CC BY
39
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м IV 197 3
№ 1
УДК 629.734.7
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ СЛАБОДЕМПФИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПАРАШЮТА В СВОБОДНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ СНИЖЕНИИ
А. Г. Бюшгенс, А. А. Шилов
Рассматриваются линеаризованные уравнения движения осесимметричного парашюта фиксированной геометрии с учетом влияния присоединенных масс Воздуха. Показано, что декремент затухания угловых колебаний определяется кубическим уравнением. В случае малых абсолютных значений декремента получены простые формулы для периода и декремента затухания колебаний парашюта, положения центра вращений, амплитуды и фазы горизонтальной скорости в этой точке. * ...
В работе [1] выведеш* уравнения плоских движений парашюта фиксированной геометрии с учетом влияния присоединенных масс воздуха. В настоящей статье рассматриваются; линеаризованные уравнения движения. Показано, что декремент затухаци# угловых колебаний определяется кубическим уравнением. В случае малых абсолютных значений декремента получены простые и достаточно точные формулы длягпериода и степени затухания колебаний. В более общих предположениях, чем в работе [2], определено положение центра вращения и получены выражения для фазы и амплитуды горизонтальной скорости этой точки. Указанные формулы дают возможность оценить динамические свойства системы, не прибегая к интегрированию уравнений движения. Они могут быть также, полезны при решении задачи определения параметров парашютной системы по данным летного эксперимента.
Безразмерные уравнения движения. Уравнения плоских движений парашюта фиксированной формы с учетом присоединенных масс воздуха имеют вид [I]
’(/И (V cos я — Ксс sin я) (А/ -Ь ^22) ® — ^22 ^ = cos
(Af + 7io2)(— v Sin'a — V a'cosa) + (Af -f Xj,) cos a -}- X22 So 8 = cnqS — Mg sin 9;
(/ + f'.m + X.,2 Ф Ь + hi «о (— v sin a — Va COS a) -f- ;0 Vft cos a +
+ (^11 — *22) V2 sin a c0? a = mz (“) “) <}SL,
где M, 1 — масса и момент инерции конструктивных элементов парашюта; лп, ^22- Хад —присоединенные массы, характеризующие инерционное влияние воздуха соответственно на продольное, поперечное й вращательное движения парашюта; ?0 — расстояние от центра масс парашюта (ц. м.) до центра присоединенных масс (ц. п. м.), прйчем £о <0, если 14. п. Я. лежит ближе к куполу, чем ц. м. (фиг. 1); V— скорость движения ц. м. парашюта; а—угол атаки; д угол между осью симметрии парашюта и вертикалью;
сх — сх (а) COS a — Су (а, ш) sin о; Сп = сх (d)sin а су (а, 01) COS
Аэродинамические характеристики парашюта- предположим линейными функциями малых а и <о. Тогда, линеаризуя (1) около стационарного решения
О, &=0, получим (знаки варьирования опущены):
V-,«==0,
cxSf
MVO
в V (Хц ft — а) + Х22 So ft = — СЛ<?50 Су qSa -f- с“ у ft; |
(I + Х6в Х22 ?0) ft + ^22 5о V9 + (Хц — X^) V*a — m\ qSL a 4- niit -где 9 = ft — a, c«n = cx + cl.
qSL2
Фиг. I
(2>
Переходя в (&) к безразмерным параметрам с помощью соотношений:
—- |
С
оЛ
“Г л4 ^ 0 г
,x = _2M+^«L'; £о= ф-; 1
ро/у **»
_ .
2 iM + Хщ *
имеем
ТГ X» ~ ^22 . _________[______ и-------Ы------
М + Х22 ’ (М 4- Х^) I3 (М •+- Хи) £.*
в+ ДХ» + _1-Х2Г0»=- £ в+ <$*+- |
гч 9 (лХ^ 5о® + ДХ[иа(& — в) = |д.«^(& — в) + я**#, |
причем дифференцирование производится по безразмерному параметру
QS
t.
(3)
Частота и степень затухания колебательных решений. Как следует из анализа, проведенного в работе [2], корню системы (3), определяющему апериодическое движение, соответствует значительное демпфирование, поэтому частное решение линейных однородных уравнений (3) будем искать в виде
ft = е~Лт ft0 cos pr,
в = e ftTft0 (S cos pi + С sin pt)
.)
(4)
Подставляя (4).в уравнения движения (3), получим систему четырех алгебраических уравнений,для определения амплитуд В и С, безразмерной круговой частоты р и декремента затухания Л:
I. (с* -h)B-\- Ср— ДХА + -L х2 г0 (ft2
- - . . I’-
ll. Bp - (с\- А) С + ДХ/>
— х2 Го 2 hp f*
/>2)
1
cv Р'>
III. гг(А2-/>2)4-(*ла50(-еА + Ср) + !л(ДХ!1-т“)(1 -В)-.
IV. 2 hpr4 + (М2 £0 (— Bp — СА) — (л (ДХ|л — т“) С = — /и» /7. Из (5.1) и (5.Ш) найдем В в функции pah:
fl — So -f- B\h -f- S2 A®,
m" A;
(5)
(6)
(7)
где
Д) = i + -g-p2 + X2 £0 (Cjci* — x2 ?o p2)J;
^•Ж‘ ~Ж *”* + (— ДХц. -I- c“)J;
£ —3Afi2 —цХа^с“ .
Аналогично из (%Ц) и (5.1V> дм С получим:
С = р(В1 + 2АВа).
Дальнейшие выкладки существенно упрощаются, если использовать следующие обозначения:
- л. - h' -~Н ■ ^*Ц- t ife?'у. jjr i ' . .
а-/»-
6 = cj m* + Xj fo (c* — m“);
c ~ c«4* — 1^ + [Cy - ,<& + 1)] (4X)a — mj);
й==**р(ДХ|*~лф.
Подставляя (6) и (7) в (5.1) и используя обозначения (8), получим: р3(Ъ — 3 ha) ш= — яА* + ЬАа -f- сА + d.
Подобным же образом из (5.11), (6) и (7) следует
Р*
1
п*= — (3 А* в — 2 ЛЬ — с). а
(8)
(?)
(10)
Исключая из (9) и (10) рг, получим кубическое уравнение для определения декремента затухания А:
8 а? А® — 8 вЬй! — 2 (ас — 62) А -f (ad -j- be) — 0.
(И)
Поскольку большинство реальных парашютных систем являются слабодемп-фированными, ограничимся рассмотрением этого класса систем. Предположим, что |А|< 1. Тогда, пренебрегая членами с А2 и А3 в уравнении (11), получим:
л ай+Ъс
2 (ас - №) •
(12)
Оценим величину относительней ошибки 6А/А, на которую точное решение л л • ,
(11) А = А + ЬА отличается от А. Из (11) и (12) легко получить, что
откуда видно, что относительная погрешность формулы (12) линейно растет є увеличением декремента затухания (в области малых Л). Величину безразмер-
Л ' , .
ной круговой частоты легко найти, подставляя Л в одну из формул (9) или (10).
Центр вращения- Точку, лежащую на оси конуса строп и имеющую минимальную амплитуду горизонтальных смещений, назовем центром вращения. В работе [2] определялся идеальный центр вращения при А =0 как точка, горизонтальные смещения которой равны нулю.
Произвольная точка, расположенная на расстоянии R от ц. м., имеет горизонтальную скорость , .
! уг=К0 + /?і*1 ' (13)
- - ■ .■ аі ■
или в безразмерном виде где
КГ = (Л + /?», ............ (14)
_ _ Vr(M + Х22) V
Я = /?/!; rK qSL ;
Подставляя в (14) выражения (4), получим
Vr = »0 е-Ат (С(лВ — /?А) cos pi + ((лС — Rp) sin ptj.
Видно, что зависимость амплитуды поперечной скорости в каждый момент времени от R имеет вид гиперболы с асимптотами ;
Vr = Vpi+hHR*±R)^
-h-i
где/?* соответствует центру вращения и оПределяется:р^венствйм ' - : Вк-\-Ср
, ,,-м, , • ... .. •• . .■.■„Rц==:,P.. № -(_^а ■ ...... ; ■ •: 0*>)
Амплитуда колебаний горизонтальной скорости в центре вращений определяется соотношением •
! у — |Л С>1 % е~н~\ ’ •• (16)
Линеаризуя (15) и (16) относительно Л, получим:
! .-м. -{- (2 В, ®“ )л| ^ . , (15')
К тш = (при 1 = 0). ' (1(Г)
Фаза колебаний Кгш,п относительно колебаний угла тангажа 8 может быть
найдена с помощью формул ,
, . А Р , •
'■ - " ■ " ; соей 4- - г. . : .■ ’ ■ (17)
&т р ’ т — Ка24-р*
• • Знак плюс беретсяПри (£В — /?*Л>0 (или Вр^СН). Ийтересно отметить,
что при отсутствии затухания (А = 0), согласно (17), ^ = 0 или 9 = я, т. е. колебания' сийфаЗнй тсолебаййяМ #•(*) при Во> 0 й йон^рфазны при В0<0,
прдч^м условие перехода от синфазности к контрфазно^ти (Ва = 0) совпадает с условием существования- идеального центра вращения, когда'Кг ш1п = 0.
, . В процессе обработки результатов численного интегрирования (1) или летного эксперимента центр вращения можно определить, располагая записями 4(<) и поперечной скордсти. груза Кгр (/). для..которой, имеер. место равенство
. . . .. ..у’гр=-УР+/?гр&. . : . .. . ...; , (18)
Сопоставляя (13) и (18), получим . ,
1/г = (Я-Ягр)» 4- IV
после чего /?* может быть найдено из условия минимума интеграла от квадрата скорости
Г I ИГр + ((? — Игр) $]2 М -» гпШ. < я
н
Центр вращения, следовательно, расположен на расстоянии
I
I
Я* = ЯгР - ^------------------ (19)
'■М
С
от ц. м. парашютной системы. Точность формулы (19) увеличивается с ростом интервала наблюдения [$, <] и ошибка стабилизируется на значении, определяемом погрешностями измерений и выбором *0.
Для выявления влияния аэродинамики парашюта на положение центра вращения рассмотрим (15) в простейшем случае, когда отсутствуют присоединенные массм (Х2 = 0, дГ=0) и декремент затухания равен нулю, при этом /?* =— /я“/т“- Здесь /и* и т\ — коэффициенты, аэродинамических моментов относительно суммарного ,ц. м> царашюта и груза, согласно [1] эти коэффициенты имеют вид ■ ,
- - _ _ \ (20) тЦ—т%1 + тгк^х ~ сп&х2~ су&.х> }
где т“й, тюгк — коэффициенты моментов относительно ц. м. парашюта без груза, а 4* = кх1*—сдвиг центровки/при подвешивании груза. Если принять, что основными членами в (20) являются Дхс\ и с* Дл:2, то /?* = — Ддг.
Таким образом, в указанных предположениях центр вращения системы парашют — груз лежит в ц1. м. парашюта без груза, т. е. в районе купола. Этот результат носит несколько парадоксальный характер, поскольку при колебаниях системы большая масса колеблется, в то. время как малая почти неподвижна. Смысл этого результата заключается в том, что система купол — груз находится в потоке воздуха и аэродинамические силы являются определяющими, а механическая аналогия с двумя массами, связанными упругой связью, не является
адекватной. . .
В тех же предположениях легко получить для. периода колебаний парашюта формулу .
, Т 2 г. \rafg , ' ■ ' '
где а — расстояние от ц. м. груза до ц. м. парашюта. Кроме того, оказывается,
что ■ .
• V • =0. :
• • - 1 г шш
Таким образом, слабодемпфированная система купол — парашют в указанных предположениях в свободном установившемся снижении колеблется около ц. м. парашюта, как около покоящегося лв горизонтальном направлении центра вращений, с периодом, равным периоду математического маятника, плечо которого равно расстоянию от ц. м. парашюта до ц. м. груза.
Результаты расчетов. Расчеты проводились для парашюта, параметры которого .
М =0,058 тем; /=0,147 тем. м‘2;
Х11 = 0,02 тем; 5 = 3,3 м2
■. ^22=0,01 тем; I — 4,4 м;
^бв = 0> $о=.— 2,82 м
и аэродинамические характеристики сх= 1; с“ = — 0,3; с” = 0,378; /«“=— 0,379; /я“ = — 0,19.
Коэффициенты аэродинамических сил и моментов отнесены к центру масс. Скорость установившегося снижения составляет 1,66 л«/сек.
Фиг. 2
т интегрираіа.-ния уравнений ми тения
----приближенный расчет
Х*М
-----результат интегрировании ураВнений Нитения -----приближенный расчет
VrmJft»
0,09 0,07 40Ї
0,3
\
Фиг. 4
На фиг. 2 показан характер угловых движений слабодемпфированного парашюта. Приведены переходные процессы для горизонтальных скоростей нескольких точек на оси парашюта и кривая &(*)• От оси конуса строп парашюта отложены амплитуды горизонтальных скоростей в момент времени, соответственно показанный на фигуре вертикальной пунктирной линией; концы векторов соединены гиперболой. Положение центра вращения находилось по формуле (19). От вертикальной пунктирной линии отложены величины сдвига фаз колебаний Уг(/?) относительно колебаний 9-. В соответствии со сделанными выводами в точке /?* Д<=0 (так как А « 0).
На фиг. 3 и 4 показано влияние коэффициента с“ парашюта на наиболее важные характеристики его углового движения: декремент затухания Л, период колебаний Т, положение центра вращения /?*, горизонтальную скорость в центре вращения Угт|П при * = 0 и сдвиг фазы М этих колебаний относительно колебаний д(<)- Следует отметить сильное влияние Су на динамические свойства системы. Данныё фиг.- З и 4 указывают на весьма высокую точность оценок, основанных на приближенно^'формуле (12). в достаточно широком диапазоне значений декремента затухания (—0,2 </г< 0,2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бюшгенс А. Г., Шилов А. А. О динамической модели парашюта и определении его характеристик. .Ученые записки ЦАГИ*, т. Ill, № 4, 1971.
2. Шилов А. А? Об устойчивости движения парашюта на режиме установившегося снижения. „Ученые записки ЦАГИ*, т. II, Л 4, 1971.
Рукопись поступила 24/111 1972 г.
