Анализ влияния кривизны контактирующих упругих цилиндров на их напряженное состояние Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ КОНТАКТИРУЮЩИХ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ НА ИХ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

© 2013 г. А.Д. Азаров, Г.А. Журавлев, И.С. Бабенко

Азаров Анатолий Дмитриевич - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий отделом сложных информационно-измерительных систем, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: polyani49@mail.ru.

Журавлев Герман Александрович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий отделом конструктивной прочности, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: zhuravl@ms.math.rsu.ru.

Azarov Anatoliy Dmitrievich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Head of Complex Informational-Measuring Systems Department, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail:polyani49@mail.ru.

Zhuravlev German Aleksandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Scientific Researcher, Head of the Constructive Durability Department, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: zhuravl@ms.math.rsu.ru.

Бабенко Ирина Сергеевна - инженер, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090.

Babenko Irina Sergeevna - Engineer, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090.

Выполнено исследование влияния кривизны упругого кругового цилиндра на напряжения в сечении и на поверхности при его сжатии контактными силами. Численные результаты показывают характер разницы напряженного состояния в полупространстве и в цилиндре при одинаковых распределениях контактных давлений. Проведенный сравнительный анализ напряженного состояния в упругих телах при наличии их кривизны и при ее отсутствии позволяет сделать обоснованные прогнозы о влиянии кривизны на напряженно-деформированное состояние в ограниченных телах. Результаты данной работы полезны для более достоверной оценки роли кривизны, в том числе при разработке инженерных конструкций и механизмов, имеющих области контакта.

Ключевые слова: контакт упругих цилиндров, напряженное состояние, кривизна, полупространство.

The analysis of the effect of the curvature of an elastic circular cylinder upon the stresses in the cross section and on the surface, when the cylinder is compressed by contact forces was carried out. Numerical results show the difference of the stress state within the semispace and within the cylinder at the same contact pressure distribution. The comparative analysis of the stress state in elastic bodies with and without curvature allows making reasonable forecasts about the influence of curvature upon the stressed state in restricted bodies. Present results are useful for more accurate assessment of the role of curvature, including development of engineering designs and mechanisms with contacting areas.

Keywords: contact of elastic cylinders, stress, curvature, semispace.

Предварительный анализ проблемы показывает, что для использования скрытых резервов контактной прочности необходимо развитие методов расчета, более точно учитывающих влияние кривизны на напряженно-деформированное состояние контактирующих тел, нежели традиционный аппарат расчета на основе формул Герца и Буссинеска-Черутти. Исследованиями [1, 2] роли кривизны контактирующих тел было показано существенное занижение оценок этого фактора в теории и практике контактных расчетов. В частности, выявлены скрытые резервы значительного роста контактной прочности тел с проявлением компенсационных деформаций области локализованного контакта [1] и увеличение глубинных напряжений в зоне контакта упругих круговых параллельных цилиндров [2].

Анализ результатов [2] свидетельствует о росте выявленного эффекта с уменьшением радиуса исследуемого цилиндра. В этой связи становится весьма актуальной оценка контактного взаимодействия тел с малыми радиусами кривизны вплоть до микромеханических систем, создаваемых технологическими методами микроэлектроники.

Действительно, даже многие обычные (не относящиеся к микротехнике) и весьма распространенные контактные узлы машин имеют контактные поверхности с радиусами кривизны менее 5 мм. Например, в точке полюса зацепления эвольвентной цилиндрической зубчатой передачи приведенный радиус кривизны (исходя из теоремы Эйлера-Савари) определен как

sin atwu z,

р = a—-—; u = —, где aw - межосевое расстоя-

(u + i)2 Z

ние зубчатой передачи; 21 и - числа зубьев меньшего и большего зубчатых колес; аы - угол зацепления. При этом радиус кривизны Я торцового профиля зубьев отдельно взятого зубчатого колеса может быть меньше 5 мм. Так, для прямозубой передачи по ГОСТу 9587-81, выполненной с модулем т=0,1 мм и стандартным исходным контуром, радиус кривизны торцового профиля зубьев в расчетной точке (при числе зубьев 2=15) равен Я = 0,256 мм. В микротехнике используются зубчатые колеса с еще меньшими радиусами кривизны.

Цель настоящей работы - показать роль кривизны упругого кругового цилиндра малого радиуса в формировании напряжений при его сжатии контактными силами без влияния компенсационных деформаций контактных элементов (в плоском случае) на проявление негерцевских взаимосвязей основных факторов [1].

Влияние кривизны контактирующих цилиндрических тел на напряженное состояние исследовано путем сравнения решений задач в плоской постановке для полупространства и цилиндра (при разных значениях кривизны последнего). Варьирование кривизны направлено на определение условий, которые формируют напряженно-деформированное состояние, обеспечивающее повышение кратковременной и длительной прочности.

Рассматривается одна из проблем теории контактного взаимодействия тел сложной формы - проблема негерцевских взаимосвязей основных факторов контакта и скрытых резервов роста его несущей способности. Как прикладной результат, выполненный ана-

лиз дает возможность уточнения методов расчета различных контактных и трибоконтактных узлов и объяснения противоречивости теории и практики контактных расчетов в машиностроении.

Ниже исследуются напряжения в цилиндре заданного радиуса Яс и полупространстве, возникающие при их контакте (в этом случае приведенный радиус кривизны р = Яс). Контакт цилиндра (рис. 1) осуществляется под действием силы q, имеющей смысл удельной нагрузки, которая распределяется по поперечному сечению в области контакта шириной 2ЬН . Для сравнения размер зоны контакта и распределение напряжений взяты в соответствии с формулами Герца

СТН (х) = zmax • ^Цх/ьН?

(1)

где bH - полуширина площадки контакта;

К = 2; ; л = Ь^2 + 1

Ei

E,

а.

q

Л •Ц • p

(2)

р - приведенный радиус кривизны; п - характеристика податливости контактирующих материалов; -коэффициенты Пуассона; Еь Е2 - модули упругости материалов контактирующих тел.

Из этих формул вытекают соотношения

д = , Ън = 2-ч-Р-агтх. Отсюда виден

характер зависимостей удельной силы и ширины области контакта от приведенного радиуса кривизны р и максимального давления тах.

Рис. 1. Область сравнения двух решений

Л

Постановка двух задач

В основу анализа напряженного состояния положены точные решения и принцип суперпозиции для учета распределенного характера контактной нагрузки. Для решения задачи с цилиндром использовано точное решение Мусхелишвили [3] при сжатии взаимно уравновешенными силами, а для полупространства - точное решение при единичной нагрузке в поперечном сечении, изложенное Новацким [4] (задача Буссинеска-Черутти). Анализ влияния кривизны выполнен через сравнение решений этих задач (полупространство можно рассматривать как предельный случай цилиндра с бесконечно большим радиусом).

Вычисления и сравнение значений напряжений с полупространством проводились в области, соответствующей размерам цилиндра, обозначенной на рис. 1. В силу симметричности расчетной области и схемы ее нагружения ограничиваемся рассмотрением только одной четверти цилиндра. В задаче Мусхелишвили силы приложены так, как показано на рис. 1. В случае полупространства в нижней части наблюдается затухание напряжений. Для обозначенной на рис. 1 контактной нагрузки значения напряжений в левой и правой частях цилиндра и полупространства симметричны относительно оси 07.

Задача о цилиндре

Значения напряжений для распределенного контактного давления ан (а) рассчитываются по формулам [2, 5]:

ьа ан(а) (ъта^а))2 ■ сгаа^

Хх (г1,®1= Г2,®2)--(2--+

rx(a)

+ 2

(sin со2 (a))2 • cos со2 (a) ^(a)

- Lpa(a)) da ■

Z2 (r , r ) = -• (2 •(C0SC(a))3 +

ri(a)

лом а , который изменяется в диапазоне ba], где

Ьа-^ (рис. 1). К

Рассчитываются не только нормальные и касательные напряжения в декартовой системе координат, но и инварианты: шаровая часть тензора напряжений, интенсивность касательных напряжений.

Для анализа напряженного состояния целесообразно использовать инвариантные характеристики тензора напряжений, используемые для прогноза прочностных свойств. Шаровая часть тензора напряжений (среднее давление)

^ = (Xx + Zz + Yv )/3

(4)

+ 2

(cos с2 (a)) rz(a)

- L Pa (a)) da,

(3)

Xz OiC r2,c2) = -2 J

gh (a) sine (a) • (cos с (a))2

sine (a) • (cose (a))2 rz(a)

■)da ■

ri(a)

определяется в соответствии с условием для компоненты напряжений Yy в плоской задаче Yy= V Zz).

Интенсивность касательных напряжений (ИКН) определяется по формуле

- Zz)2 + (Zz -Xx)2 + (Xx - Yy )2 + 6• Xz2 . (5)

где X х, - нормальные напряжения, направленные параллельно осям Ох и Оz, соответственно; Хг - касательные напряжения; величины г,Гвычис-ляются с учетом угла а для каждой расчетной точки z) в соответствии с [3] аналогично [2]. В формулах задачи о цилиндре использован закон распределения контактного давления, соответствующий (1), но при этом давление распределено по криволинейному профилю цилиндра с условием сохранения размера зоны контакта 2bH. Точки приложения элементарных контактных сил лежат на поверхности цилиндра и имеют соответствующее изменение глубины приложения сил (в отличие от полупространства, где силы находятся на одной плоскости). Силы трения не учитываются. Положение элементарной силы контакта зоны определяется уг-

= Гв

Для расчета напряжений на поверхности цилиндра выполняется поворот тензора напряжений [4] на заданный угол и между горизонтальным направлением и нормалью к поверхности (рис. 2):

Xnn г2,ю2,ф) = Хх 01,®!, г2,®2) • cos2 р +

+ Zz (r, ю, r, Ю) • sin2 р + Xz (r, ю, r, ю2) • sin(2 • р), Zss(ri,®i,Г2,®2,р) = Xx(ri,®i,r2,®2)• sin2 р+ (6) + Zz(г1,ю1,г2,ю2)• cos2 р-Xz(г1,ю1,г2,ю2)• sin(2•(),

Xns (г1,Ю1. Г2,Ю2,Р) = 1 • (Zz (r1,®1, Г2,Ю2) -

-Xx(г1,ю1,г2,ю2)) • sin(2•() + Xz(г1,ю1,r2,a2) • cos(2•().

Здесь Xm - напряжение, нормальное к профилю цилиндра; Zss - напряжение, направленное по касательной к профилю цилиндра; Xm - касательное напряжение на профиле цилиндра.

Рис. 2. Точки расчета напряжений в цилиндре (точки сравнения напряжений двух задач - цилиндра и полупространства)

b

b

a

b

Ж

b

Задача о полупространстве

Для расчета напряжений от действия в начале системы координат силы о\ в случае полупространства использовались формулы плоской задачи теории уп-

ругости [4]: ст^ (х, z) = -

2 z3

2 ■ CTj

(z2 + х2)2

CTzz (х, z) =

п (z2 + х2)2

Г„ (х, z) =-

z2 ■х

п (z2 + х2)2

где сгхх (х, г), (х, г) - нормальные напряжения, направленные параллельно осям Ох и Оz соответственно; тх2(х, г) - касательные напряжения (рис. 2).

В случае полупространства (рис. 1) глубина приложения сил остается постоянной (г = 0). Контактная нагрузка представляет собой распределение элементарных сил по закону (1). Формулы для напряжений, порождаемых каждой элементарной контактной силой в точке % , принимают вид

~ 2 (%) г-(х-%)2

T*z (х z,y) = -

п (z2 + (х - y)2)2

2 сти y) z3

п (z2 + (х - y)2)2

2 У) z 2-( х - -y)

п

(z2 + (х-y)2)2 '

В соответствии с принципом суперпозиции реакции распределенных контактных сил суммируются [5]:

^(х,г) = -21 ,

Дх, z) =-2 J 2 / \2ч2 d%> (7)

Ьи

TXz (х. z) =-2 J

г п (z2 + (х - У)2)2

сти (У) z3

п (z2 + (х - У)2)2

сти (У) z 2-( х - y)

dy

Ьи п (z2 + (х -y)2)2

Аналогично задаче о цилиндре рассчитываются инвариантные характеристики тензора напряжений. Шаровая часть тензора напряжений

0 = Охх +CTzz +CTyy)/3 (8)

определяется в соответствии с условием для компоненты напряжений а в плоской задаче a = v- (аж + azz).

Интенсивность касательных напряжений определяется по формуле:

K = (9)

= ^VCayy "°zz)2 + (azz -0хх )2 + (ахх ~ayy)2 + 6- Txz2 .

Для сравнения напряжений в полупространстве с напряжениями на поверхности цилиндра для точек, принадлежащих профилю цилиндра, используем формальное преобразование - поворот тензора напряжений аналогично (6)

ann Сx,z,p) = axx(x,z) - cos2 p + a^ (x,z) - sin2 p +

+тХ2 (x, z)-sin(2 -p),

ass (x,z,p) = axx(x,z) - sin2 p + azz (x, z) - cos2 p--Txz (x, z)-sin(2 - p), (10)

Tns (X z,P) =1 - (Xz) - (Xz)) • sin(2 •p) +

+riz (x, z)-cos(2 -p), unn - напряжение, нормальное к профилю цилиндра; сти - напряжение, направленное по касательной к профилю цилиндра; тш - касательное напряжение на профиле цилиндра.

Исходные данные для расчетов и численные результаты

В качестве материала контактирующих тел выбран традиционный материал - сталь: £=200 ГПа; v=0,28. Получаемый в результате параметр податливости т участвует в определении размера полуширины зоны контакта bH. Необходимо отметить, что для более податливых материалов (цветные металлы, пластмассы) зона контакта будет больше.

Значения радиуса контактирующего цилиндра варьировались в широких пределах от 2 до 1000 мм.

Расчет напряжений выполнен для различных наборов точек. Проиллюстрируем расчеты результатами для цилиндра радиуса Rc = 2 мм при максимальном

давлении сжатия контактирующих тел 5 • 109 МПа. В этом случае полуширина области контакта характеризуется следующими значениями: bH = 0,184 мм, bH /Rc = 0,092, Rc / bH = 10,9.

Алгоритмы расчета напряжений реализованы средствами пакета MathCAD. Все значения напряжений нормированы относительно величины максимального значения интенсивности касательных напряжений. В рассматриваемом примере max Кс = 0,341стг max (максимум достигается в точке z = 0,72bH на оси симметрии).

В области контакта задана равномерная матрица точек расчета: размер по горизонтали x и в глубину по z равен 10bH. Шаг по точкам в обоих направлениях -0,25bH. Точки не выходят за границу профиля цилиндра (рис. 2). На поверхности цилиндра точки расчета распределяются равномерно по профилю за исключением первой точки, которая связана с концом области контактного давления (определяется углом ba).

Проведены расчеты всех характеристик напряженного состояния (3) - (10). Сравнение напряжений на одном графике (рис. 3 слева) не показывает принципиальных отличий решений. Тем не менее графики разницы напряжений (рис. 3 справа) демонстрируют неочевидный и немонотонный характер разницы. В данных расчетах величина разницы достигает 10 % относительно max Кс (что может оказаться существенным для прочностных расчетов). Разница напряжений в двух задачах неодинакова в разных областях сравнения (см. расчеты для разных слоев на рис. 3, 4). Разница напряжений по слоям точек расчета показывает рост величины при приближении к зоне контакта. Характер разницы напряжений Xx-axx, Z—oz, Xz-Txz подобен поведению среднего давления ас-а, отображенному на графиках.

2

z ■ х

п

хх

zz

CT

Рис. 3. Распределение напряжений вблизи области контакта. Справа приведена разница напряжений в двух задачах

Рис. 4. Распределение ИКН в сечении цилиндра и граница положительной и отрицательной разницы ИКН цилиндра и полупространства

Наиболее показательна разница напряжений на поверхности цилиндра и в соответствующих точках полупространства. В этом случае Znn и Хт обращаются в нуль, чего нельзя сказать об аналогичных характеристиках для полупространства апп и тт (рис. 5).

Необходимо также отметить, что распределение среднего давления в сечении цилиндра хорошо коррелирует с ИКН. В цилиндре при приближении к зоне контакта с ростом ИКН пропорционально растет и среднее давление.

Выполненные расчеты показывают, что для цилиндров разных размеров (но при условии одинаковой относительной полуширины ЬН/Яс , которое обеспечивается выбором удельной нагрузки) имеют место одинаковые напряженные состояния. В задаче Герца аналогичное свойство определяется формулой

Ьн „

—н - 2 -^-стгтах, справедливой в данном случае при

Р

р — К. Но для значений напряжений в цилиндре это не очевидно. В таблице приведены данные для цилиндров разных размеров, но с одинаковой относительной полушириной ЬН/Яс=0,019 и с одинаковым максимальным давлением сггтах = 1018 МПа.

Градусы по дуге профиля цилиндра

Рис. 5. Распределение напряжений на поверхности цилиндра

Результаты расчетов полуширины контакта и удельной нагрузки для разных значений радиуса цилиндра

Rc, мм ЬН, мм q, кН

2 0,0000375 60

10 0,000188 300

50 0,000938 1500

100 0,00188 3000

1000 0,019 30000

Наличие свободной поверхности цилиндра приводит к тому, что в некоторой зоне поверхности напряжения в цилиндре существенно меньше, чем в полупространстве. На поверхности нормальные и каса-

тельные напряжения равны нулю, а окружное напряжение и шаровая часть тензора напряжений по периметру цилиндра относительно малы и имеют отрицательное значение (напряжения «обжимающие»).

Влияние нарушения граничных условий для цилиндра (в случае его замены полупространством) особенно велико при определении глубинных напряжений. Так, результаты оценки глубинных напряжений [2] без использования модели полупространства показали, что отклонение величины максимального касательного напряжения от традиционно принимаемого значения г^ = 0,300стг ^ может превышать 10,5 %, а отклонение по глубине залегания максимальных касательных напряжений достигает уровня 5,3 %.

Общие выводы

1. Сравнение напряжений в цилиндре и полупространстве в плоской постановке показало, что для малых значений радиусов (и/или больших значений нагрузки) напряжения существенно различаются.

2. В близкой к контактной зоне области возникает неочевидная разница напряжений, которая увеличивается при приближении к зоне контактного нагружения.

3. Влияние нарушения граничных условий для цилиндра (в случае его замены полупространством) особо существенно при определении глубинных напряжений. Максимум интенсивности касательных на-

Поступила в редакцию_

пряжений по расчету для цилиндра выше по величине и находится глубже, чем в полупространстве.

4. Уровень снижения точности расчета при моделировании цилиндра полупространством возрастает с уменьшением радиуса цилиндра, что необходимо учитывать в расчетной практике, особенно для малоразмерных узлов машин и в микротехнике при радиусах кривизны контактирующих тел менее 5 мм.

5. Полученные результаты могут найти прикладное применение в уточнении расчетов различных контактных узлов.

Литература

1. Журавлев Г.А. Оценка применимости решения Герца в задачах о контакте зубьев // Техника машиностроения. 2001. № 2. С. 82 - 90.

2. Журавлев Г.А., Азаров А.Д., Бабенко И.С. К определению глубинных напряжений в области контакта упругих цилиндров // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2013. № 1. С. 26 - 31.

3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 707 с.

4. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975. С. 872.

5. Азаров А.Д., Бабенко И.С., Журавлев Г.А. Анализ влияния кривизны упругих тел на напряженно-деформированное состояние в зоне их контакта // Современные проблемы механики СС : тр. XV Междунар. конф., г. Ростов н/Д, 4-7 декабря 2011 г. Т. I. Ростов н/Д, 2011. С. 6-10.

16 ноября 2012 г.