К АНАЛИЗУ ДИНАМИКИ ПАРАШЮТНОЙ СИСТЕМЫ СО СВОБОДНО ПОДВЕШЕННЫМ ГРУЗОМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 49

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 681.516.7

К анализу динамики парашютной системы со свободно подвешенным грузом

В.М. Чуркин

Рассматривается движение в вертикальной плоскости парашютной системы со свободно подвешенным грузом. При записи уравнений движения парашют, соединительное звено и груз моделируются твердыми телами, соединенными идеальными шарнирами. Составляются упрощенные нелинейные уравнения возмущенного движения системы, в которых учитывается нелинейная зависимость нормальной составляющей аэродинамической силы купола парашюта от угла атаки. Методом гармонической линеаризации находятся выражения, определяющие основные параметры колебательных режимов, возникающих при движении системы. Приводится пример, позволяющий сравнить результаты предлагаемой теории с результатами численного интегрирования исходных уравнений движения системы.

Ключевые слова: парашютная система; свободно подвешенный груз; нормальная составляющая аэродинамической силы; гармоническая линеаризация; устойчивость; автоколебания.

Парашютная система (ПС) со свободно подвешенным грузом - одна из распространенных моделей ПС, которая состоит из трех связанных шарнирами твердых тел: парашюта, соединительного звена (стренги) и груза. В работах [1], [2] описывается вывод уравнений движения и линейный анализ такой ПС. Однако, исследования динамических характеристик более простых моделей ПС (геометрически неизменяемой ПС и ПС с шарнирно подвешенным грузом) показывают, что в случаях, когда ткань купола парашюта имеет малую проницаемость, ПС ведет себя как существенно нелинейная система [2], [3].

Ниже рассматривается движение ПС со свободно подвешенным грузом с учетом нелинейной зависимости нормальной составляющей аэродинамической силы купола от угла

атаки, характерной для парашюта, ткань купола которого имеет малую проницаемость. Считается, что движение ПС происходит в вертикальной плоскости при отсутствии ветра. Парашют моделируется осе симметричным твердым телом с центром давления и центром масс, расположенными на оси симметрии. Соединительное звено крепится к парашюту и грузу идеальными шарнирами. Аэродинамические силы, действующие на груз и соединительное звено, пренебрежимо малы.

Запишем уравнения движения ПС, разделив ее на три твердых тела: парашют, соединительное звено и груз [2]. Принимая во внимание, что на парашют действуют нормальная N и касательная T составляющие аэродинамической силы купола, сила тяжести Оп и сила реакции в шарнире Fl, используя связанную с парашютом систему координат XOY, будем иметь (рис.1)

Рис.1.

(тП +^11)

( ёУ,

Л - УоуЧ" 26 - т п 1е)®2 = -уСТУ2 + Оп 008 6 + Р1х;

(тп +^11)

( ёУ

Оу

Л

V

ёш

Л

+ УОк ш

+ (X26 - тп1с ) ^ = - ^ СКУ£ - ОП 81П 6 + ^;

( 1п + х66 ) -Г + 26 - тП 1С )

( ёУ

Оу

Л

+ Уо* ш

= ^СКУ21П + О П 1с81п 6;

-6

ш

(1)

2

Здесь V^, Vty - проекции вектора скорости шарнира О на оси системы XOY; V - скорость центра давления купола парашюта (точки D)

V = Vx + (VOy-QlD)2;

ш-угловая скорость вращения парашюта; 0- угол тангажа парашюта; CT,CN - коэффициенты касательной и нормальной составляющих аэродинамической силы купола

ct = ct( а); cn = cn( а);

а - угол атаки купола

а = arctg

( VOy ш lp ^

V VOx J

Оп - вес парашюта; Р1х,Б1у - проекции на оси системы ХОУ силы реакции в шарнире О; тп, ^ — масса и момент инерции парашюта относительно оси, проходящей через точку О; ^ р Х26, Х66 — коэффициенты присоединенных масс парашюта; 1С,10 — расстояния от начала О системы ХОУ до центра тяжести С и центра давления Б парашюта; б - характерная площадь парашюта; р — плотность воздуха.

На соединительное звено действуют силы реакций и в шарнирах О и О1 и сила тяжести 01 (рис.2). Уравнения движения соединительного звена составим в проекциях на оси связанной системы Х1О1У1

Рис.2.

m1 (^ -Vy Ш1 + 1хш2) = G1 cos(0 + 01) -Fjx cos-Flysin+ F2x; dt

т1 ( + у1х ®1 -) = - о181п(е + е1) + б1х81п б! - КС08 б! + К ;

-1

-V,

- т111( —¡г^+^ш )=^'п(—1) ■ 211 (-чу ■

-1

v1x ш1 )=о111 Б1п(е+е1) + 211 (б1усо8 е1 - Б^т е1)

-е -1

= ^ -ш.

где - проекции вектора скорости шарнира О1 на оси системы Х^Уь - абсо-

лютная угловая скорость вращения соединительного звена; е - угол между осями ОХ и О1Х1 ; ^ - вес соединительного звена; Р2х,Б2у - проекции на оси системы Х101У1 силы реакции Б2 в шарнире О1; т1з^ - масса и момент инерции соединительного звена относительно оси, проходящей через точку О1; ^ - расстояние от центра тяжести соединительного звена до шарниров О и О1.

При записи уравнений движения груза используем связанную систему координат Х202У2, начало которой совместим с центром тяжести груза. Полагая, что груз движется под действием силы тяжести 02 и силы реакции Б2 в шарнире О1, находим (рис.3)

Рис.3.

т Г ( - V2У Ш 2 ) = °Г С0§(е + е1 +е2 ) - Г2Х ^ е2 - Р2у§1п е2 ;

-V

тТ

(Чт+V2x ш 2) = - о г 8т(е+е1 +е2) + ^ вт е2 - Б2уС08 е2;

-1

1Г = 1О (р2уС08 е2 - Р2Х ^ е2 ) ;

-1

d02 m

—2 = ш2 -Ш. (3)

dt

Здесь V2x,V2y - проекции вектора скорости центра тяжести груза на оси системы X2O2Y2; ш2 - абсолютная угловая скорость вращения груза; 02 - угол между осями О1Х1 и О2Х2 ; G2 - вес груза; m2, J2 - масса и момент инерции груза относительно оси, проходящей через точку О2; 10 - расстояние от центра тяжести груза до шарнира О1. Исключая из уравнений (1) - (3) проекции сил реакций в шарнирах О и О1 и учитывая, что

V0x = Vlx cos0! -(Vly -21^)sin0!; V0y = Vly sin0i + (Vly -21^i)cos0i;

V1x = V2x COs 02 - (V2y - 10Ш2) sin 02 ;

Vly = V2x sin 02 + (V2y - 10Ш2) COs02 j

перейдем к более удобной для последующего анализа безразмерной форме записи уравнений движения ПС

и'+ц0 [г' sin(0 + 02 ) - г2 cos(0 + 02 )J- (2ц01 - цос )(r\ sin 02 - r 2 cos 02 )-

C C C

-(v>2 =- cTuDcos(0l +02)-C^uDsin(0l +02)+cT°cos(0 + 0l +02);

v'-^(2^j-^)(r\cos 02 + r2sin 02)+^o[r'cos(01 + 02)+ r2sin(0 + 02)J-

C C C

-60^0/2 +ur2 = ^-uDsinfo +02)-^NuDcos(0l +02)-cT°sin(0 + 0l + 0 2 );

r^0ltU'-(v-S0r2 )r2 Jsin(0l +02) + [v'+(v-60r2)r2 Jcos(0l +02)}-

C C

- 2^lЛ0l(r'lcos 0l - rl2 sin0l) = uD + (l - Й - Йо К O0 sin0;

2k 2i

+ r2-

Л00Л -2M0l(r'cos 0l + r2sin 0l )-

- 51Л[2(1 - Ц + ^l )- Йо J{u'-(v - 50r2 )r2 Jsin 02 + (v'-50r'2 +ur2 )cos 02 } =

«l

cos0 - CTu2sin0 + CT0í l 1 sin(0 + 0)

Л„г'2 -5„Ло1[г'С08(е1 +е2)+ г2 81п(е1 +е2)]+

+ 5051л[2(1-^ + ^1 )-ис е2 + г12 е2 )-5оЛ(1-^ + ^1 )(v'+ur2 ) =

21

0 [ски2 соБ(е+е) - сти2 +е2)+сто (1 - и^Ме+е+е)]

2)\п

е' = г;

е1'=г1- г; е2' = г2 - г1 >

(4)

где

2 2 . 2 иБ = иВх + иВу:

а = агС^

Бу

V иБху

иш = исоБ(е+е2) -(у -80 г2 )в1п(е+е2)+г ^ е; и^=иБ1п(е)+(у-80 г2 )соБ(е+е2) - 28^ сов е - г.

Здесь введены следующие обозначения

^х v2y VD ш10

и = —^ ; у = —у ; ип = —^ ; г = ■

V

00 Б

^ ' V

v00 *00

V

г =

Ш11Б .

00

V

00

Ш21Б .

V ;

00

_ у00и. 1

1,

и 26

А,

26

1Б(т + ^11) :

; и 0 и 26

1с; 8, =-11 1 1 1

8 с(1

т

т т

• 8 = — • 8 = — • 8 = — • и = — • и = — • и =

; 80 , ; 8С , ; 81 , ; и ; и1 ; и 01

т

и =

-и

1+и - и 1 + и

1 + и1

и с =—1; Л0 ^ +л8 0(1+и1 -и);

т

- г и с

лz = Т ; и0с =-—; л = ^ + ^ 66 1 + и1

т12

^ Лт

т + ^11 . : П + А, 66 к =-—-; 1= ——-г-66; Лс =

Б • л = 26Б

^ П 66 ^ТТ

J1

'П 1 /ъ66

■; Л01 = л 26-л81(1 -и);

Р81!

Рб1

J П 66

; л0С =лС+4л8 2(1+и1 -и-ис);

8

, сто - значения скорости шарнира О и коэффициента ст, соответственно, в установившемся режиме движения ПС.

Составим систему упрощенных нелинейных уравнений возмущенного движения ПС, которые соответствуют уравнениям системы (4). Невозмущенным движением ПС будем считать ее поступательное движение с постоянным углом атаки ап . Полагая, что в возмущенном движении

и = х + собап; у = Х2 + БШап; г = х3; г = х4; г = Х3; г2 = х5; 0 = Х6; 0Х = Х7; 02 = Х8;

— ап х^; СС^ — ^^то *

будем иметь

Ь12Х'2 +812Х2 " Ь13Х'э +813Х3 " Ь14Х'4 +814Х4 — ^'5 +815Х5 +

+ Х'т +В17Х7 + Х'8 +В18Х8 " Х'9 "В19Х9 = 0 ; Х'2 +Ь23Х'3 "Ь24Х'4 Ь25Х'б +§25Х5 + §26Х6 + g29CN К + Х9 )= 0 ; Ьз2Х'2 +Х'3 "Ь34Х'4 +834Х4 + 835Х5 — 836Х6 — 839*^ (Оп + Х9 ) = 0 ; Ь42Х'2 +Ь43Х'3 "Ь44Х'4 ^45^5 +845^ + В46Х6 — 847^ + 849^^ + Х9 ) = 0 ; Ь52Х'2 +Ь53Х'3 "Ь54Х'4 —Ь55Х'5 +855Х5 + 856Х6 " 857Х7 " 858Х8 + 859^ (Оп + Х9 ) = 0 ; Х3 - Х'6=0;

Х3 - Х4 + х'7 = 0;

Х4 - Х5 + Х'8 = 0 • (5)

Здесь

Ь12 = СОБ ап ; 812 =(1 + а п ; Ь13 = Ь12 ; 813 ; Ь14 = 2б1Ь12 ; 814 = 28^13 ;

Ь15 = 80Ь12 ; 815 = 80813 — ап ; 817 = Ь12812 ; 818 = 817 ; 819 Ь12813 ; Ь23 = М0 ;

Ь24 = 81(2М01 —М0С) ; Ь25 = 80М01; 825 = Ь12 ; 826 = —Т 813 ; 829 ; Ь32 = Л01 ;

2 2к

ь34 = ь43 = 2§1Л01; 835 =Л01§1п а п; 836 =8с (1—М+М1Э^0; 839 =1; Ь42 = §1л[2(1 — М + М1)—Мс ]; ь44 =Л0С; Ь45 = 80Ь42; 845 = Ь^гоб а п;

846=81(1—м—■Мт]сг; 847 ^(м+М^-Сг; 849=у; ь52 =80л(1—м+мо;

с

ь53 =80л01; Ь54 = Ь45; ь55 = ь52ь12; 855 = л80(1—м+м1 )ь12; 856 = 80(1—м)с°;

_ с СХ0. _ . _ 80

8 57 =8 0^2^ ; 858 = 857 ; 859 = •

Ограничиваясь рассмотрением колебательных процессов, будем искать решение системы (5) в виде х; =х;о + х;1; х;1 = Л; б1п(01; * +ф;); 1 = 2 ^ 9. Проведем гармоническую

линеаризацию функции ск(ап + х9), представив

ск(а„ + х9) = Jо + ^91, (6)

где 10, J - коэффициенты гармонической линеаризации [4]

2Д

Jо= — | ск (а п + Х9 ; 2л 0

^А9 0

■у 2Я

J = — I ск (а + х9 )Б1П .

тг А ^

Подставляя выражение (6) в уравнения системы (5) и переписывая полученные уравнения в операторной форме, будем иметь

(Ь12В + 812 )х2 - (Ь13В - 813 )х3 -(Ь^ - 814 )Х4 -(Ь15В - 815 К +

+ 05 + 817 )х7 + 05 + 818 К -(э + 819 )Х9 = 0;

ВХ2 + Ь23ВХ3 - Ь24ВХ4 (Ь25В - 825 )х5 + 826Х6 + 8 29(J0 + J) = 0 •

Ь32ВХ2 + 8Х3 (Ь34В - 834)Х4 + 835Х5 - 836Х6 - 8з9(J0 + ^ = 0 •

Ь42ВХ2 + Ь43ВХ3 - Ь44ВХ4 - 845 )х5 + 846Х6 - 8 47Х7 + 849^0 + J) = 0 •

Ь52ВХ2 + Ь53ВХ3 - Ь54ВХ4 -(Ь558 - 855 )Х5 + 856Х6 - 857Х7 - 858Х8 + 859^0 + J) = 0 •

Х3 -8Х6 =0; х3 - х4 + бх7 =0;

Х4 - Х5 + БХ8=0 . (7)

Уравнения (7) распадаются на две системы, которые соответствуют постоянным и переменным составляющим искомого решения. Из системы для постоянных составляющих находим

I = 0. (8)

Системе для переменных составляющих

(Ь128 + 812 )Х2 —(Ь13Б — 813 К —(Ь14Б — 814 К — ^ — 815 )х5 +

+ + 817)х7 + 818)Х8 — + 819К = 0 ;

БХ2 + Ь23БХ3 — Ь24БХ4 — (Ь258 — 825)х5 + 826Х6 + g29J = 0 ; Ь328Х2 + 8Х3 — (Ь348 — 834)Х4 + 835Х5 — 836Х6 — 8391 = 0 ; Ь428Х2 + Ь438Х3 — Ь448Х4 — ^ — 845 ^5 + 846Х6 — 847Х7 + 8491 = 0 ; Ь528Х2 + Ь538Х3 — Ь548Х4 — (Ь558 — 855)х5 + 856Х6 — 857Х7 — 858Х8 + g59J = 0 ;

Х3 — БХ6 = 0; ^ — х4 + бх7 = 0; х4 — ^ + бх8 = 0,

соответствует характеристическое уравнение вида

В(Б) +10(8) = 0, (9)

где

7 8

В(8) = 2В,; 0(8) = 2О„. 0 1

Подстановка б = в уравнении (9) приводит к системе, устанавливающей связь между значениями О и I искомых периодических колебаний

(в0 О6 — в2 О4+в4 О2 — в )о2 —1(0 о6 — О о4+О о2—О )=0;

В о6 — в о4 + в о2 — в+1(01 о6 — о о4+о о2 — о7 )=0. (10)

Дополняя систему (10) выражениями для коэффициентов ,Г0, J и равенством (8), получим выражения, определяющие значения амплитуды А, частоты О и смещения х90 центра искомых колебаний. Устойчивость колебаний проверяется с помощью уравнения (9).

Пример. Требуется исследовать периодические колебания в продольной плоскости ПС со свободно подвешенным грузом при следующих значениях ее параметров

сто = 0,7 ; ск=са + с2а3; с =-0,22; с2 = 0,552; ^ = 0,999; ^ =0,2; =0,05 ; ^26 =Л26 =-0,09; бс=0,7; 51=0,2; 50 =0,25 ; л = 1,0; Лс =0,02; Лz =1,66;

Л1=0,6; к = 1,0; 1 = 0,8.

Для заданной функции Ск( а ) находим

^ = С2

3

2аПХ90 + 3аПХ20 + Х90 + 3 (<

а П + Х90

)А

J = С,

2(аП + 3аПХ90 + 3 Х20) + 3 А2

(а п )1 = 0; (а п )2,3 =+0,632.

Отсюда с учетом равенства (8) записываем

2 3 Л 2 .

(х90)1 а П ; (х90)2,3 а П П 2 А2 •

(А9)1 =

4

3с.

(7 + с2аП) ; (А9)2,3 =.

4

15с.

-(2с2аП - J)

(11) (12)

Подсчитываем коэффициенты характеристического уравнения (9)

В0 = 0,0648; В1 = 0,0364; В2 = 0,31; В3 = 0,176; В4 = 0,034; В5 = 0,0194; Вб = 0,001; В7= 0,0005; ^ = 0,137; 02 = 0,148; 0э = 0,332; 04 = 0,476; 0з = - 0,2; 06 = 0,094; О7 = 0,012; 08 = - 0,0042.

Полагая ск = с< х9 , где

ра _

CN =

Гас

5а

= + Зс2 а П ,

V

а=а

П

устанавливаем, что в линейном приближении при ап = ±0,632 невозмущенное движение ПС устойчиво, а при ап = 0 неустойчиво. Из системы (10) и выражений (11), (12) находим

0 = 0,508; I = 0,333 ; (х90Х =-0,632; (х90)2 =-0,0652 ; (х90)3 =-1,198; (Л9Х = 1,156; (А9)2 = (А9)3 = 0,228.

Проверяя полученные решения на устойчивость, устанавливаем следующее. Первое решение с параметрами

(Х90Х =-0,632; (Л9Х = 1,156; 0 = 0,508;

соответствует режиму автоколебаний относительно установившегося снижения ПС с нулевым углом атаки (ап = 0). Второе решение с параметрами

(х ) = -0,0652 ; (Л9)2 = 0,228 ; О = 0,508;

и третье решение с параметрами

(х90)3 = -1,198; (Л9)2 = 0,228; О = 0,508;

характеризуют неустойчивые периодические колебания относительно установившихся снижений ПС с углами атаки (ап )2 3 = ±0,632.

Таким образом, колебания устойчивой в линейном приближении ПС в окрестности рассматриваемого невозмущенного движения (установившегося спуска с углом атаки ап = 0,632) будут затухающими только в том случае, если начальные значения угла атаки

а = а(0) (при нулевых значениях возмущений остальных переменных) удовлетворяют неравенству

0,339 <а(0)< 0,794. (13)

При значениях а(0), не удовлетворяющих неравенству (13), вертикальное снижение ПС происходит в режиме автоколебаний с амплитудой А = 1,156 и частотой О = 0,508.

На рис.4 для сравнения представлены зависимости а = а(1;*), построенные по результатам численного решения системы (5) при а(0) = 0,7 (рис. 4а) и а(0) = 0,96 (рис. 4б).

а

0.70 0/58

Рис. 4.

Как показывают расчеты, соединительное звено может служить важным элементом ПС с точки зрения не только конструкции (например, удобства подвески груза), но и динамических характеристик. Так, увеличение длины звена ^ заметно расширяет диапазон начальных значений угла атаки, при которых колебания устойчивой в линейном приближении ПС с нелинейной зависимостью а ) будут затухающими.

Библиографический список.

1. Wolf D.E. The Dynamic Stability of Nonrigid Parachute and Playload System // AIAA Paper, № 209, 1970, p. 1-12.

2. Динамика связанных тел в задачах движения парашютных систем // О.В. Рысев, А.А. Вишняк, В.М. Чуркин, Ю.Н. Юрцев. - М.: Машиностроение, 1992 - 288 с.

3. Чуркин В.М. Динамика парашютных систем на этапе спуска. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2008. - 184 с.

4. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления // Под редакцией Ю.И. Топчеева. - М.: Машиностроение, 1970 - 567 с.

Сведения об авторе.

Чуркин Валерий Михайлович, профессор Московского авиационного института

(национального исследовательского университета); д.ф.-м.н.,

МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993;

тел.: (499) 158-45-84.; 613-30-13,

e-mail: churandr@mail.ru.