Инверсия m-поверхности в евклидовом пространстве е N Текст научной статьи по специальности «Математика»

Инверсия т -поверхности в евклидовом пространстве Еп

УДК 514.75

М.А. Чешкова

Инверсия т-поверхности в евклидовом пространстве Еп

В евклидовом пространстве Еп рассматриваются две гладкие т-поверхности М, Ми диффеоморфизм / : М —>■ М. Исследуется случай, когда / — инверсия.

Пусть М, М — две гладкие т-поверхности в евклидовом пространстве Еп, / : М -» М — диффеоморфизм, F(М) — Я — алгебра дифференцируемых на М функций, Т?(М) — F — модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа ^^), д — дифференцирование в Еп.

Формулы Г аусса-Вейнгартена поверхности М имеют вид [1, с. 23]

где Л', V _

связность Леви-Чивита метрики д {Х, У) =< X, Y >; а — вторая фундаментальная форма поверхности М, Vх— нормальная связность, А$ € Tl(M) — симметрич-

Т1М.

ныи опева'1'

<а(Х,У),£>=д(А;Х,У).

(2)

< г, г >

Дифференциал отображения f определится из рава//(Х) = с1/(дхг) = дхг,Х € ТМ.

Имеем

df{X) = (XI) г + IX, X € ТМ.

Отображение / индуцирует на М метрику

8{Х,Т) =<А/(Х),А/(У) >= г = и + т = й + т, ир € ТрМ,тр £ ТРМ^

Ур € Т/(р) М, тр Е.Т](р)М1' ,р € М.

l2g(X,Y) + ^1)^1) <г,г> + 1^1) < X, г > +l(Xl) <^,г > .

Положим

Так как / — инверсия, то [2]

дхсІ/У -<І/?ХУ = а(Х, У).

Отку

дх((У1)г + 1У)-(ЪхУ1)г-1(ЧхУ) = а(Х,У).

(3)

(4)

(5)

Используя уравнения Гаусса-Вейнгартена (1), получим

ЪхУ)+1а(Х,У) = а(Х,У),

У1 = ХУ1-УхУ1 .

где л’г —гессиан функции

/ в связности V.

Так как / — конформное отображение, то [4, с. 18]

Поместим начало координат в центр инверсии. Обозначим через г радиус-вектор точки р 6 А/ с ш Др) € М.

Тс г = 1г,1 = —^ , с = сопві. (Пишется в виде

МАТЕМАТИКА

Доказательство. Имеем

Доказательство. Из формулы (2) имеем Используя лемму 3 и формулу (2), получим

Если Xi — главное направление оператора Д.,. т.е. АТХ, = kiXi, то

Используя формулы (3),(7), получим утверждение леммы.

Лемма 3. Если f — инверсия, то

< а(Х, У), г >=< а(Х, У), г >=

< а(Х, У),1} + г > .

Доказательство.

Используя леммы 1, 2 и формулу (3), получим утверждение леммы.

Обозначим через А т оператор Вейнгартена поверхности М, соответствующий нормали г, а через А. оператор Вейнгартена поверхности М, соответствующий нормали т.

Теорема. Главные направления оператора п — 1 АТ при инверсии т-поверхности переходят в главные направления оператора А.

т.е. dfXi — главное направление оператора А.

Следствие. Линии кривизны гиперповерхности при инверсии переходят в линии кривизны.

Т = \т\тх,т = |т|п, где п,п -

Доказательство. Если М,М — гиперповерхности, то главные направления оператора АТ(АТ) —

касательные к линиям кривизны поверхности

М(М).

Так ьк* = ^, к* = р?с • орты

нормале^ XV то главные криВИЗН , . 1 / 1.1 |\ <17,11 > , ...

' = й/(а_ * 1г1)’ а=—р—1*

Если гиперповерхность А/ имеет главную изну кратности р > 1, то она является [5] огибающей g-пapaмeтpичecкoгo (р = — q) семейства гиперсфер, т.е. р-каналовая.

В силу (9) к* имеет тоже кратность р. Если при этом к* ф 0, то М — р-каналовая.

Литература

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М., 1981.

2. Чешкова М.А. К геометрии центральной проекции п-поверхности в евклидовом пространстве Еп+т //Известия вузов. Мат. 1998. N 6.

£'2п+^/Дифференциальная геометрия многооб-

3. ЧешковаМ.А. К геометрии п-поверхностей в евклидовом пространстве

разий фигур. Вып. 28. Калининград,

4. Chen B.Y. Geometry of submanifolds and its applications. Tokyo, 1981.

5. Ведерников В.И. Гиперповерхнос-пространства семей

матем. сб. 1966. Вып.4.

ти пространства Евклида, огибающие т-параметрическое семейство гиперсфер //Волж.