Индикатрисы нормальных кривизн пары 2-поверхностей в E4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М. А. Чешкова

(Алтайский государственный университет, г. Барнаул)

ИНДИКАТРИСЫ НОРМАЛЬНЫХ КРИВИЗН ПАРЫ 2-ПОВЕРХНОСТЕЙ В Е4

В евклидовом пространстве Е4 рассматриваются две гладкие 2-поверхности М ,М и диффеоморфизм / : М ^ М . Исследуется случай, когда касательные 2-плоскости в соответствующих точках реМ, /(р)еМ ортогональны.

Ключевые слова: конформное отображение поверхностей, индикатриса нормальной кривизны.

В евклидовом пространстве Е4 рассмотрим две гладкие 2-поверхности М,М и диффеоморфизм / :М ^М . Будем предполагать, что касательные 2-плоскости в соответствующих точках р еМ,/( р)еМ ортогональны.

Перенесем вектор й/(у) е Ту(р)М,у е ТрМ параллельно в точку р е М . Обозначим полученный вектор через (й^?) .

Таким образом, определено отображение О: ТМ ^ Т±М, где ОХ = (ё/(Х))*, X еТМ .

Пусть т е ТрМ — орт. Конец вектора нормальной кривизны по направлению т поверхности М при переменном т опишет в ТрМ кривую Q, которая называется индикатрисой нормальной кривизны поверхности М в точке р и является эллипсом. Если нормальная связность на поверхности плоская, то эллипс вырождается в отрезок либо точку.

Векторы нормальной кривизны поверхности М в точке /(р) перенесем параллельно в точку р . Концы этих векторов в ТрМ опишут кривую Q, параллельную индикатрисе нормальной кривизны поверхности М в точке /(р).

Теорема. Если / :М ^М конформное отображение ортогональных 2-поверхностей, то отображение О: ТМ ^ Т1М переводит кривую Q в кривую, симметричную кривой Q относительно точки р.

1. Основные формулы. Пусть М,М — две гладкие 2-по-верхности, / :М ^М — диффеоморфизм.

Формулы Гаусса — Вейнгартена поверхности М имеют вид [1, с. 23]:

дх¥ = V ХУ + а(Х,¥), дх% = - А^Х + ,

где Х,У е Т^М)^ — связность Леви-Чивита метрики g(X,Y) =< Х,У >,а(Х,У) — вторая фундаментальная форма поверхности М , А^е Т1(М) — симметричный оператор, соответствующий %еТ±М, V1 — нормальная связность, <,> — скалярное произведение, причем < А^Х^ >=< а(Х^),% > .

Обозначим через г(р) радиус-вектор точки р е М, через г (р) — радиус-вектор точки /(р ) е М . Тогда отображение / : М ^ М запишется в виде

г = у ( г).

Дифференциал отображения / определится из равенства й/(X) = й/(дхг) = дхг , отображение О: ТМ ^ Т1М из равенства ОХ = (й/ (X))*, X е ТМ .

Связность V Леви-Чивита метрики

g(Х, Y) =< й/Х, с/Т >=< ОХ, ОY > имеет вид [2]

VXY = Q~'vXQY . Если Р — вторая фундаментальная форма поверхности

M, то a(X, Y) = p(QX, QY ) = dXdf(Y) - df(VXY).

Имеем а(X, Y) = дХQY - Q(Q-1VXY) = -AQYX. Таким образом,

a(X,Y) = p(QX,QY) = -A^Y = -AaYX , (1)

откуда следует, что

< a(X,Y), Z >=-< A^xY, Z >=-< Y, A^XZ >= = -<Y, AnzX >=-<a(X, Y), QZ >.

2. Доказательство теоремы. Пусть f : M ^ M — конформное отображение. Тогда

g(X, Y)=< QX,QY >= k2g(X,Y) . В силу (2) имеем

< a(X, Y),Z >=-< QQ-'a(X, Y), QZ >= -k2 < QafX, Y),Z >. Таким образом,

a(X,Y) = —Qa(X,Y) . (3)

k2

Пусть T e TpM — орт. Конец вектора нормальной кривизны a(r, т) по направлению T поверхности M при переменном т опишет в Tp M индикатрису Q нормальной кривизны поверхности M в точке p .

Выберем ортобазис v1, v2, e1, e2 так, что v1 ,v2 e TpM, ei,e2 e TpM .

Положим т = cos( у )vj + sin( у )v2 . Тогда индикатриса Q нормальной кривизны поверхности M в точке p запишется в виде

4 = 4(f) = a(T, т) = cos2 (y)a(vi, Vi) + +sin(2y)a(v1,v2) + sin2(y)a(v2 ,v2).

Аналогично получим, что индикатриса Q нормальной кривизны поверхности M в точке f(p) имеет вид:

u = u (у) = cos2 (y)p(ex, ei) + sin(2y)^ (ee) + sin2 (у)/? (e2, e2).

Если отображение конформное, то векторы Q(Vj), Q(v2) ортогональны и \ Q( v1) |=| Q( v2)\= k .

Положим et = Q(vi)/ \k\,i = 1,2 . Тогда в силу (1) имеем

u = u(у) = cos2(y)a(v1,v1) + sin(2f)«(v1,v2) + sin2(y)a(v2 ,v2). Используя (3), получим Qu(у) = —%(у) . Таким образом, кривые Q, Q(Q ) симметричны относительно точки p .

Список литературы

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М.: Наука, 1981.

2. Чешкова М.А. К геометрии пары ортогональных n -поверхностей в E2n // Сиб. мат. ж. 1995. № 1. С. 228—232.

M. Cheshkova

THE NORMAL CURVATURES INDICATRIX FOR PAIR of 2-SURFACES IN E 4

Let M,M be surfaces in Euclidean space E4 with orthogonal tangent planes and the mapping f:M ^M. There is the mapping Q :TM ^ T1M , where QX = df(X), X e TM . Let Q be normal curvature indicatrix of the surfaces M at the point p e M and Q be normal curvature indicatrix of the surfaces M at the point f(p) e M .

Theorem. Let M,M be surfaces in Euclidean space E4 with orthogonal tangent planes and f : M ^ M be the conform mapping. Then QQ is symmetric to Q with respect to p.