К ГИПОТЕЗЕ ГРЮНБАУМА О РАСКРАСКЕ РЕБЕР ГРАФА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.1

С.А. Лавренченко1, А.М. Магомедов2

К гипотезе Грюнбаума о раскраске ребер графа

1Российский государственный университет туризма и сервиса; lawrencenko@hotmail. com

2Дагестанский государственный университет; magomedtagir1@yandex.ru

Триангуляция называется раскрашиваемой по Грюнбауму, если ее ребра могут быть 3-раскрашены так, что каждый треугольник использует все три цвета. Раскрашиваемость по Грюнбауму доказана для всех триангуляций ориентируемых поверхностей полными трехдольными графами.

Ключевые слова: гипотеза, раскрашиваемость, триангуляция, поверхность.

1. Терминология и обозначения

В этой работе рассматриваются только простые графы, т. е. графы без петель и параллельных ребер, и эти графы укладываются только на замкнутые поверхности.

В основном мы следуем стандартной терминологии и обозначениям теории графов [1]. d-ангуляцияРповерхности определяется как d-угольная укладка на эту поверхность 3-связного графа G = G(P), в которой каждая грань ограничена простым циклом из d > 3 инцидентных ребер. С комбинаторной точки зрения P определяется тройкой множеств V(P), E(P) и F(P) вершин, ребер и граней соответственно. Двойственный графG (P) определяется как граф, множество вершин которого соответствует F(P), причем две вершины в G (P) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им грани смежны в P.

Смежные грани имеют общее инцидентное ребро. Мы рассматриваем только d-ангуляции, двойственные графы которых являются простыми. В частности, простота G (P) гарантируется 3-связностью G в следующих двух важных случаях^= 3 илипо-верхность-носитель - сфера.

Таким образом, G (P) всегда 3-связен и d-регулярен (т. е. степень каждой вершины равна d).

Вершинной (соответственно реберной или граневой) k-раскраской d-ангуляции P называется сюръекция множества V(P) (соответственно E(P) или F(P)) на множество цветов {1, 2, ..., k}, такая, что образы любых двух смежных вершин (соответственно ребер или граней) различны. Для реберной 3-раскраски 3-регулярного графа используется термин раскраска по Тейту. Минимальное число цветов, достаточное для раскраски вершин (ребер или граней) d-ангуляции P, называется ее вершинным (реберным или граневым) хроматическим числом и обозначается x(P) (соответственнох'(Р) или x"(P)). Для х(Р) и х (Р) применяют также термины вершинное и реберное хроматические числа графа G(P) и обозначения x(G(P)) и x'(G(P)).

Очевидно, граневая k-раскраска произвольной d-ангуляции P соответствует вершинной k-раскраске двойственного графа G (P), и поэтому x"(P) = x(G (P)). Далее, поскольку граф G (P) является d-регулярным, то x(G (P)) £ {2, 3, ..., d, d + 1}. Заметим также, что из теоремы Визинга [2] следует, чтоx'(G (P))£ {3, ..., d, d + 1}.

2. Гипотеза Грюнбаума

Назовем раскраской по Грюнбауму всякую раскраску ребер d-ангуляции P в

^цветов, такую, что для каждой грани/ все d цветов присутствуют у инцидентных / ребер. Если Т - триангуляция поверхности, равенство (Т)) = 3 означает, что граф G (Т) допускает раскраску по Тейту, а сама триангуляция - раскраску по Грюнбауму.

Гипотеза 1 (Грюнбаум [3]). Любая триангуляция Т ориентируемой поверхности раскрашивается по Грюнбауму, т. е./'^ (Т)) = 3.

Гипотеза 1 находится [4] в списке нерешенных задач Дэна Арчдикона [5]. Заметим, что теорема о четырех красках эквивалентна утверждению, что каждый 3-регулярный планарный граф без мостов допускает раскраску по Тейту, откуда получается (см. [1, с. 160-161], [6, с. 158-159], [7, с. 103-104] и [4]), что из справедливости гипотезы 1 (в применении к случаю сферы) следует теорема о четырех красках.

Грюнбаум верил, что гипотеза 1 верна, а Арчдикон полагает, что она ложна (см. [4]). В 2009 г. Кохол [8] построил контрпримеры к гипотезе 1 на каждой ориентируемой поверхности рода g при g > 5. Мы выдвигаем новую гипотезу для триангуля-ций, усиливая неравенство х"(Т) < 4 (которое в действительности справедливо для любой Т) до ограничения х"(Т < 3, но не ограничиваясь при этом классом ориентируемых поверхностей.

Гипотеза 2. Если Т - триангуляция поверхности (ориентируемой или неориенти-руемой) с х"(Т) < 3, то х'^*(Т)) = 3.

Арчдикон также поставил [4] задачу проверки гипотезы 1 для более узких классов триангуляций, в частности - попробовать доказать ее для всех триангуляций ориентируемых поверхностей с полным п-графом Кп при каждом п, для которого такая триангуляция существует. В разделе 3 доказывается (теорема 2), что для раскрашиваемости d-ангуляции Р по Грюнбауму (т. е. для выполнения равенства х'^ (Р)) = d) достаточно, чтобы Р обладала свойством граневой 2-раскрашиваемости (скажем, в черный и белый цвета), причем без требования ориентируемости поверхности. Оказалось, что некоторые известные (и достаточно широкие) классы триангуляций гранево 2-раскрашиваемы. В частности, в разделе 5 гипотеза 1 доказана при каждом п > 2 для всех триангуляций соответствующей ориентируемой поверхности с полным трехдольным графом Кп,п,п.

3. Ключевая теорема

Пусть Р - d-ангуляция ориентируемой или неориентируемой поверхности (с простым двойственным графом). Поскольку двойственный граф G (Р) является d-регулярным, утверждение следующей леммы очевидно.

Лемма 1.Для достижения равенства х'^ (Р)) = d необходимо и достаточно, чтобы граф G (Р) был 1-факторизуемым, т. е. был суммой d 1-факторов.

Очевидно, что граф вершинно 2-раскрашиваем тогда и только тогда, когда этот граф двудольный. В классических статьях Кёнига за 1916 г. доказано [9] (см. [10]), что каждый двудольный d-регулярный граф раскладывается в сумму d 1-факторов. Из этого результата непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 1 (Кёниг).£сли х^ (Р)) = 2, то граф G (Р) 1-факторизуем.

Комбинацией леммы 1 и теоремы 1 получается ключевая теорема, которая утверждает, что каждая гранево 2-раскрашиваемая d-ангуляция ориентируемой или неориен-тируемой поверхности раскрашиваема по Грюнбауму.

Теорема 2 (ключевая теорема).£сли х^ (Р)) = 2 или, другими словами, х"(Р) = 2, то х'^ (Р)) = d или, другими словами, Рраскрашиваема по Грюнбауму.

Из теоремы 2 получается как частный случай (при d = 3), что гипотеза 1 верна для всех гранево 2-раскрашиваемых триангуляций ориентируемых и неориентируемых поверхностей.

Заметим, что ложность гипотезы 1 в неориентируемом случае очевидна. Самый известный контрпример [4] - минимальная триангуляция Tmin проективной плоскости с полным 6-графом G = K6. Здесь G (Tmin) оказывается известным графом Петерсена [11], который не раскладывается в сумму трех 1-факторов [1, 10, 11] и по лемме 1 имеет реберное хроматическое число, равное 4.

Поскольку x"(T) = x(G (T)) £ {2, 3, 4} для любой триангуляции T, гипотеза 2 является минимально возможным расширением теоремы 2 и представляется нам правдоподобной.

4. Триангуляции с полными графами

В этом разделе устанавливается существование раскрашиваемых по Грюнбауму триангуляций ориентируемых поверхностей с полными графами Kn по меньшей мере для половины классов вычетов в спектре возможных значений n.

Хорошо известно [12], что Kn триангулирует ориентируемую поверхность тогда и только тогда, когда n = 0, 3, 4 или 7 (mod. 12). Грэннелл, Григгс и Ширан [13] заметили, что при n = 0 или 4 (mod. 12) такие триангуляции заведомо не являются гранево 2-раскрашиваемыми, потому что для граневой 2-раскрашиваемости необходимо, чтобы степень каждой вершины была четной, т. е. n должно быть нечетным. Далее они установили, что построенные Рингелем [12] для всех n = 3 (mod. 12) ориентируемые триангуляции оказались гранево 2-раскрашиваемыми и что среди ориентируемых триангуляций, построенных Янгсом [14], можно найти гранево 2-раскрашиваемую для каждого n = 7 (mod. 12). Подведем итог сказанному в виде следующей теоремы.

Теорема 3 (Рингель [12]; Янгс [14]; Грэннелл, Григгс, Ширан [13]).Гранево 2-раскрашиваемая триангуляция ориентируемой поверхности с полным графомК„существует тогда и только тогда, когдаn = 3 или 7 (mod 12).

Если одна триангуляция гранево 2-раскрашиваема, а другая - нет, эти триангуляции заведомо неизоморфны, т. е. между множествами их вершин невозможно установить биекцию, продолжающуюся до гомеоморфизма их поверхностей-носителей.

Исторически первые примеры пар неизоморфных ориентируемых триангуляций с одним и тем же полным графом были построены [14] в 1970 г. В тех примерах неизоморфность следовала из того факта, что одна из триангуляций была гранево 2-раскрашиваема, а другая - нет (см. [15]). Через 24 года первый пример более двух неизоморфных ориентируемых триангуляций с одним и тем же полным графом был построен в [16], а именно были построены три такие триангуляции, только одна из которых гранево 2-раскрашиваема. В 2000 г. было показано [17] (см. также [15]), что число неизоморфных ориентируемых триангуляций с графом Kn растет очень быстро (при n^-ro) даже внутри только класса гранево 2-раскрашиваемых триангуляций; например, при n = 7 или 19 (mod. 36) это число не менее 2s(n), где s(n) = n2/54 - o(n2).

Из комбинации теорем 3 и 2 вытекает следующее следствие.

Следствие 1.При каждом n= 3 или 7(mod. 12) существуют раскрашиваемые по Грюнбауму триангуляции ориентируемой поверхности с графом Kn.

Известно [12], что Kn триангулирует неориентируемую поверхность тогда и только тогда, когда n = 0 или 1 (mod. 3), n > 6 и n ^7. Нечетность n получается только при n = 1 или 3 (mod. 6), n > 9, и для всех этих значений n гранево 2-раскрашиваемые триангуляции с графом Kn соответствующей неориентируемой поверхности построены в [12] и [18].

Теорема 4 (Рингель [12]; Грэннелл, Коржик [18])Для существования гранево 2-раскрашиваемой триангуляции неориентируемой поверхности с графом Kn необходимо и достаточно, чтобы n= 1 или 3 (mod 6),n > 9.

Следствие 2.При каждом n= 1 или 3(mod. 6), n> 9 существуют раскрашиваемые по Грюнбауму триангуляции неориентируемой поверхности с графом Kn.

Теоремы 3 и 4 гарантируют, что мы не пропустили никаких гранево 2-раскраширваемых триангуляций, применяя теорему 2 для получения следствий 1 и 2 (соответственно).

5. Триангуляции с полными трехдольными графами

Заметим, во-первых, что существование для каждого n ориентируемой треугольной укладки полного трехдольного графа Кпппбыло установлено Рингелем и Янгсом [19]. Во-вторых, граневая 2-раскрашиваемость каждой такой триангуляции установлена Грэннеллом, Григгсом и Кнором [20] (см. также [15]). Из комбинации этих двух результатов с теоремой 2 непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 5.Гипотеза 1 (Грюнбаума) справедлива при каждом n> 2 для всех триангуляций соответствующей ориентируемой поверхности с полным трехдольным графом Kn,n,n.

На первый взгляд, утверждение теоремы 5 может показаться малопредметным, однако в [21] (см. также [15]) показано, что когда параметр n - простое число, существует не менее (n-2)!/(6n) неизоморфных ориентируемых триангуляций с графом Kn,n,n. Более того, в [22] найдены улучшенные оценки числа таких триангуляций; например, при n = 6 или 30 (mod 36) существует не менее nt(n) неизоморфных ориентируемых триангуляций с графом Kn,n,n, где t(n) = n2/144 - o(n2).

Литература

1. Харари Ф. Теория графов: пер. с анг. - М.: Мир, 1973. - 300 с.

2. Визинг В.Г. Об оценке хроматического класса р-графа // Дискретный анализ. -Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1964. - Т. 3. - С. 25-30.

3. Grünbaum B. Conjecture 6 //Recent Progress in Combinatorics (W.T. Tutte Ed.). -New York: Academic Press, 1969. - 343р.

4. Archdeacon D. Problems in Topological Graph Theory: Three-Edge-Coloring Orientable Triangulations, website: http://www.emba.uvm.edu/~darchdea/problems/grunbaum.htm.

5. Archdeacon D. Problems in Topological Graph Theory, web-site:http://www.emba.uvm.edu/~darchdea/problems/problems.html.

6. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph Theory with Applications. - New York: Elsevier Science, 1976.

7. Saaty T.L., Kainen P.C. The Four-Color Problem: Assaults and Conquest. - New York: Dover, 1986.

8. Kochol M. Polyhedral embeddings of snarks in orientable surfaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 2009. - № 137. - Р. 1613-1619.

9. König D. Grafok es alkalmazasuk a determinansok Zs a halmazok elme- letere // Ma-tematikai es Termeszettudomanyi Ertesito. -1916. - № 34. - Р. 104-119.

10. Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочета-ний в математике, физике, химии: пер. с анг. - М.: Мир, 1998. - 653 с.

11. PetersenJ. DieTheoriederregulärenGraphen //ActaMath.- 1891. - № 15. - P. 193220.

12. РингельГ. Теоремаораскраскекарт: пер. санг. - М.: Мир, 1977. - 256 с.

13. GrannellM.J., GriggsT.S., Siran J. Face 2-colourable triangular embeddings of complete graphs // J. Combin. Theory Ser. - 1998. - B. 74, № 1. - Р. 8-19.

14. Youngs J.W.T. The mystery of the Heawood conjecture //Graph Theory and its Applications (B. Harris, Ed.). - New York: Academic Press, 1970. - Р. 17-50.

15. GrannellM.J., Griggs T.S. Designs and Topology// Soc. Lecture Note Series 346.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. -P. 121-174.

16. Lawrencenko S., Negami S., White A.T. Three nonisomorphic triangulations of an orientable surface with the same complete graph //Discrete Math.- 1994. - В. 135, № 1-3. -Р. 367-369.

17. Bonnington C.P., Grannell M.J., Griggs T.S., Siran J. Exponential families of nonisomorphic triangulations of complete graphs // J. Combin. Theory Ser. - 2000. - B. 78, № 2. - Р. 169-184.

18. GrannellM.J., Korzhik V.P. Nonorientable biembeddings of Steiner triple systems // Discrete Math. - 2004. - В. 285. - Р. 121-126.

19. Ringel G., Youngs J.W.T. Das Geschlecht des symmetrischen vollständigen dreifärbbaren Graphen // Comment. Math. Helv. - 1970. - В. 45. - Р. 152-158.

20. Grannell M.J., Griggs T.S., Knor M. Biembeddings of Latin squares and Hamilto-nian decompositions, Glasgow Math. J. - 2004. - В. 46, № 3. - Р. 443-457.

21. Grannell M.J., Griggs T.S., Knor M., Siran J. Triangulations of orientable surfaces by complete tripartite graphs // Discrete Math. - 2006. - № 306.- Р. 600-606.

22. GrannellM.J., Knor M. Dihedral biembeddings and triangulations by complete and complete tripartite graphs // Graphs and Combin. - 2013. - В. 29, № 4.- Р. 921-932.

Поступила в редакцию 10 сентября 2014 г.

UDC 519.1

On Grünbaum's conjecture on edge-coloring graphs

S.A. Lawrencenko1, A.M. Magomedov2

1Russian State University of Tourism and Service; lawrencenko@hotmail.com 2Daghestan State University; magomedtagir1@yandex.ru

A triangulation is said to be Grünbaum colorable if its edges can be 3-colored so that every triangle uses all three colors. Grünbaum colorability is proved for all triangulations of orientable surfaces by complete tripartite graphs.

Keywords: conjecture, colorability, triangulation, surface.

Received10September, 2014