Напряженное состояние в зоне контакта двух цилиндрических тел конечной длины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ЗОНЕ КОНТАКТА ДВУХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

© 2011 Р. С. Привалихин

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

Поступила в редакцию 22.03.2011

В работе представлен расчет контакта цилиндров конечной длины. Учтено действие краевого эффекта, влияние его на геометрию площадки контакта и напряженное состояние в окрестностях края цилиндра. Результаты решения сравниваются с аналитическим решением контактной задачи Герца.

Ключевые слова: краевой эффект, контактное напряжение, зубчатое зацепление, подшипник качения

Экспериментальное исследование контактных напряжений и геометрических размеров площадки контакта, находящихся вблизи зоны касания на линейном контакте цилиндрических тел представляет большие трудности. При проведении эксперимента весьма сложно обеспечить равномерное распределение нагрузки вдоль полоски контакта. Препятствуют этому перекосы и неточности форм поверхностей, мешающие исследователю понять истинную картину происходящего. Решение этих задач усложняется и так называемым краевым эффектом, который вызывает повышение напряжений по краям линий, ограничивающих область контакта, и не определяется методиками, изложенными в работах отечественных и зарубежных ученых [1-4]. Для выявления закономерностей распределения давлений и напряженных состояний в окрестности краевых зон можно использовать численные методы, которые находят все большее распространение на основе программных комплексов. Широкими возможностями обладает программный комплекс Ansys, позволяющий решать задачи практически всех инженерных направлений.

При взаимодействии двух цилиндров, имеющих два радиуса кривизны, каждый, начальное касание происходит в точке. Если один радиус кривизны, тогда контакт происходит по линии. В силу своих упругих свойств тела деформируются и создают площадки контакта конечных размеров. В случае точечного контакта площадка приобретаем форму эллипса. В случае касания по линии форма площадки становится прямоугольной. Для определения геометрии площадки контакта, распределения давления на ней и нахождения составляющих напряженного состояния в

Привалихин Руслан Сергеевич, аспирант. E-mail: GlobalSDS@bk.ru

околоконтактной зоне с приемлемой точностью, обычно применяется теория Герца-Беляева [1, 2] в случае эллиптической площадки. Однако в случае прямоугольной площадки эта теория имеет смысл только для средней части цилиндра конечной длины, так как на краях появляется резкое увеличение контактных давлений обусловленной краевым эффектом. Этот эффект не учитывается в теории Герца-Беляева, где сделано очень серьезное допущение о бесконечности длины обоих кон-тактируемых тел не имеющих краев. Для учета краевых эффектов необходимо привлекать численные методы.

Цель работы: получение и исследование распределения давления и напряженного состояния вблизи краев контактирующих цилиндров с использованием программного модуля Ansys/multiphysics.

Адекватность результатов. Для проверки правильности решения данной задачи результаты, полученные с помощью препроцессора Ansys, сравниваются с результатами математической модели контактной задачи Герца по критериям максимального давления и ширины площадки контакта находящихся в центре длины цилиндра. Математическая модель контактной задачи соответствует частному случаю взаимодействия двух цилиндров.

Описание задачи. Контакт двух цилиндров происходит под воздействием силы F. Радиус кривизны первого цилиндра ^1=3,75 мм, радиус скруглений по торцам цилиндра ^ск=0,5 мм, контактная длина цилиндра /=6,5 мм. Радиус кривизны второго цилиндра ^2=19,25 мм. Радиальная сила F, действующая на цилиндры, составляет 840,384 Н. Свойства материала цилиндров: модуль упругости £,2=2,1x10" Па, коэффициент Пуассона ^1,2=0,33.

Описание математической модели задачи Герца. При контакте цилиндров под действием распределенной нагрузки по центральной линии в области касания образуется прямоугольная площадка контакта с полушириной Ьг (рис. 1), по которой распределяется контактное давление, данная постановка является частным случаем решения задачи Герца. В данной постановке предполагается, что тела обладают бесконечной длиной вдоль оси х.

контакта

br =j4rftfnk~ = 6,621 х 10-

Максимальное давление в центре площадки контакта

1 k

Pr = q = 1,243Па

Г max il 1 ?

п п

(1)

Функция распределения давления по площадке контакта

P ( y ) = P 1 -

Г ' Г max Л

z ]2 b )

(2)

где .У=[0,Ь] - переменная координата ширины площадки контакта.

Описание построения моделей в программном пакете Лпвув/МиШрЬувкв. На рис. 2 представлены три конечно-элементные модели.

Рис. 1. Взаимодействие двух цилиндров и распределение давления между ними

Порядок расчета: Сначала определим кривизны поверхностей ¿£=1/^+1/^=318,615 1/м. Далее находим коэффициент упругих свойств материала ц=1 □ v12/E1 +1 □ у22/Е2 = 84,866х10п11 м2/Н. Вычисляем нагрузку, действующая на единицу длины цилиндра q=Q/l=129289,941 Н/м. Полуширина площадки

а б

Рис. 2. Исследуемые модели и их расположение систем координат: а - первая постановка, б - вторая постановка, в - третья постановка

м.

Таблица 1. Граничные условия для первой, второй и третьей постановок

Первая поста- Вторая постанов- Третья поста-

новка (рис. 2, а) ка (рис. 2, б) новка (рис. 2, в)

тип Модель PLANE 182 SOLID45

эле- контакт- целевая TARGET 169 TARGET 170

мента ные поверхно- (нижний цилиндр)

сти контакт- CONTAI 72 CONTA174

ная (верх-

ний ци-

линдр)

ГУ нагрузка значение q Q/14 Q/l6

приложе- к центру верх- к каждому узлу к каждому узлу

ние него цилиндра центральной линии верхнего цилиндра, 14 узлов центральной линии верхнего цилиндра, 16 узлов

направле- в сторону целевой поверхности перпендикулярно каса-

ние тельной к этой поверхности

закрепления внутренняя поверхность нижнего цилиндра

Первые две постановки соответствуют решению классической задачи Герца в плоскости (рис. 2, а) и объеме (рис. 2, б). Во второй постановке предполагается, что тела имеют бесконечную длину вдоль оси х. Третья постановка (рис. 2, в) создавалась на основе двух вышеперечисленных, длина тел ограничена и края верхнего цилиндра имеют форму скруг-лений с радиусом Рск. На рис. 2, в плоскость 2\Оу\ совпадает с точкой касания края верхнего цилиндра с поверхностью нижнего, плоскость гОу делит модель по длине на две равные части, оси £ и - вспомогательные. Использована не вся поверхность нижнего цилиндра, а только его часть, находящаяся непосредственно в месте расположения верхнего. В околоконтактной зоне уменьшена сетка конечных элементов. Типы элементов и граничные условия (ГУ) для каждой задачи отражены в таблице 1.

Адекватность построенных моделей в программном пакете Лпвув/МиШрЬувкв с математической моделью задачи Герца.

Проверка проводилась по критерию контактного давления, создаваемого в контактной паре. На рис. 3 представлены графики распределения давления по площадке контакта в плоскости £Оу.

давления определено формулой (1). Линии 2, 3, 4 соответствуют распределению давления в первой (рис. 2, а), второй (рис. 2, б) и третьей (рис. 2, в) постановках, соответственно. Максимальные давления и полуширины площадок контакта для первой, второй и третьей постановок принимают значения: РПЛ1тах=1,185х109 Па, Ь„л1=7,8х10п5

м,

РяР2тах=1,077х109

9

Па,

¿ЯР2=8,4х10и5 м; Рпрзтах=1,121х109 Па, ¿ПР3=8,4х10п5 м, соответственно. Наблюдается излом линий 2, 3, 4 близ оси ординат в сторону возрастания полуширины площадки контакта. Это вызвано тем, что конечная точка графиков совпадает с узлом конечно-элементной модели. Поэтому можно сказать, что значение величины площадки контакта чуть больше значения у точки излома кривых. Для получения более точного решения можно разбить модель на еще большее число конечных элементов, но расхождения не велики, и конечный результат можно считать удовлетворительным. Сравнение величин максимальных давлений первой, второй и третьей постановок с величиной максимального давления в решении задачи Герца дало следующие результаты: Рпл1тах/РГтах = 0,953; РпР2тах/Ргтах = 0,866; РпРЗтахРтах = 0,902.

Влияние краевого эффекта. Распределение давлений. Очень серьезной и вместе с тем малоизученной особенностью линейного контакта является краевой эффект, которым принято называть повышение давления у концов двух соприкасающихся цилиндров. На рис. 4 представлена 1/4 часть площадки контакта, в третьей постановке задачи.

Рис. 3. Распределение давления в плоскости £Оу: линия 1 - по Герцу Рг(у), линия 2 - в первой постановке задачи РПЛ1(у), линия 3 - во второй постановке задачи РПР2(у), линия 4 - в третьей постановке задачи РПР3(у)

Каждая линия графика соответствует распределению давления по площадке контакта для каждой из поставленных задач. Линия 1 соответствует аналитическому решению задачи Герца, в которой давление распределяется по закону (2), где значение максимального

Рис. 4. Распределение давления по 1/4 части площадки контакта

Представим числовые значения на рис. 5. Рис. 5 является разверткой рис. 4. Ь=3,3х10^5 м - полудлина площадки контакта, ЬК=1х10м м - полуширина площадки контакта на краю цилиндра, РКтах - максимальное значение давления на краю цилиндра, Р/,тах - максимальное значение давления по цилиндра. Расположение плоскостей %Ох, %Оу и %1Оу1 можно увидеть на рис. 2 в.

Во второй постановке сделано предположение о бесконечной длине контактируемых тел, и давление распределяется равномерно (рис. 6, б). В третьей постановке (рис 2, в) контактные давления достаточно точно рассчитываются по теории Герца вдоль большей части длины цилиндра, однако вблизи торцов (рис. 6, в) наблюдается резкое увеличение давление, распределение которого принимает вид "собачьей кости" [7].

Рис. 5. Распределение давления на площадке контакта по осям х, у, у1. Линия 5 Рь(х) находится в плоскости %Ох, где давление распределено по длине

цилиндра; линия 4 представлена на рис. 3; линия 6 РК(у1) в плоскости %1Оу1, давление распределенное по краю цилиндра

График (рис. 5, линия 5) имеет постоянное значение на большей части длины цилиндра, однако при приближении к краю имеет место резкий скачек давления: РКтах = Р/,тах = 2,054х109 Па. Точка пика совпадает с точкой края цилиндра, значение ее на оси х соответствует //2=3,25. Такое распределение выходит за рамки теории Герца, пик давления на краях примерно в 1,8 раза превышает распределение давления в плоскости, проходящей через центр цилиндра: Рйпах/РпР3тах=1,832.

Постановки задач на рис. 2 а и рис. 2 б, как уже говорилось, соответствовали решению Герца. В первой постановке распределение давления находится в плоскости %Ох (рис. 6, а).

Рис. 6. Распределение давления на площадке контакта в разных постановках задачи: а - первая постановка, б - вторая постановка, в - третья постановка

Напряженное состояние. Рассмотрим распределение напряжений внутри цилиндра (рис. 7), выраженных в безразмерных координатах. оШ3х, &пр3т, опр32, &пр3э - компоненты напряжения х, у, г и эквивалентное напряжение, действующие вглубь от центра цилиндра. оКх, оКу, оКг, оКЭ - компоненты напряжения х, у, г и эквивалентное напряжение действующие вглубь нижнего цилиндра от точки касания края верхнего цилиндра.

Рис. 7. Распределение напряжений внутри цилиндра в третьей постановке задачи:

слева - по оси справа - по оси 71

Графики распределения напряжений на рис. 7 (слева) подтверждают правильность решения задачи Герца-Беляева о распределении напряжений вдоль полосы контакта [2, 3, 7], однако наблюдается интересный эффект у края цилиндра (рис. 7, справа): напряжения Сш/Р^ах и о^/Р^ах имеют практически одинаковые значения по всей глубине. Кривая эквивалентных напряжений о^/Р^^ имеет более крутой изгиб на крае нежели в центре оПр3Э/РПр3тах. Концентрация эквивалентных напряжений вдоль большей части длины находится на глубине 0,6, на краю это значение падает до 0,3. На рис. 8 представлены изолинии напряжений для третьей постановки задачи, где также можно заметить увеличение эквивалентных напряжений на краю цилиндра.

Рис. 8. Распределение эквивалентных напряжений в нижнем и верхнем цилиндрах в третьей постановке задачи

Выводы:

- Предложена методика расчета позволяющая анализировать задачи контакта цилиндр-цилиндр с разной геометрией краев тел с

помощью конечно элементного алгоритма в программном пакете Ansys.

- Данное исследование позволило получить распределение давлений и характеристики напряженного состояния, когда края цилиндра имеют форму скруглений у торцов.

- Кривые напряженного состояния, не соответствующие классическому решению задачи, следует проанализировать на нескольких примерах с разными геометриями краев тел в программном комплексе Ansys для выявления закономерностей краевого эффекта.

- Методика расчета применима для решения задач контактирования зубьев зубчатых колес, ролика и кольца подшипника качения, колеса и рельса, подшипника скольжения и коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и других задач со схемой взаимодействия цилиндр-цилиндр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Hertz, H. Über die Berührung fester elastischer Körper, Journal für die reine und angewandte. Mathematik. 1881. №92. S. 156-171.

2. Беляев, Н.М. Местные напряжения при сжатии упругих тел. - В сб.: Инженерные сооружения и строительная механика. - Л.: Путь, 1924. С. 27108.

3. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник, том 2 (редакторы И.А. Биргер, Я.Г. Панов-ко). - М.: Машиностроение, 1968. С. 381-415.

4. Roark, R. Formulas for Stress and Strain. Seventh Edition. Mc Graw-Hill. New-York, 2002. P. 851.

5. Чигаев, А.В. ANSYS для инженеров. Справочное пособие / А.В. Чигаев, А.С. Кравчук, А.Ф. Сма-люк. - М.: Машиностроение, 2004. 512 с.

6. ANSYS Basic Analysis Procedures Guide. ANSYS Release 5.6. ANSYS Inc., 1998. 112 с

7. Джонсон, К.Л. Механика контактного взаимодействия: пер. с англ. / К. Джонсон. - М.: Мир, 1989. 510 с.

TENSION IN CONTACT ZONE OF TWO CYLINDRICAL FINAL LENGTH BODIES

© 2011 R.S. Privalihin Siberian Federal University, Krasnoyarsk

In work calculation of final length cylinders contact is presented. Action of regional effect, its influence on geometry of contact platform and a tension in neighbourhood of cylinder edge is considered. Results of the decision are compared with analytical decision of Hertz contact problem.

Key words: regional effect, contact pressure, toothing, frictionless bearing

Ruslan Privalihin, Post-graduate Student. E-mail: GlobalSDS@bk.ru