К геометрии n-поверхностей в евклидовом пространстве e n+m Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.752

М.А. Чешкова

К геометрии га-поверхностей в евклидовом пространстве Еп+т

В евклидовом пространстве Е'1+т рассматриваются две гладкие /¡-поверхности М, М и диффеоморфизм Т: М ® М . Исследуются случаи, когда главные нормали поверхности М :

1) параллельны касательным плоскостям к М;

2) ортогональны касательным плоскостям к М. Пусть М, М — две гладкие «-поверхности

в евклидовом пространстве Еп+т, Т: М ® М

— диффеоморфизм, Е(М)—К—алгебра дифференцируемых на М функций, Т/1 —/■—модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (д, ,?), д — дифференцирование в Еп+т.

Формулы Гаусса-В ейнгартена поверхности М имеют вид ([1], стр. 23)

дху = VхУ + а(X, У),

дх Х=-А XП)

где Х,¥<е Т0(М), V — связность Лсви-Чивита

метрики \ .) ) <\ .) >. <,> — скалярное произведение в Еп+т, а— вторая фундаментальная форма поверхности М, V1 — нормальная связность, Ах е Т^(М) — оператор Вейнгарте-

на, соответствующий полю X е ТМ1.

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

Я(X, У)1 = Аа(у,г) Х - Аа(X) У,

Я1 (X, У)X = а(X, Ах У) -а(У, Ах X),

(V хА )(У) - (УуАх)(X) = (2)

А^хху - X, (Оха)(У, I) = ФУа)( X, I),

где

Я(X, У)1 = VXУу1 ^уVXI- V[X,У]I

— кривизна связности V ,

Я 1 (X, У)Х = V X vlx-vl V XX-v[1х У

— кривизна нормальной связности V1,

(VхА)(У) ^хАхУ- Ах(VхУ)

— ковариантная производная поля А^ в связности V ,

(Бха)(У, г) =

= V ха( У, г) -а(У хУ, г) -а(У, V хХ)

а

сти V1 ev.

Обозначим через г — радиус вектор точки реМ, чере з г — радиус вектор точки /(р) е М , через а — вектор р Т(р).

Тогда отображение /:М ® М запишется в

виде

т=г-а. (3)

Дифференциал отображения / определится из равенства

dfW=df(dxT) = дхт, Хе ТМ.

Положим a=u+r, UeTM, геТ M1. Дифференцируя (3) и используя (1), получим

df(X)=FX+WX, ' (4)

где

FX=X^A,X+V XU, (5)

WX = a( X, U) + V Хт,

ЕХеТМ, WXeT M1.

Отображение f индуцирует на М метрику g (X,Y)=<df(xi,df(Y)>= '

=<FX, FY>+< WX,W1>. (6)

Обозначим через N векторное расслоение

над М, слой которого Ep=Tf(p) M1. Пусть V — связность на М, удовлетворяющая условию

(dxdf(Y)) р — (df(V XY)) p = a( X, Y) p е Ep.(7)

Лемма 1. Связность V есть связность Леви-Чивита. метрики g , а векторпозиач-ная билинейная форма a — симметричная.

Д ОКАЗ ATE Л ЬСТВО. Имеем

Z g (X, Y) =< д xdfX,dfY>+<dfX, д xdfY>= =<dfV /Х+ a(Z,X), dß>+ +<dfX, dfV ZY+ a (Z, Y)>.

Откуда

Z g \x, Y)= g(VzX,Y)+ g (X, V /Y), т.е. связность V согласована с метрикой g . Так как

д xdfi'+d хд у г и dXд YT -dYdXT — д X YT = 0,

то получим

dfV xY-df V }X-di[X, Y\+a(X, У) --a (УД)=0,

Приравнивая нулю касательные и нормальные составляющие к М , получим df( VXY- V YX-[X, yj) =0, a{X,Y)-a (УД)=0,

Так как/— диффеоморфизм, то

V XY- V FY-[Y,yi=0, a{X,Y)-a (УД)=0, т.е. кручение связности V равно нулю. Следовательно, V — есть связность Леви-Чивита метрики g, а билинейная форма a — симметричная.

Для "р е M разложим a (X,Y)p на каса-

тельную а (Х,У)рт и нормальную С (X, У) р

составляющие к поверхности М,

Лемма 2. Имеют .место соотношения

а(.¥,Г),т =ФхР){У) - ^пуХ, (8)

а{Х, У)р= (ОХП)(У) + а(X, ГУ), где (ОхГ)(У) = У ХГУ- ГУХУ — ковариант пая производная поля I7 в связности У © У , а (ОрП)(У) = УХПУ-ПУХУ — ковариантная

производная П в связности. Ур©У.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из (1),(5),(7) имеем

а(Х,У) = дХ(ГУ + ПУ)- ГУХУ-ПУХУ = = У ХГУ + а(Х, ГУ) - АПУХ+ + УрПУ- ГУХУ-ПУХУ =

= а (Х,У)Т+ а (X, У)р.

Приравнивая касательные и нормальные компоненты, получим (8).

Рассмотрим векторное пространство, определяемое векторами а (Х,¥)р — главная нормаль поверхности М в точке <7=/(р).

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

1) главные нормали поверхности М па раллельиы нормальным пространствам к М в соответствующих точках;

2) (ВхГ)(У) = АпуХ ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Из (8) следует, что

а (X, У)Т=0 (ОХГ)(У) = А„уХ ,

Теорема 2. Если главные нормали поверхности М параллельны нормальным пространствам к М в соответствующих точках, то тензоры кривизны К, К связностей У, У удовлетворяют соотношениям

К(Х.У)1/. 1Й(Х.У)/.

= А 7 - А 7

|( орпуг) |( прп)( Х-) ■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 1 имеем

У уГ7 = ГУу7 + АагУ.

Дифференцируем вдоль Л

У хГУу7 +У Х Ап7 У = У х УуГ7 =

= ГУ х Уу7 + АпУу7 Х +У хА„7 [ Х, У]. Так как

У[ х ,у ] Г7 = ГУ [ х ,У ] 7 + А„7 [ Х, У], то получим

К( х,У)Гг=У х У УГ7-У У У ХГ7 --У[ х ,У ] Г7 = ГК (X, У) Х + (УхА„7 )(У) -

- (УУАт)(Х) + Апу7Х- Апух7У.

Используя (2), имеем

Щх',У)Е1= ГК( Х, У)7 + Аурп7У -

АУрП7 Х + АПУу7 Х АПУх7 У =

= ГК (х, г>г + А(охп)( 7 У - А

(ОрЯ)(7)

х.

Пример 1. f: М ® М соответствие Петер-сона, т.е. касательные плоскости в соответствующих точках параллельны. Тогда [2] П = 0,ат=0, аег Г Ф 0, К (Х, У) = Г-1 К( Х, У)Г7, У ХУ = г-'У ХГУ.

Теорема 3. Следующие утверждения эквивалентны:

1) главные нормали поверхности М параллельны касательным пространствам к М в соответствующих точках;

2) {БХЩ{У) = -а{Х, ГУ).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Главные нормали поверхности М параллельны касательным пространствам к М тогда и только тогда, когда

а1. Используя (8), получим доказательство теоремы.

Теорема 4. Если главные нормали поверхности М параллельны касательным пространствам к М в соответствующих точках, то тензоры кривизны К, К связностей У, У удовлетворяют соотношениям: К1 (Х, У) П7 = ПК (Х, У) 7+

+ а((ОуГ)(7), Х) -а((ОхГ)(7), У).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 3 имеем

УрП7 = ПУ У7-а(У, Г7).

Дифференцируем вдоль Л

УХУрП7 = У хПУ У7-УХа(У, Г7) = = ПУхУ У7 -а( Х, ГУУ7) -У1ха( У, Г7).

Так как

У[х,У]П7 = ПУ[х,^7-а([Х, У], Г7), то получим

К1 (Х, У)П7 = ПК(Х, У)7 -а( Х, ГУ У7) +

+ а( У, ГУх7) - У Ха( У, Г7) + + Ура(Х, Г7) + а([Х, У], Г7).

Из (2) имеем

У ра( Х, Г7) - У Ха( У, Г7) + а(У х У, Г7) --а(У У Х, Г7) + а( У, У ХГ7)-а( Х, У УГ7) = 0.

Таким образом,

Кр (Х, У)П7 = ПК(Х, У)7+а( У, ГУх7) -

а( Х, ГУУ 7) + а( Х, У У Г7)-а( У, У ХГ7) = = ПК(Х, У)7+а(У, (ОхГ)(7)) --а( Х ,(ОуГ)(7)).

Пример 2. М, М -п поверхности в В2", касательные плоскости которых в соответствующих точках ортогональны. Тогда [3]

р=о, а1 =о. я (х, У) г= о-1 г'(х, У) аг, V ху=

Определено О-1. Имеем О У.

Литература

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 2. 414 с.

2. Чешкова М.Л. Соответствие Петереоиа нары /»-поверхностей/ Тр>ды международно1-о конгрес-

са "Женщины-математики". Н.Новгород, 1994. Выи. 3. С. 42-46. 3. Чешкова М.Л. К геометрии иары ортогональных /1-иоверхноетей в -Ё2"//Сиб.мат.ж. Т. 36. 1995. С. 228-232.