CC BY
57По теореме 4 для каждого 1 ^ ^ ^ т существуют х* € С, такие, что х* — х^ = у* — для 1 ^ г ^ п. Тогда множество {х1,... ,хп}, где хг = (х\,... ,хгт), содержится в Ст и изометрично {у1,... ,уп}, т.е. изометрично М. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Iliadis S.D. A separable complete metric space of dimension n containing isometrically all compact metric spaces of dimension n // Topol. and its Appl. 2013. 160, N 11. 1271-1283.
2. Iliadis S.D., Naidoo I. On isometric embeddings of compact metric spaces of a countable dimension // Topol. and its Appl. 2013. 160, N 11. 1284-1291.
3. Tits J. Groupes à croissance polynomiale // Séminaire Bourbaki. 1980-1981, N 572.
4. Iliadis S.D. Universal spaces and mappings. Amsterdam: Elsevier Science, 2005.
5. Эпгелькипг P. Общая топология. M.: Мир, 1986.
6. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. M.: ИЛ, 1948.
Поступила в редакцию 12.12.2013
УДК 514.174.5
О МИНИМАЛЬНЫХ ТРИАНГУЛЯЦИЯХ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Г. М. Сечкин1
В статье сформулирован метод, позволяющий получить верхнюю оценку числа различных минимальных триангуляции многообразия. Как пример найдены все минимальные триангуляции бутылки Клейна. Также рассмотрен алгоритм итерационного построения минимальных триангуляций.
Ключевые слова: минимальная триангуляция, графы на многообразиях, триангуляция бутылки Клейна.
A method allowing one to obtain an upper estimate of the number of different minimal triangulations of manifolds is presented in the paper. All minimal triangulations of the Klein bottle are obtained as an example. An iterative algorithm for construction of the minimal triangulations is also considered.
Key words: minimal triangulation, graph on the surface, triangulation Klein bottle.
1. Введение. В 1955 г. Г. Рингель [1] вывел формулу, связывающую эйлерову характеристику и число вершин в минимальной триангуляции для неориентируемых поверхностей. Ориентируемый случай оказался сложнее, и полный ответ был получен в статье Г. Рингеля, М. Янгермана [2] в 1980 г. В настоящей работе разобран случай, когда минимальная триангуляция многообразия является полным графом, в этом случае формула выводится совсем просто. Полученное нами следствие 2 дает возможность сразу ответить на вопрос, для каких многообразий минимальная триангуляция полным графом быть не может.
Задача о нахождении минимальной (по числу вершин) триангуляции двумерного многообразия имеет широкое практическое применение. Но на данный момент нет явного алгоритма, позволяющего получить ее для произвольного многообразия. В п. 8 рассматривается итерационный алгоритм, который строит триангуляцию многообразия большего рода, основываясь на триангуляциях меньшего. Этот алгоритм не всегда приводит к минимальной триангуляции, но предлагает триангуляцию, "мало отличающуюся" от минимальной.
Проблемой о числе минимальных триангуляций бутылки Клейна занимался Д. Цервоне [3]. Он получил верный результат, но предоставил неполное доказательство. Основной результат его работы — нахождение всех групп симметрий полученных триангуляций.
1 Сечкин Георгий Михайлович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ego-rishQya.ru.
Отметим еще работу С.А. Лавренченко и С. Негами [4], в которой рассмотрена более сложная задача — найдены все нестягиваемые триангуляции.
2. Основные определения и теорема Эйлера.
Определение 1. Триангуляцией двумерного многообразия называют разбиение многообразия на симплексы [5]. Для каждого многообразия существует бесконечно много триангуляций. Триангуляция — это вложение графа в многообразие с выполнением следующих требований:
1) граф разбивает поверхность на области, ограниченные треугольниками (грани графа);
2) в графе нет петель;
3) любые два треугольника или не пересекаются, или пересекаются по вершине либо по ребру;
4) число треугольников разбиения конечно.
Минимальной называют ту, в которой количество вершин меньше всего.
Теорема Эйлера (см. [6]). Для произвольной триангуляции двумерного многообразия, верно следующее соотношение: В — Р + Г = х(М), где В — число вершин графа, Р — ребер, Г — граней, а %(М) — эйлерова характеристика, равная 2 — 2д в ориентируемом случае, где д — род поверхности, или 2 — к в неориентируем,ом, случае, где к — число пленок Мёбиуса.
Следствие 1. Триангуляция многообразия, минимальная по числу вершин, автоматически минимальна по числу ребер и граней.
К теореме Эйлера следует добавить соотношение ЗГ = 2Р, которое вытекает из того, что все грани являются треугольниками.
Определение 2. Граф называется полным, если в нем проведены все возможные ребра. Полный граф, состоящий из В вершин, обозначим К в.
Валентностью вершины будем называть число ребер, ей инцидентных.
3. Примеры минимальных триангуляций. Хорошо известно, что
1) минимальная триангуляция сферы задается графом К4;
2) для тора минимальной триангуляцией является (рис. 1, а, 6; вершины на всех рисунках обозначены латинскими заглавными буквами или цифрами) — это два разных изображения одного и того же графа Кт,
3) для ЯР2 минимальной триангуляцией является граф Кв (рис. 1, с).
Данные примеры объединяет то, что указанные минимальные триангуляции являются полными графами. Но это не всегда так, пример тому — крендель. Кроме того, не любой полный граф является минимальной триангуляцией двумерного многообразия. Исследуем данный вопрос подробнее.
4. Комбинаторная теорема. Используя теорему Эйлера и комбинаторные соотношения, получаем следующую теорему.
Теорема 1. Для минимальной триангуляции двумерного многообразия с эйлеровой характеристикой х верно неравенство В2 — 7В + 6% ^ 0, где В — число вершин.
Доказательство. Для любого графа выполняются два соотношения: Р ^ (так как
из каждой вершины выходит не более В — 1 ребер) и Г ^ (поскольку каждый треугольник
содержит три вершины, а к каждой вершине примыкает не более В — 1 треугольника). Подставляя эти соотношения в формулу Эйлера, получаем искомое неравенство.
Следствие 2. Полный, граф Кв является минимальной триангуляцией двумерного многообразия с эйлеровой характеристикой х, если и только если он вкладывается в многообразие и число вершин В удовлетворяет равенству
Следствие 3. Имеется бесконечно много целочисленных пар (В,%); удовлетворяющих равенству (1); более того, т,а,ки,х пар бесконечно много как при четном В; так и при нечетном.
Замечание. Рассмотрим бутылку Клейна, х(-К7) = 0. Напомним, что характеристика тора тоже равна нулю. Пара В = 7, % = 0 удовлетворяет соотношению (1). Однако Кч — триангуляция Т2, а для бутылки Клейна минимальное число вершин равно 8 (подробное доказательство того, что граф Кч не может быть реализован на бутылке Клейна, см. в [2]). То есть условие вложимости в следствии 2 является существенным.
Преобразуем равенство (1) к виду В2 — 7В + 6% = 0. Оно имеет бесконечно много решений (В, х) '■= (4, 2), (6,1), (7, 0), (9, —3), (10, —5),.... То есть не реализуется как минимальная триангуляция ни на каком двумерном многообразии. А у сферы с двумя ручками (% = —2) минимальная триангуляция не является полным графом.
(1)
Рис. 1. Минимальная триангуляция тора (а, Ь), проективной плоскости (с) и бутылки Клойиа (д — I):
стягивание ребра (с? — /)
5. Операции над триангуляциями. Определим две операции, позволяющие из триангуляции получать, быть может, другую триангуляцию. Подробное описание этих операций можно найти в |7, 8|.
Определение 3. Флип это замена одной диагонали четырехугольника на другую, не приводящая к образованию кратных ребер.
Заметим, что флип не уменьшает число ребер, однако, возможно, позволяет выполнить следующую операцию.
Определение 4. Стягиванием графа по ребру называется операция, при которой две инцидентные вершины объединяются в одну, соединяющее их ребро удаляется, а ребра, инцидентные двум граничным вершинам удаленного ребра, соединяются с вновь образованной вершиной (рис. 1, <1, е, стягиваемое ребро изображено пунктиром). При этом должны выполняться два требования:
1) стягиваемое ребро не должно быть ребром неплоского 3-цикла. Треугольник вершин, или 3-цикл, называется неплоским, если он не ограничивает некую грань на многообразии (рис. 1, /);
2) рассматриваемое нами многообразие не является сферой.
Эти условия являются необходимыми для получения триангуляции, что проверяется простым перебором.
Определение 5. Триангуляция называется нестягиваемой, если все ребра содержатся в неплоских 3-циклах.
Из нестягиваемости триангуляции не следует ее минимальность.
6. Оценочные формулы для минимальной триангуляции. В данном пункте собраны все известные нам оценочные формулы. Соотношения были получены в разное время и разными авторами. Разрешив квадратное уравнение (1), приходим к следующему соотношению:
в ^ 7 + У49 - 24Х(М2)_ (2)
Руководствуясь этим неравенством, формулой Эйлера и соотношением ЗГ = 2Р, получим Г = 2В — 2%. Подставляя в последнее равенство значения В из (2), находим
(8)
Заметим, что число вершин минимальной триангуляции не может быть больше, чем на единицу, значения в правой части (2). Следовательно, (3) можно преобразовать к виду
Г = 2
7 + д/49 — 24%(М2)
-2 Х(М2). (4)
Здесь [а] — целая часть сверху. Данная формула верна для всех ориентируемых многообразий, кроме кренделя — поверхности рода 2. Для нее по формуле (4) Г = 22, но, как заметили Рингель и Янгерман [2], данная триангуляция не реализуется, следовательно, для кренделя Г = 24. Для неориентируемого случая Рингель [1] доказал следующую формулу:
Г = 2
9 + л/48 - 24х(М2)
- 2Х(М2
В случае ориентируемого многообразия рода д из формулы (1) следует, что для триангуляций, заданных полным графом, выполнено равенство
В2 - 7В + 12
Я =-•
У 12
7. Минимальная триангуляция К12. Случай бутылки Клейна очень интересен, например, тем, что это поверхность с максимальной характеристикой, для которой минимальная триангуляция не единственна. Как уже отмечалось, полный граф Кч не является триангуляцией бутылки Клейна (см. [2]). Триангуляцию из восьми вершин построить несложно, но, естественно, возникает вопрос об их количестве.
Определение 6 [9]. Два графа 6*1, 6*2 на поверхности М2 называются изоморфными, если существует гомеоморфизм М2 на себя, переводящий С\ в Сг (ребра в ребра, вершины в вершины).
Построим все возможные минимальные триангуляции К12.
Теорема 2. Существует ровно шесть различных минимальных триангуляций бутылки Клейна (они представлены на рис. 1, д—1).
Доказательство. Пусть ы — число вершин триангуляции валентности г. Тогда имеем два соотношения
= В = 8, Яги, = 2Р = 48.
Первое — условие на число вершин, а второе следует из того, что каждому ребру соответствуют две вершины, что верно для любого графа.
Воспользовавшись этими комбинаторными соображениями, найдем все возможные комбинации вершин (случаи), их оказалось 15 (табл. 1).
Для простоты описания упорядочим вершины по валентности: [А] ^ [В] ^ [С] ^ [Б] ^ [Е] ^ р] ^ [С] ^ [Н], где [А] — валентность вершины А. Разберем все случаи по отдельности. Для удобства будем указывать соответствующий столбец из табл. 1 рядом с разбираемым случаем.
Таблица 1
Возможные комбинации вершин (случаи)
щ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
г'з 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
г>4 0 1 0 0 0 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0
г>5 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 4 3 2 1 0
г>б 0 1 0 2 4 0 2 1 3 5 0 2 4 6 8
г>7 6 5 5 4 3 5 4 4 3 2 4 3 2 1 0
Случаи 1-4. Разберем случай 4. Вершины А, В, С, Б валентности 7 должны быть соединены со всеми остальными вершинами, но Н вершина валентности 3, т.е. этот вариант невозможен. Случаи 1 3 невозможны но аналогичной причине.
Случай 5 (10043). Предположим, что триангуляция существует. Рассмотрим граф К-, к трем вершинам которого добавили но одному дополнительному ребру, причем эти ребра сходятся в вершине Н валентности 3. Однако любое из них можно стянуть, объединив граничные вершины, без ущерба для триангуляции, так как никакие два ребра из них не образуют цикла. Следовательно, мы можем уменьшить число вершин триангуляции, что противоречит минимальности. Значит, такая комбинация вершин невозможна.
Случаи 6 и 8 (02105 и 01214)- Разберем случай 8. Временно удалим вершины валентности 7 и все ребра, инцидентные им, тогда у нас останутся: вершины К. С валентности 1, вершина Е валентности 2 и еще одна свободная вершина Н (см. рис. 2, а), а четыре удаленные вершины соединены с остальными.
Рис. 2. Возможные расположения вершин в различных триангуляциях (а — д) и триангуляция ручки {h—j)
Как видно из рисунка, можно стянуть ребро К — К. поскольку оно не содержится ни в одном неплоеком 3-цик.ле. То есть данная комбинация не дает триангуляцию. Для случая 6 ситуация аналогична: после удаления вершин валетности 7 имеем три вершины Е, Е, С, как на рис. 2, а.
Случай 7 ( 02024). данной ситуации вершины Н, С валентности 4 соединены с четырьмя вершинами валентности 7, но тогда для шестивалентных вершин не хватает соседей, а кратные ребра и петли недопустимы, так как мы рассматриваем триангуляцию. Таким образом, этот случай тоже невозможен.
Случай 9 (01133). Вершины А, В, С семивалснтные; I). К. К шеетивалентные; [С] = 5, [Н] = 4. С вершинами А, В, С неизбежно соединены все вершины. Вершина Н не может быть соединена с С, иначе в группе О, Е, Е появятся кратные ребра. Остается единственная возможность соединить С с Е и Е (рис. 1,1).
Случай 10 (01052). Снова проделаем операцию удаления вершин валентности 7, после чего останется пять вершин валентности 4, которые образуют граф К5, и еще одна вершина валентности 2, но ее не с чем соединить. Этот случай невозможен.
Случай 11 (00404). Имеем [А] = [В] = [С] = [D] = 7, [Н] = [Е] = [F] = [G] = 5, после удаления ребер, инцидентных А, В, С, D, останутся вершины валентности 1. Единственно возможная триангуляция представлена на рис. 1, г.
Случай 13 (00242). Валетности вершин таковы: [G] = [Н] = 5, [А] = [В] = 7, [С] = [D] = [F] = 6. Возможны два подслучая: G и Н инцидентны или нет.
1) Пусть вершины Н и G соединены ребром, тогда заметим, что вершины D, Е, F, С валентности 6 не могут быть инцидентны одновременно G и Н. Значит, единственная возможность расположения A, G, В, Н указана на рис. 2, d. Расставим D,E, F, С произвольным образом, например, как на том же рисунке. После этого следует провести все ребра между вершинами А, В, С, D, Е, F, что делается единственным образом. Результат указан на рис. 2, е, но это дает нам триангуляцию тора, в чем несложно убедиться, задав граничный код и приведя его к каноническому виду (см. [6, 8]).
2) Теперь вершины Н и G не инцидентны. Рассмотрим звезду вершины Н, зададим произвольное направление обхода вершин, соседних с Н, и выпишем их. Вершины А, В находятся в этой последовательности либо подряд, либо нет. Разберем эти возможности отдельно.
(а) Пусть ребро A 15 принадлежит звезде. Рассмотрим окружение звезды Н (на рис. 2, / оно показано пунктирной линией). В нем содержатся все семь вершин, кроме Н. Составим таблицу инцидентности (см. табл. 2).
При составлении таблицы мы воспользовались тем, что вершина F инцидентна всем, кроме Н, это определило дальнейшую расстановку вершин. Поставим на рис. 2, / буквы вместо цифр. Используя то, что у внешних вершин соседи должны быть различными, получаем, что 10 совпадает с F. Это определяет все вершины, кроме 2-6. Их расстановка получается из того, что G и D неинцидентны. Результат представлен на рис. 2, д. Однако проверка, как и выше, показывает, что это — триангуляция тора.
(Ь) Используя то, что ребро A 15 не принадлежит ни звезде Н, ни G, получаем триангуляцию (см. рис. 1, К). Она получена аналогичным методом: рассматривается окружение и подставляются внешние вершины. При построении иных возможностей не возникает.
Случай 12 (00323). Имеем [А] = [В] = [С] = 7, [Е] = [D] = 6, [Н] = [F] = [G] = 5. После удаления трех вершин А, В, С получаем граф: [Е] = [D] = 3, [Н] = [F] = [G] = 2. Как и в предыдущем случае, нам следует рассмотреть две конфигурации расположения вершин: Е, D инцидентны или нет. Если ребра К I) нет, то Е и D соединены с остальными вершинами (см. рис. 2, с). Если же ребро есть, то одна из вершин, например G, соединена с Е, D, оставшиеся вершины F и Н соединены между собой, расставить их можно произвольным образом, например, как на рис. 2, с. Вторая конфигурация имеет два варианта реализации, в одном из которых треугольник EDG плоский, а в другом нет. Результат представлен на рис. 1, j, к, иных возможностей построить триангуляцию нет. Данный пример замечателен тем, что разные вложения одного и того же графа дают нам разные триангуляции бутылки Клейна.
Рассмотрим первую конфигурацию (рис. 2, 6), там указаны все ребра между вершинами Е, Н, G, D, F. Предположим, что мы можем простроить эту триангуляцию. У нас есть три четырехугольных цикла: HEGD, FEGD, HEFD, они разбивают поверхность на три области. В каждую из них следует поместить вершину, иначе мы имели бы четырехугольные грани триангуляции. Тогда вершины А, В, С нельзя соединить между собой, а так как это вершины велентности 7, то получаем противоречие.
Случай 14 (00161). При любом расположении шестивалентных вершин существует возможность сделать флип и вместо ребра, соединяющего две шестивалентные вершины, провести ребро, соединяющее Н и некую шестивалентную вершину. Тогда мы получим случай 13 (две семивалентные вершины, две пятивалентные и четыре шестивалентные), а он, как мы уже рассмотрели выше, дает нам единственную триангуляцию, значит, и в нашем случае она единственна (см. рис. 1, д).
Случай 15 (00080). Предположим, что триангуляция существует. Все вершины валентности шесть, это означает, что они разбиты на пары неинцидентных вершин. Без ограничения общности можно предположить, что четыре удаленных ребра суть (А, В), (С, D), (Е, F), (Н, G). Рассмотрим вершины А, В, С, Е; ребра, соединяющие вершины внутри этой группы, можно представить в качестве квадрата с одной проведенной диагональю (С,Е). Возможен флип (С,Е) —>■ (А, В), при этом
Таблица2
А С D F G
В D Е F G
С А G F
D F А В
Е В G F
мы получим то лее триангуляцию. Это случай 13, (а), по данная триангуляция, как мы показали, порождает тор.
8. Итерационное построение минимальных триангуляций. Разберем вначале случай ориентируемых многообразий.
Алгоритм градиентного спуска пе подходит, поскольку существуют пестягиваемые, по пе минимальные триангуляции. Поиски алгоритма, позволяющего получить минимальную триангуляцию для произвольного многообразия, пока пе увенчались успехом.
Рассмотрим итерационный алгоритм. Минимальная триангуляция многообразия строится на основании уже построенных минимальных триангуляций для многообразия меньшего рода. Хотя этот алгоритм пе всегда позволяет получить минимальную триангуляцию, но во многих случаях эффективно работает. Он допускает простую компьютерную реализацию. В тех случаях, когда минимальной триангуляции достичь пе удается, мы получаем триангуляцию, ''мало отличающуюся"' от минимальной. Приведем описание метода и поясним, почему оп пе всегда решает поставленную задачу, а в следующем пункте укажем пример, когда алгоритм работает.
Алгоритм. Пусть для многообразия М рода р мы знаем минимальную триангуляцию. Выберем пару плоских треугольников и подклеим к ним ручку (она изображена па рис. 2, 1г), что добавит нам 3 вершины. 15 ребер и 10 треугольников. Рассмотрим все пестягиваемые триангуляции, которые могут быть получены памп из только что построенной. Для поиска воспользуемся алгоритмом градиентного спуска. Проделаем эту операцию для всех пар треугольников.
Если минимальная триангуляция М не единственна, рассмотрим все возможные триангуляции и повторим паши построения, после чего мы получим список пестягивае-мых триангуляций данного многообразия. Найдем среди них минимальную.
Контрпример. В качестве исходной минимальной триангуляции возьмем граф Кп. При этом вариант подклеива-
ния ручки только один, по-
Рне. 3. Триангуляция кренделя, поверхности рода 2(а — с1)
скольку мы производим подклейку к полному графу; варианты, различающиеся перенумерацией вершин, мы пе рассматриваем. Покажем, что полученная триангуляция является нестягиваемой.
Проверять на стягиваемость следует только добавленные ребра, так как ребра полного графа содержатся в пеплоскнх 3-циклах. Пример ручки представлен па рис. 2, 1г. Заметим, что ребра 8 — 9 — 10 образуют пеплоский 3-цикл. Осталось проверить только ребра, соединяющие вершины из Кп, и вновь добавленные, например ребро 5 — 8. Но при стягивании образуется ребро, соединяющее вершину из верхней группы и вершину из нижней, в нашем примере это ребро 3 — 5, по такое ребро уже есть в Кп. Значит, стягиваемое ребро лежало в пеплоском 3-цикле.
Флип возможен только па подклеенной ручке. Чтобы сделать стягивание по ребру, необходимо прийти к ситуации, когда вершина из средней группы (8,9,10) пе соединена одновременно с вершинами из верхней группы (1,2,5) и из нижней (3,4,6). Для простоты изложения разберем этот случай па примере, остальные получаются из него перенумерацией.
Предположим, что мы хотим удалить ребра, соединяющие вершину 8 с вершинами 5 и 2. Сде-
лаем флии (5,8) —> (2,10), это представлено на рис. 2, h, г. Но флип (2,8) —> (9,10) на ребре 9 — 10 мы не можем сделать (что показано пунктиром на рис. 2, j), так как получим кратное ребро 9—10.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты флипов и стягиваний, но при этом число вершин уменьшить невозможно.
Значит, согласно алгоритму число вершин должно быть п + 3. Но, например, для многообразия с характеристикой % = —10 минимальная триангуляция есть К12, что следует из формулы (1). Для % = —12 по формуле (4) необходимо всего лишь 13 вершин, т.е. на две вершины меньше, чем в предложенном нами алгоритме.
Эта же конструкция подходит и для неориентируемого случая, но с некоторыми изменениями. Как известно [6, 10, 11], ручка при наличии пленок Мёбиуса распадается в две пленки. Следовательно, эйлерова характеристика будет меньше на 2, чем у исходного многообразия.
9. Триангуляция кренделя. Получим триангуляцию кренделя путем подклеивания триангулированной ручки к двум треугольникам триангуляции тора, как предложено в п. 8. Рассмотрим треугольники 1 — 5 — 2 и 4 — 3 — 6 на минимальной триангуляции тора (отмечены на рис. 3, а серым цветом). Подклеим ручку, результат представлен на рис. 3, Ъ. Но это еще не является разверткой кренделя: если склеить все граничные ребра, то неприклеенными останутся ребра 1 — 3,3 — 4,1 — 4. Во избежание этого подклеим треугольник 1—3 — 4 и получим развертку, задающую минимальную триангуляцию (рис. 3, d).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ringel G. Wie man die geschlossenen nichtorientierbaren Flachen in möglichst wenig Dreiecke zerlegen kann // Math. Ann. 1955. 130. 317-326.
2. Jungerman M., Ringel G. Minimal triangulation on orientable surfaces // Acta. Math. 1980. 145. 121-154.
3. Cervone D.P. Vertex-minimal simplicial immersions of the Klein bottle in three space // Geometriae Dedicata.
1994. 50. 117-141.
4. Lawrencenko S.A., Negami S. Irreducible triangulations of the Klein bottle // J. Combin. Theory. Ser. B. 1997. 70, N 2. 265-291.
5. Фукс Д.Б., Фоменко А. Т. Гомотопическая топология. Ижевск: УРСС, 1989.
6. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. М.: Изд-во МГУ, 1998.
7. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1972.
8. Ошемков A.A., Попеленский Ф.Ю., Тужилин A.A., Фоменко А.Т., Шафаревич А.И. Курс наглядной геометрии и топологии. Сер.: Классический учебник МГУ M.: URSS; Леланд, 2014.
9. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. 3-е изд. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2010.
10. Борисевич Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я. А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. Ижевск: УРСС,
1995.
11. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1983.
Поступила в редакцию 25.03.2015
УДК 517.5
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛНЫМИ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Li и Loo
М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2
В работе установливается взаимосвязь между полными модулями гладкости натуральных порядков в метриках Ь\ и Ь^.
Ключевые слова: полный модуль гладкости, метрика.
1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.
2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.
