz(п,ю ьГ2,и2) = -(2Bi + 2B2 -Lpa) ;

л и

т(Г1,юьГ2,®2) = 2аH (x) (C1 + С2) , л

2 3

_0(sinak) • cosю . _ (oosfflk)_.

где Лк = 2-; Bk = 2-;

rk

rk

Рис. 1. Рассчитываемый цилиндр (нагруженный противоположно направленными силами F, смещенными относительно оси z)

Lp1 = Rc • sin a ; Lp2 = Rc (1-cos a); Lppp = 2Rc • cos a;

x - L

pi __ L

Lp3 = Lpp + Lp2 • = arctg(--—) ; ю2 = arctg(-—)

_ - L

'pl\ •

z - L

■p2

Lp3 - z

_ - L

rl =-

— • r2 =yj(_ - Lp1)2 + (Lp3 - z)2 •

sin roj

В расчетах параметров герцевского закона распределения контактного давления приняты одинаковые упругие свойства материалов (модуль Юнга

E = 2 • 105 МПа, коэффициент Пуассона ц = 0,28) для всех рассчитываемых цилиндров.

Аналогично [5] решение задачи о действии на цилиндр герцевского контактного давления запишем в виде

ст^ = _ а a^(a) ^ ^(а) + ^2(а) _L (а))Rcda .

~аь л

ст^ = _ а ^ (Bi (а) + В2 (а) _ l (а))Rcda ;

„л

_аь

х = _2 / °н (а) • (С1 (а) + Ж2(а))Rcda,

-аь

sinro¿ • (cos )

Ck =-k-k— , k=1,2; стх(x,z) , az(x,z) -

rk

нормальные напряжения, направленные параллельно осям Ох и Оz соответственно (рис. 1); г(x, z) - касательные напряжения; <зн (x) - значение контактной силы в точке х.

При решении использованы следующие допущения: полуширина площадки контакта Ьн и закон распределения контактного давления <зн (x) определяются по формулам плоской контактной задачи Герца, но при этом контактная нагрузка распределена по поверхности цилиндра.

Величины ri, , Г2, ®2 (рис. 1) вычисляются для каждой расчетной точки (x, z) по формулам:

где Ak (a) = 2 •

2

(sin ю k (a)) • cos ®k (a)

rk(a)

Bk (a) = 2

(cos fflk (a))3 rk (a)

Ск (а) = ™ Юк (а)' (С° Юк (а)) , к=1,2.

Гк (а)

Здесь аь - центральный угол сектора окружности радиуса Rc, охватывающий дугу этой окружности длиной Ьн; стя (а) - нагрузка, соответствующая герцевскому закону он (аRc).

При применении этих формул для расчета касательных напряжений в точках, лежащих на оси ъ (рис. 1), максимальные касательные напряжения рассчитыва-

ем по формуле x(n,ю1;Г2,®2,ф)= (стz(п,ю1,Г2,ю2)--a x (ri, ®i, Г2, ®2))/2 •

На рис. 2, 3 и в табл. 2, 3 представлен сравнительный анализ полученных результатов для цилиндра Rc без использования решений Буссинеска-Черутти при разных сочетаниях радиусов Rc и Rb контактирующих цилиндров (пунктирная линия - классическое решение; сплошная линия - уточненный результат). Соответствие результатов классическому решению (табл. 1) подтверждено лишь для параметров, ограниченных областью приблизительно bH / Rc < 2 -10-4 для тел с большим радиусом кривизны и/или малыми контактными напряжениями a z max.

Выявлена зависимость от параметра bH / Rc отклонения значений максимальных касательных напряжений и глубин их залегания относительно общепринятых их величин Tmax = 0,300az max и К max = 0,786Ья (табл. 2).

Таблица 2 показывает, что при любых значениях Rc критериальным параметром оценки роли Rc и глубинных напряжений является параметр bH / Rc .

Здесь использованы обозначения A(xmax/azmax) -отклонение величины xmax/ a z max от значения 0,300 % ; A(hxmax/bH) - отклонение величины hxmax/bH от значения 0,786 %.

Результаты расчетов (рис. 2, 3) показывают, что значения xmax/azmax и hxmax/bH не остаются постоянными при изменении Rc , а отклонения (от данных табл. 1) величин xmax/azmax и hxmax/Ьн имеют ярко выраженные закономерности: величины xmax/azmax и hxmax/Ьн сохраняют свои значения при неизменном отношении bH / Rc ; величины

xmax/az max и hx max/Ьн (а также уровень их отклонения от классического решения [1]) возрастают по мере увеличения параметра bH / Rc .

Таблица 3 показывает, что при фиксированном радиусе цилиндра Rb значения xmax/az max и hx max/Ьн не остаются постоянными при варьировании размера рассчитываемого цилиндра Rc .

Графики на рисунках наглядно показывают зависимости отклонений величин xmax/az max и

hx max/Ьн от значения радиуса рассчитываемого цилиндра Rc (рис. 2), от величины максимальных контактных напряжений az max (рис. 3) и от параметра bH /Rc (рис. 4). Например, при bH /Rc = 0,14 классическое решение дает занижение результатов по величинам xmax (на 10,6 %) и h (на 5,3 %).

Таблица 2

Максимальные касательные напряжения и глубины их залегания в цилиндре, нагруженном герцевским контактным давлением, при яь = 109 мм и различных значениях ^

Rc , мм Ьн Rc max, МПа Tmax ^ z max h т max Ьн Д( Tmax ) ,% °z max л j-hTmax^ ,% bH

10' < 0,0002 < 11 0,300 0,786 < 0,1 0

0,02 1086 0,304 0,791 1,5 0,7

0,06 3258 0,313 0,802 4,4 2,0

0,08 4345 0,318 0,808 5,9 2,8

0,10 5431 0,322 0,814 7,4 3,6

0,12 6517 0,327 0,821 9,0 4,4

0,14 7603 0,332 0,828 10,6 5,3

105 < 0,0002 < 11 0,300 0,786 < 0,1 0

0,02 1085 0,304 0,791 1,5 0,7

0,06 3256 0,313 0,802 4,4 2,0

0,08 4341 0,318 0,808 5,9 2,8

0,10 5426 0,322 0,814 7,4 3,6

0,12 6511 0,327 0,821 9,0 4,4

0,14 7596 0,332 0,828 10,6 5,3

103 < 0,0002 < 11 0,300 0,786 < 0,1 0

0,02 1085 0,304 0,791 1,5 0,7

0,06 3255 0,313 0,802 4,4 2,0

0,08 4340 0,318 0,808 5,9 2,8

0,10 5425 0,322 0,814 7,4 3,6

0,12 6510 0,327 0,821 9,0 4,4

0,14 7595 0,332 0,828 10,6 5,3

10 < 0,0002 < 11 0,300 0,786 < 0,1 0

0,02 1085 0,304 0,791 1,5 0,7

0,06 3255 0,313 0,802 4,4 2,0

0,08 4340 0,318 0,808 5,9 2,8

0,10 5425 0,322 0,814 7,4 3,6

0,12 6510 0,327 0,821 9,0 4,4

0,14 7595 0,332 0,828 10,6 5,3

Таблица 3

Максимальные касательные напряжения и глубины их залегания в цилиндре, нагруженном герцевским контактным давлением с о г тах=5500 МПа, для различных значений радиуса Rc

Rb, мм Rc, мм Ьн Rc ^max ^ z max К max Ьн Д( xm ax ) , % ^ z max max^ , % Ьн

1 0,01 0,1 0,322 0,815 7,5 3,7

0,1 0,092 0,320 0,812 6,8 3,3

1 0,051 0,311 0,799 3,7 1,7

10 0,009 0,302 0,789 0,7 0,3

50 0,002 0,300 0,787 0,2 0,1

100 0,001 0,300 0,787 0,2 0,1

500 0,0002 0,300 0,786 0,1 0

1000 0,0001 0,300 0,786 0,1 0

10 0,01 0,101 0,323 0,815 7,5 3,7

0,1 0,1 0,322 0,815 7,5 3,65

1 0,092 0,320 0,812 6,8 3,3

10 0,051 0,311 0,799 3,7 1,7

50 0,017 0,304 0,791 1,3 0,6

100 0,009 0,302 0,789 0,7 0,3

500 0,002 0,301 0,787 0,2 0,1

1000 0,001 0,300 0,786 0,2 0,1

100 0,01 0,101 0,323 0,815 7,5 3,7

0,1 0,101 0,323 0,815 7,5 3,7

1 0,1 0,322 0,815 7,5 3,7

10 0,092 0,320 0,812 6,8 3,3

50 0,068 0,315 0,804 5,0 2,3

100 0,051 0,311 0,799 3,7 1,7

500 0,017 0,304 0,791 1,3 0,6

1000 0,009 0,302 0,789 0,7 0,3

а б

Рис. 2. Максимальные касательные напряжения (а) и значения глубины их залегания (б) в зависимости от радиуса рассчитываемого цилиндра Rc

а б

Рис. 3. Максимальные касательные напряжения (а) и значения глубины их залегания (б) в зависимости от полуширины

площадки контакта Ьн

Рис. 4. Максимальные касательные напряжения (а) и значения глубины их залегания (б) в зависимости от параметра

Ьн / Rc

При этом зависимость ттах от Rc в рамках плоской задачи (Ьн / а = 0) заметно сильнее, чем традиционно считающаяся универсальной зависимость ттах только от размера площадки контакта Ьн .

Выводы

1. На примере анализа плоского состояния упругого цилиндра, нагруженного контактным давлением, показано, что величины максимальных касательных напряжений и глубины их залегания существенно зависят от радиуса этого цилиндра и ширины площадки контакта контактирующих тел.

2. В качестве критерия оценки влияния радиуса цилиндра на величины максимальных касательных напряжений и глубины их залегания определен параметр Ьн / Rc.

3. Традиционное представление о зависимости величины максимальных касательных напряжений и глубины их залегания только от формы площадки контакта не является универсальным, носит частный характер и применимо лишь для параметров, приблизительно ограниченных областью Ьн / Rc ^ 2 -10"4, т.е. для тел с большим радиусом кривизны Rc и/или с малыми контактными напряжениями о 2 тах.

4. Превышение величины максимального касательного напряжения относительно полученного

классического значения т„

. = 0,300az

растет с

увеличением отношения Ьн / Rc и, например, при Ьн / Rc = 0,14 достигает уровня 10,6 %.

5. Превышение по глубине залегания максимальных касательных напряжений относительно полученного классическим решением значения йх тах = 0,786Ьн растет с увеличением Ьн / Rc и достигает, например, при Ьн / Rc = 0,14 уровня 5,3 %.

6. Уменьшение значения параметра Ьн / Rc приводит к монотонному снижению величин ттах/о г тах и тах/Ьн с их асимптотическим приближением к традиционным константам 0,300 и 0,786 соответственно.

7. Универсальное использование в теории и практике контактных расчетов решений Буссинеска-Черутти (с моделированием контактирующих тел полупространством) может приводить к значительным погрешностям при расчетах глубинных напряжений в зоне контакта.

Литература

1. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности.

М., 1957. 632 с.

2. Ковальский Б.С. Расчет деталей на местное сжатие.

Харьков, 1967. 222 с.

3. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия.

М., 1989. 509 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи мате-

матической теории упругости. М., 1966. 707 с.

5. Азаров А.Д., Бабенко И.С., Журавлев Г.А. Анализ влия-

ния кривизны упругих тел на напряженно-деформированное состояние в зоне их контакта // Совр. проблемы механики СС: тр. XV Междунар. конф., г. Ростов-на-Дону. 4-7 декабря 2011 г. Т. I. Ростов н/Д, 2011. С. 6-10.

Поступила в редакцию

11 октября 2012 г.

б

а