Преобразование Бианки n-поверхностей в евклидовом пространстве e²ⁿ Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________________________________Преобразование Бианки п-поверхностей ...

УДК 514.75

М.А. Пешкова

Преобразование Бианки n-поверхностей в эвклидовом пространстве Е2п

Классическая теорема Беклунда утверждает, что фокальные поверхности псевдосферической конгруенции в Ея имеют одинаковую постоянную отрицательную кривизну. В этом случае касательные плоскости к фокальным поверхностям пересекаются под постоянным углом и расстояние между фокальными точками постоянно. Теорема Беклунда обобщается [1] для конг-руенции общих касательных двух n-мерных поверхностей М,М в Е'-п~\ когда расстояние р между точками касания постоянно, нормальные (п - 1)-мерные пространства изоклинны и образуют постоянный угол в, поверхности М, М имеют плоские нормальные связности и для случая двух 2-поверхностей в Ел и Е” [2; 3]. Если угол в прямой, то преобразование Беклунда называется преобразованием Бианки [4; 5]. В данной статье изучается преобразование Бианки п-поверхностей в евклидовом пространстве Е2п Рассмотрим две гладкие n-поверхности М, М и диффеоморфизм / : М —> М. Касательные п-плоскости в соответствующих точках р £ М, f(p) £ М пересекаются по прямой [p,f(p)), образуя прямоП двугранный угол, причем р}(р) = pVp, где Vp - орт, р — const. Пусть - орт отогональный линейноП оболочки пространств ftМ,Тдр)М, Д(р),Л(/(р)) - ортогональные дополнения к Vj, в TpM,Tj(p)M, соответственно. Тогда касательные и нормальные пространства М, М имеют вид

ТРМ = (Д(р), Vp);

TmM = ШДр)Л'р):

ТРМ± = (A(f(p),Zp); T/wWA=(A(p),{p).

Теорема 1. Если / есть преобразование Бианки, то имеет место равенство

< RL(X,Y)SlZ,nW > +

/?(У, Z)0(.Y, W) - 0(X, Z)fi(Y, W) = y(R(X,Y)Z+

ly(Y,Z)X - \g(X.Z)Y,W)t P P~

i где R(X.Y)Z кривизна связности V Леви-Чивита метрики g(X,Y) =< dfX,dfY >; <,>

- скалярное произведение в Е2п; RІ■(X,Y)Q.Z -кривизна нормальной связности Vх, X, V', Z, IV 6 ТМ; £2Z - ортогональная проекция dfZ на нормальное пространство к М

/?(ЛГ,У) =< > .

Следствие. Если / есть преобразование Бианки 2-поверхностей в Е4, то поверхности М, М локально есть пространства постоянной кривизны —т • р

Теорема 2. Если / есть преобразование Бианки и первое нормальное пространство к М параллельно касательному к М, а первое нормальное пространство к М параллельно касательному к М, то п-поверхности принадлежат Е'2п~1, и следующие утверждения эквивалентны:

1) поверхности М, М имеют плоские нормальные связности;

2)М, М локально есть пространства постоянной кривизны —у .

1. Основные формулы. Пусть М, М - две гладкие п-поверхности в евклидовом пространстве Е2п\ / : М —► М - диффеоморфизм; Е(М)

- Я-алгебра дифференцируемых на М функций: 7’? - Е - модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (?,5); д - дифференцирование в Е2п+1.

Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности М имеют вйд [4, с. 23]

дхУ = Т7хУ + а(Х,У), (1)

дхп = —АпХ + Vj(r],

где Х,У 6 Тд(М), V - связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< Х,У >; а - вторая фундаментальная форма поверхности М\ V1 - нормальная связность; Ап 6 Т{(М) оператор Вейнгартена, соответствующий полю г] 6 ТМ1.

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

ЩХ, У)Я = Аа{у,2)Х - Аа{х.г)У, (2)

R1(X, У )Ч = а(Х, АпУ) - а(У, АЧХ),

< Ях(Х,У)»?,^ >= д{[Ач,А„]Х,У),

где

к(х,У)г =

УуЪхг - Ъ[х,у]г т е СВЯЗН0СТЬ у согласована с метрикой д. Так

- кривизна связности V Леви-Чивита метрики как

-(А- У) =< с*/Х,#У >;<,>- скалярное про- дхс1/У = дхдуг

изведение в Е п\

Й1(Х,У')П2 =

- У[х,у]^

— кривизна нормальной связности V ,

.V,У, г, И; £ ТА/, [,]-коммутатор матриц.

Обозначим через г радиус-вектор Т0Ч11И р 6 М, через г - радиус-вектор точки Др) е Л*; через Ур - орт касательного вектора р/(р). Тогда отображение / : М М запишется в виде

г = Г + рУ. (3)

Дифференциал отображения / определится из равенства

с1/{Х) = с!/(дхг) = дхг,

X етм.

Дифференцируя (3) и используя (1), получим (1}(Х) = (X + рУа'У) + ра{Х,У).

Введем обозначения

f’X = X + pVлV', (4)

пх = ра(Х,У).

Обозначим через ЛГ векторное расслоение над М, слой которого Ер = Т}1р) М1 • Пусть V - связность на М, удовлетворяющая условию

(Эхс1/(У))Р-№(ЪхУ)Р = (5)

й(Х,У)Р € Ер-

Лемма 1. Связность V есть связность Леви-Чивита метрики д, а векторнозначная билинейная форма а - симметричная. Доказательство. Имеем

гд(Х,У) =< (Ы/Х,#У > +

< сЦХ,дг<1}У >=

< Л/ЧгХ +■ а(г,Х),с1/У > +

< (УЛ',4Г?2У + 6(2, У) > •

Откуда

гд(Х,У) = дС^гХ.У) + д[Х,ЪгУ),

дх.-дуг — дудх г— дх.уг -

то получим

с1/'7хУ - <ЦЧуХ - Ц[Х,У)+ &(Х,У) — а(У,Х) = 0.

Приравнивая нулю_ касательные и нормальные составляющие к М, получим

<1{[уХУ — УуХ - [Х,У]) = О, а(Х, У) — а(У X) = 0.

Так как / - диффеоморфизм, то -

УуХ - [Х.У] = 0, а(Х,У) - а(УХ) = 0, т.е. кручение связности V равно нулю. Следовательно, V есть связность Леви-Чивита метрики д, а билинейная форма о - симметричная.

Лемма 2. Тензор кривизны Я связности удовлетворяет равенству

д(ЩХ,У)г, =

< й(У, 2), а(Х, V/) > -

< а(Х,2),6(УД) > ■

Доказательство. Имеем

<ЭА-ду#(2) - дхс1/Чуг = дха(У,г).

Так как связность д плоская, то

дхду<1/(г)-дудх<1/(г)-

Откуда

с!/Я(Х,У)г = а(Х,Уу2)-й(У, Ух2) + дхо(^ I 2) — дуа(Х, Z) + 6([Х, У], 2)-

Умножим скалярно на , получим < с//Я(Х,У)2,#УУ >=

<дха(у,г),<1/\у> -

< дУa(X,Z),dfW > . Дифференцируя равенство

< а(У.2),с1}\М >= 0, получим < <9*л(У, Z), (//И-' > +

< а{у,г),дх<Ц1ЛГ >= 0.

Используя (5), получим

< дха(У,г),с1/1У > +

<а(У,г),а(Х,Н') >=0

Откуда следует лемма.

Лемма 3. Имеют место соотношения

,у(Х,У)Т = фхР)(У) - АпгХ, (6)

&(Х,У)х = (0^)(У) + а(Х,РУ),

где (£)*Р)(У) — Ух РУ — РЧхУ - ковариант-нчя производная поля Р в связности У ф V, а (Лд-51)(У) = Уд-ПУ — ПУ*У - ковариантная производная Q в связности V1 ф V. Доказательство. Имеем

в(ДГ,У) = дх(РУ + ПУ) - РУхУ-

«У*У = Уд:РУ + а(Х, РУ)-АпгХ + У£ ЛУГУ* У -ПУЛУ = а(Л.У)т + а(.У,У)х.

Приравнивая касательные и нормальные компоненты, получим (6).

Так как

ТРМ = (Мр)Л'р),

ТтМ = (А(Пр).Ур),

ГрМх = (Д(/(р),$р),

7>(р)Х/х = (Д

то

РХ = и;(Х)У, < ПХ,( >= О, (7)

а(Х,У)1 = 0( Х,У)(, <а(Х,У)т,У>=0, и еГ,0(Л./), РеТ$(М).

Откуда следует

Ул:^ = + (8)

Р Р

ы(Х) =< X, V >,д(Х, У) =

Преобразование Бианки гг-поверхностей ...

1. Доказательство теоремы 1. В силу лем-

2 имеем

д(Л(Х,У)2,Н')= (9)

<ат(У2),ат(Х, И^) > — <ат(Х,^),ат(У,^)> + 0(Х, г)р(у, щ - /?(У, гщх, и-).

Используя (8), определим

ат(Х,У) = УА'ГУ-ГУА-У-АпуХ = Х{ш(У))У+ Ш(У)(--Х +

р р «(V хУ)У — АпуХ =

((Ухш^У) + -и,(У)и>(Х))У-Р

-и(У)Х - АПуХ.

Р

Умножим скалярно на V и в силу (7) приравняем нулю. Получим

(^*Ы)(У)=< АПуХ,У>=

< а(Х, У),ПУ >= і,ПХ,ПУ > .

Р

Откуда

(Уд-ы)(У) + -Ы(Х)Ы{У) =

-ЦХ,У), р

ат(Х,У) = -рд(Х,У)- (10)

-и>(У)Х -АПуХ.

Р

Подставив (10) в (9) и используя симметричность оператора Апх, получим

д(Й(Х, У)2, \У) = -\д{У, г)д(Х, \У)+

Р

±д(Х, г)д(У, \У)+

Р

< АпгУ, АгнуХ > —

< АпгХ, АпіуУ > +

0(У,г)Р(Х, №)-

Так как, в силу (2)

< ^пгУ -4пи,А' > —

< Апг А > Апк } >—

< [Ам, -4пи']Х, У >=

< Я.*-(Х,У)№,тУ >,

то получим формулу теоремы 1. Определим в.

ах(Х,У) = У^ПУ - ПУА-У+ а(Х,ГУ) = У^ПУ-

пУлУ + — ах = р(х,УК. р

Умножим скалярно на £ и, используя (7), получим

/?(Х,У) =< Vj-QY,( >=

- < ОУ, > .

(11)

2. Доказательство следствия. Размерность Д(/(р)) равна 1. Пусть г)др) Є Д(/(р)) -орт. Перенесем его параллельно в точку р. Тогда ПХ = €і(Х)ті,(і Є Т°(М). Следовательно,

< Ях(Х,У)П2, > = 0. Так как £ - орт,

то ортогонален £, т.е. = е2(Х)т?: е2 Є Т?(АГ). Откуда Р[Х,У) = -еі(Х)«2(У), причем В силу симметричности /? имеем (1 = ^2і V? € ^(М"). Имеем

Я(Х,У)2 =

_і(*(у,я)х- §{х,г)У), р2

т.е. М локально есть пространство постоянной кривизны — -р.

В силу симметричности построения получаем, что и М есть пространство постоянной кривизны — рг-

3. Доказательство теоремы 2. Первое нормальное пространство «-поверхности М, определяемое векторами а(ХР,Ур), параллельно касательному ТРМ тогда и только тогда, когда в(Хр,Ур) = 0. Из (9) имеем

< ЯА(ЛГ,У)ПЯ,ПИ' >=5(Л(Х,У)2+

1 д(у,г)х-±д(х,г)уиг). рг р

Из (11) и равенства < >= 0 сле*

дует = 0. Первое нормальное простран-

ство п-поверхности М, определяемое векторами а(Хр,Ур), параллельно касательному ТПр)М тогда и только тогда, когда < а(Х, У),£ >р = < А(Х, У >р= 0. Следовательно, А( = 0, <Эх£ = 0, «-поверхности принадлежат (2п - 1)-плоскости и / - преобразование Бианки в Е2п~' [3].

Если нормальная связность V1 плоская, то

П(х,у)г = ~^(м(У,г)х-д{х,г)У),

т.е. М локально есть пространство постоянной кривизны — -р.

Обратно, если М есть пространство постоянной кривизны — -р, то

Ч, "

< ^(Х'Ущг^ж >=о.

Так как <1/(Х) = ПХ, X € Д, то, если Zi,^= 1,1 базис Д(р), получим Л, =

- базис Тр М.

Имеем < Я1(Х,У)ПьПт > = 0. Кроме того Ях(Х,У)£ = т.е. Я1 = 0, нормальная связность Vх - плоская. В силу симметричности построения получаем утверждение теоремы.

Литература

1. Tenenblat К.. Teng C.-L. Baclunds theorem for

n-dimensiomal submanifolds of Я2" 1 // Ann.

Math. 1980. 111. №3.

2. Туулметс Л. Аналог теоремы Беклунда для полуфокального соответствия между поверхностями в Е* / / Уч. зап-ки 1 арт. ун-та. 1986. № 734.

3. Lumiste U. Beclunds theorem and transformation for surfaces Vi in En // Arta sci. math. 1986. 50. №1-2.

4. Чешкова М.А. Преобразование Бианки п-поверхностей в £2п_1 // Известия вузов: Математика, 1997. №9.

5. Аминов К). А. Преобразование Бианки для области многомерного пространства Лобачевского // Укр. геом. сб. Харьков, 1978. Вып. 21.

6. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т.2.