CC BY
30
УДК 539.3
ДЕФОРМИРОВАНИЕ КОНТАКТИРУЮЩИХ УПРУГИХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ ВБЛИЗИ ЗОНЫ КОНТАКТА
© 2014 г. А.Д. Азаров
Азаров Анатолий Дмитриевич - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий отделом сложных информационно-измерительных систем, НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail:polyani49@mail.ru.
Azarov Anatoliy Dmitrievich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Head of the Complex Informational-Measuring Systems Department, Scientific Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics by I.I. Vorovich of the Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail:polyani49@mail.ru.
На основе численных расчетов при разных значениях радиусов и свойствах материалов изучено сопряжение форм профилей контактирующих цилиндров в плоской постановке c привлечением точного решения Мусхелишвили и формул, полученных T.T. Loo и N.Y. Troy. Выполнен анализ влияния кривизны на напряженно-деформированное состояние в зоне контакта цилиндров. Проведено сопоставление и показана разница между решениями Герца и T.T. Loo, N.Y. Troy.
Ключевые слова: контакт упругих цилиндров, напряженное состояние, деформирование, кривизна.
The paper considers the shapes's conjugation of the contacting cylinders in the plane formulation based on numerical calculations for different values of radii and properties of the materials. The exact solution by N.I. Mushelishvili and formulas, derived by T.T. Loo and N.Y. Troy, are used. The analysis of the curvature influence upon the stress-strain state in the contact zone of cylinders is made. The comparison of the Hertz solutions and solutions of T.T. Loo and N.Y. Troy is realized. The difference between these solutions is shown.
Keywords: contact of elastic cylinders, stress, deformation, curvature.
Решение задачи Герца [1] о контакте упругих тел (в предположении малости зоны контакта) лежит в основе многих инженерных приложений, в которых поверхности контактирующих тел имеют заметную кривизну. При этом влияние кривизны на напряженно-деформированное состояние контактирующих тел учтено не в полной мере, в частности, при вычислении напряжений радиус кривизны цилиндра, для которого выполняется расчет, не учитывается.
В [2] T.T. Loo и N.Y. Troy рассмотрели контактирующие упругие круговые цилиндры с параллельными осями, сжимаемые симметричными взаимно уравновешенными по линии действия силами, направленными параллельно диаметру. На основе аналитического решения Мусхелишвили [3] получены достаточно простые формулы, которые уточняют решение Герца, но также с использованием предположения о малости зоны контакта.
В настоящей статье выполнен численный анализ деформирования двух цилиндров с радиусами R¡, R2 . Для определенности будем рассматривать случай R2>Ri, что никак не влияет на общность результатов. Характеристики податливости материалов цилиндров
=
1 -ц2
E
П2 =
i-ц2
сти материалов; |2 - коэффициенты Пуассона.
Деформирование цилиндров вызывается силой q, которая имеет смысл удельной нагрузки (на единицу
длины цилиндра) и которая распределяется по поперечному сечению в области контакта.
В формулах Герца геометрические свойства цилиндров сводятся к приведенному радиусу (средняя характеристика кривизны двух цилиндров):
' К2
Р = -
(1)
Л1 + Я2
а механические показатели свойств материалов - к суммарной податливости л = Л1 + Л2. Сила q распределяется по поперечному сечению в области контакта шириной 2Ьи^
Ьн = 2у1 длр/п . (2)
При этом распределение давлений в зоне контакта определяется законом
ан (х) = ан maxA/l - (х/Ън )
„ , q 2q
г " "
2
(3)
где Ei,Er - модули упруго-
\пцр пЪн
Параметр bH (полуширина зоны контакта) вобрал в себя в очень простой форме все основные факторы задачи и вместе с величиной силы q определяет максимальное давление. Свойства каждого цилиндра представлены в формулах симметрично через общие выражения р и ц.
Формулы, полученные T.T. Loo и N.Y. Troy (далее будем называть их формулами Лу), отличаются от формул Герца тем, что характеристики цилиндров
(геометрические и механические) присутствуют в выражениях индивидуально, а не только в комплексах р и ц. Полуширина площадки контакта
Ьь , (4)
где B = — 4ц
1
— +
Р
(
Ц1 , Ц2 Rl2 R22
2q
Параметр р = + характеризует сближение центров цилиндров при контакте, здесь
(М^Б / д) - 0,5)] , ¡=1, 2 .
ß. = Ä |in(2R.) + (
Форма закона распределения давлений в зоне контакта такая же, как в теории Герца, и максимальное давление определяется подобным образом (отношением q к bLy. aL (sL ) = стL ma^jl - (sL / bL )2 , 2q
CTL max_ •
%bL
В данном случае переменная sL является длиной дуги на верхней части профиля цилиндра (рис. 1).
виду метр,
J = 1 2
b
= JqTB = bH$
1 + JbH 2/ Ri2 jr1,
связанный с податливостями
где пара-цилиндров,
Ж + Ц2 Ri
2 Л
ц ц Ro
Для выражения 3 при оговоренном ранее условии К2>К1 справедливо неравенство 3 < 1. Таким образом, отличие Ьь от Ьн определяется малостью величины Ьн 2/ Rl2 в сравнении с единицей. Более того, Ьь < Ьн, аьшах >стнтах, что физически обосновано. Чем больше кривизна, тем больше сопротивление по центру при сближении цилиндров («эффект арки») и крайним точкам труднее сойтись, т.е. следует ожидать, что зона контакта будет меньше.
Формулы Герца и Лу существуют уже давно, но вопрос о пределах области их применения еще не получил своего полного решения. Надо отметить, что основным условием корректности формул считается
малость величины зоны контакта bH . Из (1), (2) сле
ьн _ 2 fw Г
л
дует
R1 п\ R1 1 + R1 /R2
Отсюда видно, что Ьн / Rl будет малой величиной при условии малости выражения &н = д'П / Rl. Этот параметр характеризует силовое воздействие, податливость материала и геометрический размер цилиндра.
В рассматриваемой задаче можно выделить два типа ограничений. Прежде всего, решение задачи реализуется методами линейной теории упругости, что подразумевает ограничение величины сближения цилиндров, а значит, и зоны контакта Ьн . По геометрическим соображениям необходимо, чтобы величина 2Ьн была существенно меньше размера полуокружности , т.е. чтобы угол границы зоны контакта был малым ^ = Ьн /Rl << п/2.
В силу ограниченной прочности материалов цилиндров величина давления не должна быть большой: ограничение по пределу текучести шах <стд. В соответствии с выражением (3) для малых Ьн должно быть малым и значение силы q.
Перечисленные условия ограничивают область применения формул Лу. Выбор конкретных значений величины малости определяется в первую очередь степенью требуемой точности решаемой прикладной задачи.
На рис. 2 приведены графики сравнения расчетов по формулам Герца и Лу при следующих значениях параметров задачи: Е1=200 Гпа; ^=0,28; Е2=100 ГПа; ^=0,45; R1=2 мм; R2=100 мм; q=2•108 Н/м. В этом случае максимальное значение Ьн^}=1,25.
Рис. 1. Геометрические параметры задачи
Разница между решениями Герца и Лу станет более наглядной, если формулу (4) преобразовать к
Рис. 2. Сравнение параметров решений Лу и Герца
Здесь наглядно видно, когда решения Герца и Лу будут различны - эта разница возникает при чрезмерно больших воздействиях. Значения силы ограничены величиной максимальных напряжений в зоне контакта, но для демонстрации разницы решений расчеты выполнены и в большей области.
Расчет напряженно-деформированного состояния
В основу анализа напряженного и деформированного состояния положены точные решения Мусхели-швили [3] и принцип суперпозиции для учета распределенного характера контактной нагрузки, как это описано в [4, 5].
л
2
В [2] получены формулы для смещений граничного профиля в направлении приложения силы, более удобные для расчета форм профилей цилиндра в зоне контакта, нежели исходные соотношения [3]
u(Rhа) = ^^ jaL(0)U(9,a)d9 :
(5)
где U (0, а) = ln(tg |
а-9 2
|)+cos(a)cos(0).
Для исключения интегрируемой особенности при выполнении численных расчетов интеграл в соотношении (5) разбиваем на три части:
jaL (0)U (0, a)d0 + ja L (0)U (0, a)d0 +
(6)
-а« а—е
«•1
+ |ст ь (9)и (9, а)йВ.
а+Е
Интегралы до а-е и после а+е вычисляются численно, а для второго интеграла получаем асимптотическое выражение при условии малости параметра е, подбираемого из условия минимизации погрешности
а+Е
\ъL(9)и(9,а)аВ = -2есть(а)(1п(1/е) +1) .
а—е
При величине е порядка 10-10 выражение имеет значение пренебрежимо малое в сравнении с двумя остальными интегралами в выражении (6).
Формулы смещения точек профиля цилиндра поперек направления силы, приведенные в [2], требуют преобразования ввиду разных выражений подынтегральной функции до и после точки приложения элементарной силы. Для цилиндра с радиусом R1 формулы для расчета (в правой половине цилиндра а>0) можно представить в виде
v(Rj, а) =
R
2kG1
JaL (0)V(а, 0)d0 ,
(7)
1 -а.
где
V (а, 0) =
-к«(л/2 -9) - /2 -9)со8(л/2-а) -- к« соб(9) 8ш(а), 9 < 0, к« (л/2 + 9) - /2 + 9)соб(л/2 + а) + + к« соз(9)5т(а), а <9, -к«(л/2 -9) + зт(л/2 -9)со8(л/2 -а) + + к« соз(9)5т(а), 9<а,
G1 - модуль сдвига, к« = 1 - 2ц«.
Перемещение и(Л«, а) (по направлению силы) зависит только от одного показателя механических свойств - усредненной податливости п, а перемещение а) (перпендикулярное направлению силы) зависит от модуля сдвига G1 и от коэффициента Пуассона ц. Поэтому для контактирующих цилиндров одинакового радиуса, но из разных материалов, поверхности в зоне контакта будут испытывать разные поперечные смещения.
Численный анализ влияния кривизны выполнен при деформировании поверхностей (профилей) цилиндров и для напряженного состояния вблизи зоны контакта. Формулы, приведенные выше, можно считать корректными, если вычисленные формы профилей цилиндров после деформирования будут сопрягаться (хотя это только необходимый признак).
В качестве основного материала контактирующих тел выбран традиционный материал - сталь: £=200 ГПа, ,«=0,28. Для анализа также взяты два модельных материала: с малым модулем упругости и с большим коэффициентом Пуассона (табл. 1 и 2). В табл. 2 параметр ен = д^/ ^ определяет уровень малости характеристики Ън/Я1.
Таблица 1
Механические свойства материалов цилиндров
а
П
—а
Вариант Материал цилиндра 1 Ej, ГПа Ш, Па-1 Материал цилиндра 2 E2, ГПа Ц2 П2, Па-1
1 Сталь 200 0,28 4,61E-12 Сталь 200 0,28 4,61E-12
2 Материал 1 2 0,4 4,20E-10 Сталь 200 0,28 4,61E-12
3 Материал 2 113 0,4 7,42E-12 Сталь 200 0,28 4,61E-12
Таблица 2
Характеристики цилиндров и нагружения
Вариант q, Н/м R1 R? p bH, мм aH mаx, МПа SH bH/R1 П, Па-1
1 3000000 0,1 0,1 0,05 1,33 1440 0,017 0,013 9,22E-12
2 100000 0,001 0,1 0,0010 0,231 275 0,206 0,231 4,25E-10
3 450000 0,02 0,1 0,0167 0,339 845 0,016 0,017 1,20E-11
При расчетах все геометрические размеры нормированы относительно величины ЪН, а напряжения отнесены к максимальному значению давления <зн тах в зоне контакта. Графики строятся в зависимости от длины дуги профиля 5 = sL /Ън (обезразмеренное значение). Расчеты выполняются в пределах трех значений размера ЪН.
На рис. 3-5 слева показаны сечения профилей цилиндров Ц1 (с радиусом Я1) и Ц2 (с радиусом Я2) при контакте (расчет по формулам (5) для вариантов параметров из табл. 1, 2). Здесь же справа приведены графики поперечного смещения точек профилей цилиндров, рассчитанные по формулам (7). Сплошные линии с метками относятся к Ц1, а точечные кривые -к Ц2 (графики правой половины цилиндров).
Рис. 3. Деформирование одинаковых цилиндров. Вариант 1, табл. 1 и 2
Для варианта 1 ввиду полной симметрии свойств реализуется «плоский контакт» (профили обоих цилиндров в зоне контакта прямые). Таким образом, формулы Лу отражают симметрию задачи.
Поперечные смещения одинаковых цилиндров при контакте естественно одинаковые, т.е. поверхности контактирующих цилиндров испытывают равные смещения в поперечном направлении.
Выполнены расчеты для одинаковых цилиндров, но с разными величинами радиусов. При уменьшении радиуса сохранялось равенство максимального напряжения в зоне контакта. В этом случае с ростом кривизны происходит уменьшение величины ЪН, но в относительных размерах (т.е. в долях от ЪН) влияние кривизны отсутствует (т.е графики выглядят одинаковыми при разных значениях радиусов).
Прямая линия профиля наблюдается при одинаковых свойствах цилиндров. Но при определенных сочетаниях разных по величине радиусов и материалов цилиндров также можно получить форму профиля, близкую к прямой линии. Расчеты, представленные на рис. 4, выполнены при достаточно большой величине Ьь / Rl (вариант 2, табл. 1, 2). В зоне контакта наблюдается незначительное несопряжение профилей. Возможно, это погрешность численных расчетов (выполненных средствами МаШСЛВ), но не исключено, что это признак необходимости внесения поправки в функцию распределения давления.
Рис. 4. «Плоский контакт» неодинаковых цилиндров (вариант 2)
Ниже рассмотрен вариант деформирования цилиндров из разных материалов с разными размерами. При этом реализуется вмятие Ц1 (более жесткого по совокупности геометрических и механических свойств) в Ц2 (более податливый). В модельном варианте выбрано одинаковое сближение каждого цилиндра ( Р1 =Р2 ).
При большом различии механических свойств материалов разница поперечных смещений также существенна (рис. 4, 5, графики слева).
Рис. 5. Контакт неодинаковых цилиндров, но с одинаковым индивидуальным сближением каждого цилиндра (вариант 3)
Расчет, выполненный при имитации равномерного распределения давлений в зоне контакта, показывает, что в этом случае нарушается условие сопряжения профилей цилиндров. Таким образом, форма закона распределения давлений в зоне контакта не может быть упрощена, даже если область контакта мала.
В целом численный анализ показывает, что имеется два типа сопряжения профилей при контакте цилиндров: плоский и с вмятием одного из цилиндров. Вмятие профиля наблюдается при разных радиусах и свойствах материалов. Более жесткий цилиндр (по сочетанию геометрии и механических свойств материала) вдавливается в менее жесткий. При одинаковых материалах цилиндр с большим радиусом является и более податливым. Но возможны такие соотношения параметров материалов, когда цилиндр с большим радиусом вдавливается в меньший. При вмятии имеет место изгиб линии профиля. Можно ожидать, что в этом случае при циклических нагрузках больше вероятность накопления повреждений.
При контакте с вмятием нормали к плоскости контакта по-разному отклоняются от вертикали в разных точках контактной зоны, что требует дополнительного анализа роли допущений, использованных в решении Мусхелишвили. При плоской форме контакта нормали к профилю параллельны вертикали, что соответствует направлению сил в решении Мусхелишвили.
Кроме того, что кривизна влияет на деформирование цилиндров, она существенно влияет и на напряженное состояние в зоне контакта. Ниже приведены графики напряжений в окрестности зоны контакта, рассчитанные для двух цилиндров в соответствии с формулами [4, 5]. Расчет напряжений выполнен для варианта 2 на малой глубине вблизи поверхности (рис. 6). Уровень глубины 0,0003 R1 определяется разницей значений радиусов цилиндра R1 и окружности с точками расчета.
Рис. 6. Точки численных расчетов напряжений в цилиндре
На рис. 7 приведены три графика напряжений ахх, тХ1, аг1 в сравнении расчетов по формулам Мусхели-швили (сплошные линии, способ вычислений описан в [4, 5]) и по теории Герца (точечные линии). По результатам видно существенное влияние кривизны на поперечные нормальные и касательные напряжения вблизи зоны контакта при малом значении радиуса цилиндра = 1 мм. Расчет напряжений для большего цилиндра (Я2 = 100 мм) показал, что разница по теории Герца и по формулам Мусхелишвили незначительна.
' 0 03 1 В s "'о 0Í I I) J
Рис. 7. Поперечные нормальные, касательные и продольные нормальные напряжения (вариант 2)
Выполненный численный анализ показал, что формулы Мусхелишвили с оценками размера зоны контакта Лу являются более корректными в сравнении с решением Герца при расчете контактирующих тел, обладающих заметной кривизной.
Тем не менее требуют дополнительных исследований случаи, когда поперечные смещения точек профилей контактирующих цилиндров в зоне контак-
Поступила в редакцию_
та являются разными и необходимо учитывать силы трения. Условия, при которых надо вводить силы трения, можно определить с помощью расчетов по формуле (7). Не исключено, что в уточненной постановке задачи потребуется и корректировка функции распределения контактного давления.
Также требуют дополнительных исследований случаи, когда профиль цилиндра имеет значительное вмя-тие. При этом нормали к плоскости контакта по-разному отклоняются от вертикали в разных точках контактной зоны, что не совсем согласуется с допущением о направлении сил в решении Мусхелишвили. Это может привести к необходимости корректировки функции распределения давлений в зоне контакта.
Литература
1. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия: пер. с англ. М., 1989. 510 с.
2. Loo T.T., Troy N.Y. Effect of curvature on the Hertz theory for two circular cylinders in contact // J. Appl. Mech. 1958. Vol. 25. P. 122-124.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 707 с.
4. Азаров А.Д., Бабенко И.С., Журавлев Г.А. Анализ влияния кривизны упругих тел на напряженно-деформированное состояние в зоне их контакта // Совр. проблемы механики СС: тр. XV Междунар. конф.,
г. Ростов-на-Дону, 4-7 декабря 2011 г. Т. I. Рос-тов/Д, 2011. С. 6-10.
5. Азаров А.Д., Журавлев Г.А., Бабенко И.С. Анализ влияния кривизны контактирующих упругих цилиндров на их напряженное состояние // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2013. № 2. С. 21-26.
_12 декабря 2013 г.
