К геометрии диффеоморфных поверхностей в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Чеитова

К геометрии диффеоморфных поверхностей в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве Е'+т рассматриваются две гладкие «-поверхности М,М и диффеоморфизм / : М ® М . Исслс-

р = -ь 2

дуется гессиан функции р = — Щ , где

Ь = г - г,г — радиус-вектор точки р е М,г — радиус-вектор точки /(р) е М .

М

рики: собственная g (х, у) =< х, у >, где х, у е ТМ,<,> — скалярное произведение в Е'+т , и метрика g(х, у) =< dfX,djУ >, индуцируемая отображением /, две связности Ле-ви-Чивита V ,V этих метрик, две квадратичные формы: вторая фундаментальная форма а поверхности М со значением в ТрМ1 и а индуцируемая отображением / из второй фундаментальной формы поверхности М со значением в (р)М1. Разложим вектор Ь на касательную и,- и и нормальную составляющие т,-т . Имеем, где

и е ТрМ ,те ТрМ1, и е Т/(р)М*е Т/(р)М1.

Теорема

Имеет место формула НеК у Р= g С?хУ - V хУ, и) + g (х, у) -

- g (х, у)+<а( х, у),г>- (1) - <а(х,у),т > -(^)(х,у), где р - гессиан функции р в связ-

ности V, 1и и

Основные формулы

Пусть Е(М) - Я - алгебра дифференцируемых на М функций, Т/ (М) — Е -модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (5, д), д — дифференцирование в Е'+т . Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности М имеют вид [см.: Кобаяси III., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., 1981. С. 231

дху = ^ ху+а( х у\

дхХ=-Ах + Ч1Х, (2)

где х, y е T0(M),X — поле нормальных векторов, A е Tl1(M) — оператор Вейнгартена,

соответствующий полю X ■> V1 — нормальная связность, a — вторая фундаментальная форма поверхности М.

Определим связность V на M из условия, что разность

a(x, y) = dxdfx - dfV хУ (3)

для p е M принадлежит Tf (p)M1.

Лемма. Связность V есть связность Леви-Чивита метрики g .

Доказательство.

Zg(х,у) =< д2dfx, dfy > + < dfx,dzdf >=

=< dfVzx + a(z, x), dfy > + + < dfX, dfVzy + a(z, y) >, Zg (x, y) - g (Vx, y) - g (x, Vzy) = = (V zg)(x, y) = 0.

Имеем

дxdfy - дydfx - df [x,y] =

= dxdyr -д ydxr -д[ x, y]r =

В силу формулы (3) получим Vxy- Vyx = [x,y], a(x,y) = a(y, x). Следовательно, V — связность Леви-Чивита метрики g и a — квадратичная форма.

Доказательство.

р=

= 1 < r - r,r - r > вдоль x е T°)(M). Имеем

дxr = dfx,dxr = x,xp=< dfx - x,r - r >,

xyP=<dxdfy -дxУ,ь > + + < dfy - y,dfx - x > . Используя (2), (3), получим Hesslyр = xyp Vxyp =<dxdfy-дxУ,ь > + + < dfx - x,dfy - y >-< df V xy - Vy, Ь >= =< a(x, y), Ь > + < ^xy - V xy,b > --<a(x,y),Ь > + < dfx,dfy > + < x,y >-- < dfx, y > - < x, dfy > . Дифференцируем равенство f (r) = = r + U + r вдоль xе T°^(M). В силу (2) имеем

(4)

xf (r) = dfx = x + V xU -- Ax+ a( x, y) + Vxt,

< dfx, y > + < x, dfy >= 2g (x, y) -- 2g(Ax,y)+ g(VxU,y) + g(x,VyU).

Так как

(Lug)(x, y) = Ug(x, y) - g([U, x],y) -- g(x, [U,y]) = g(VxU,y) + g(x,VyU) и (1, с. 23) g(ax,y)=<a(x,y)t >, получим

< dfx, y > + < x, dfy >= 2g (x, y) -- 2 < a(x,y),t > +(LUgg)(x,y).

Итак

HesslyP=<V,y-V,y,b > +

+ <a(x,y),b >-<a(x,y),b > +

+ g (x, y) - g (x, y) + + 2 < a(x,y),t > -(Lvg)(x,y).

b

ЧИМ ( 1 ) .

Следствия и примеры

Пусть f : M ® M изометрия. Тогда из (1) имеем

Hessl y p=g ¡A^ y)- g (A x y)- (Lvg)(x, y),

где A e Tl1 (M) определяется из равенства g (A x, y )=<a( x, y),t>.

Пусть x,. (i = l,...,n) баз ис TpM,

gy = g (x i x). Рассмотрим лаплассиан Dp = g'JHess'V,xj p. Так как (Lvg)(x, ,x,) = g (V xU, xy) + g (x' ,V ^ U) =

, , TO

= g ((V xUk) xt, xy) + g (xt ,(V xUk) xt),

giJ( LUg)(x,, xy) = 2V U' = 2divU.

Таким образом, имеем

Dp= trA- trA - 2divU. (5)

t t

Следствие 1. Если M компактно и f изометрия, то

j(trA- trA)dS= 0, (6)

M

где dS — элемент объема на M .

Доказательство. В силу теоремы Грина

на компактном М JDpdivUdS= 0, jdivUdS= 0.

MM

Откуда следует (6).

f

пакгных поверхностей и trA-trA ^ 0(£ 0), то

t t

trA = trA .

t t

Изометрия f : M ® M называется переносом Клиффорда [с. 102], если р= const.

Следствие 3. Если f - перенос Клиффорда, то следующие утверждения эквивалентны:

1) U — киллингово ноле;

2) trA = trA.

t t

Пример 1. M,M — ^^^^^^ете торы в E4. r = (cosU ,sin U ,cosV ,sin V),

r = (-sinU,cosU,-sinV,cosV), f (r) = r — перепое Клиффорда, p = 2,g = g = d, где d — тензор Кронеккера.

b= rU + rv - rU - rv,U = rU + rv,

t= -rv - rv ,A = A = 8,Lvg = 0.

t t

Если вектор b ортогонален к M, то U=0

f

M

Hessl y p= g - A x yg (x - Ax, y)

b

M и ^^^етелен к M (U = 0,т = 0), то Hessly Р= gix У)-g- A x У)

Еще более упрощается формула, если M — эволюта поверхности M в E2и, т.е. M — огибающая нормальных п -плоскостей но M

< dfx, y >= 0,g(x, y) - g (Ax, y)= 0,

Ax = x.

t

Откуда Hess4xy p= g (x, y), Dp = n.

Следствие 5. Для компактных поверхностей не существует гладких эволют.

M

ность переноса r = rj(sj) + r2(s2) в E4, линии переноса yt r¡ = rt (s¡ ),(i = 1,2) — плоские кривые, расположенные во взаимно ортогональных z ^^^^^^^^^^^^ Поверхность M — поверхность переноса, линии переноса которой — эволюты кривых ух,у2.

Если s¡,k¡,{t¡,v¡} — длина дуги, кривизна и репер Френе кривой g¡ (i = 1,2) соответственно, то

r = ri(si) + ^ V!(S!) + k1 (s1 )

+ r2(S2) + ^ V2(S2). k2 (S2 )

Имеем U = 0,т = 0 .

g = d> g =

1

kl(sl) 0

0 1

k2 (s2 )

Если при этом / : М ® М изомстрия, то © = 1 и кривые у1 (г = 1,2) — логариф-

' 1 4

К (* г) мичсскис спирали.