О структуре уравнений движения планирующей парашютной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

________ ___

№1—2

УДК 629.734.7.015

О СТРУКТУРЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНИРУЮЩЕЙ ПАРАШЮТНОЙ СИСТЕМЫ

А. А. Шилов

Проведен анализ структуры уравнений движения планирующего парашюта как элемента динамической системы.

Предложена блочно-матричная форма записи уравнений движения, учитывающая присоединенные массы купола при движении в воздушной среде. Удобная форма уравнений позволяет единообразно анализировать случай свободного полета парашютной системы и случай закрепления ее в условиях аэродинамического эксперимента в трубе. Анализ позволяет рекомендовать форму представления данных трубного эксперимента в форме, удобной для расчета динамики системы, и уточнить соответствие между характеристиками парашюта в полете, в расчете и трубном эксперименте.

Для анализа динамики парашютных систем необходимо иметь удобную с точки зрения организации вычислений форму записи уравнений движения, учитывающую инерционные свойства среды с помощью введения присоединенных масс воздуха.

В работах [1] — [3] выписаны в векторной и тензорной формах уравнения движения, обсуждены различные аспекты задачи: от общих вопросов описания взаимодействия парашюта с воздухом до конкретных рекомендаций по выбору параметров, входящих в уравнения движения.

Тем не менее, осуществление математического моделирования ставит практические вопросы сопоставления данных различных расчетов, контроля вычислений, и здесь оказывается, удобно выбрать форму уравнений, отличающуюся от рассмотренных ранее.

Заметим сразу, что механическая сущность уравнений в указанных работах и в данной работе одинакова: парашют рассматривается как твердое тело неизменной формы и массы, инерционные свойства описываются с помощью матрицы присоединенных масс, а аэродинамические силы и моменты вводятся в соответствии с данными расчетных аэродинамических характеристик и экспериментов в аэродинамических трубах.

Традиционно, как это делается при исследовании динамики самолетов, в правых частях исходной системы дифференциальных уравнений будем размещать силы и моменты, не связанные с присоединенными массами, хотя такой подход требует введения поправок в результаты измерений, выполненных в АДТ.

Как будет показано, рассмотренный подход хорошо вписывается в процедуру формирования математической модели системы парашют-груз и упрощает программирование на ЭВМ.

Примем следующие обозначения:

М— масса парашютной системы, состоящей из купола, строп и груза или только из купола и строп, если рассматривается эксперимент в АДТ или если парашют представляет собой элемент пружинно-массовой модели сложной парашютной системы;

11С | — тензор инерции парашютной системы около центра масс;

У0 — скорость движения выбранной точки «О» твердого тела (полюса);

со — угловая скорость вращения парашюта;

II ^Не — матрица присоединенных масс воздуха;

а — кососимметрическая матрица, построенная по вектору а :

ах6=||й||£; II а |Р = ааТ -Г• а IЕ,

0 -а2 ау

«г 0 ~ах

<*х 0

а\ =

где Е — единичная матрица;

г0сг^\сгш — радиус-векторы, проведенные из полюсов О, Ох, Ог в центр масс рассматриваемой парашютной системы,

£) — вектор количества движения парашютной системы, <2-

= 2>(к0 + со х г0г), здесь т,— масса /-той точки тела,

Ц — вектор момента количества движения системы относительно полюса О.

Отметим, что момент количества движения относительно произвольного начала неподвижной системы координат 1д0

ко = £(Д> + 4) * х Пи) =

г

а его производная выражается в виде

^ + тх.10 + ^хё+Д)х^ = Д)х/; + Л/0.

Отсюда в силу произвольности /?0 следуют соотношения:

где — производная вектора относительно связанной системы координат. Компактная форма записи закона изменения суммарного количества движения и суммарного момента количества движения приводится в [1]:

<1<2

с1В

-3- + со х 0+—г-+ со хВ = ґ,

Ж ^ Ж

(І/, а . -* (ІК(\ г- — , * — —

• + со х 2,0 + + сох^0 + Г0хЄ + Г0хЛ = М0.

Л

Л

Суммарное количество движения равно + В, (где В — количество движения жидкости), а момент количества движения также является суммой Ц) + Ко. В состав внешних сил Т7 и момента М() вес жидкости не входит, этим учитывается ее нейтральная плавучесть. Для учета при-

соединенных масс вводят обобщенный вектор

ґ вл

и матрицу А,

'ік I

Л - Л В

Лу

Х,1 • ■ ^-16 / - \ г0 , где

^61 ' ■ ^66 я Л

обобщенный вектор скоростей.

Далее обычная процедура предусматривает запись уравнений в координатной форме [2], [3]. На этом шаге формирования математической модели начинают теряться возможности компактной организации вычислений и предупреждения возникновения ошибок программирования.

Используя матрицы вращения, представим вектор момента количества движения

4) = М(^С х ^о)+ м{г0с х (со X 4)) + ^т,(га х (© х гс,))

в матричной форме:

£о =^||п)Сро +Л/||Яос||||?ос1Тш + ||/с IIй,

где | /с I — центральный тензор инерции, || г0с | = - г0с ||.

Соответственно имеем: 0= МУ0+ Л/1| г0с |т<в. Обобщенный вектор количества движения твердого тела представим в блочно-матричной форме:

Ґ

д

МЕ

Л^ОсІІ ^ОсІІЬсІІ +ІК

чсоу

л

Ч)

Обобщенная матрица инерции /и | является неособенной, и обобщенный вектор скоростей может быть выражен через обобщенный вектор количества движения.

В блочно-матричной форме уравнение для обобщенного вектора количества движения имеет вид:

Ив II -* II 0 / - - \ / >

л л + н в + в Р

йо, ы II “II Л + ^0, Яо)

сіі Л ,

Имеются две возможности для выполнения численного анализа:

а) интегрировать уравнения в переменных £? + В, 10 + К0, вычисляя необходимые текущие значения К0,со с помощью соотношения

ҐГ,Л

Ф.НЧГ'

V 4)+ К(

о;

а начальные условия из соотношения:

Л д+в Л

Ъ+К0^=(о

:(1ЫНМ)

^о(0)Л 5 (0)

б) привести уравнения к зависимым переменным ¥0, ю, исключив из

рассмотрения векторы <2 +В, 10 + К0.

Поскольку в связанных осях элементами матрицы |/и| + |А,| являются

константы, то обратная матрица вычисляется один раз (в уточненной постановке задачи присоединенные массы могут зависеть от углов атаки и скольжения крыла).

В уравнениях движения остаются следующие члены:

+

со

0

со

(КНЧ)

V Мо )

Вычисляя в результате интегрирования уравнений векторы У0, со в проекциях на связанные оси координат и вводя матрицу направляющих косинусов IСI, обеспечивающую пересчет векторов из неподвижной системы координат I тп в связанную хуг

К тх

к

У ГПу У

ь т2

с||+ш|с|М,

с

'Ч-

с помощью уравнений Пуассона определим ориентацию тела:

-I

Л

и положение полюса тела в пространстве:

Л

Для сравнения расчетов, выполненных по разным программам, следует обеспечить совпадение исходных данных. При переносе полюса изменяется вектор г0с и величины присоединенных масс относительно полюса. Пусть г01с — вектор, проведенный из полюса О], а г02с — вектор, проведенный из нового полюса в центр масс -системы: г01с = г02с +г0102, а матрица || X || — представляет матрицу присоединенных масс, приведенных к полюсу 0\ .

Тогда из соотношения

В

21

'12

"22

У01

ю

с помощью подстановок

^01=^02-

11Т-

^0102

Ко2 = Км -1| г

01

0102

В,

можно получить

в

К<)2

11

г\2

^-21 -ЦпгЦ^П ^22 — ^“211|^121 “Ц^гЦ ^12 +|п2||^п||^2

С - Л

У02

Vй;

В результате вычисляется матрица присоединенных масс относительно нового полюса. Например, может быть принято: 0\ — полюс в куполе, а <32 — полюс в коуше строп, тогда гш2 (или для краткости г12) характеризует положение коуша относительно системы координат, связанной с куполом, а А,цА,12^21^22 — это блоки матрицы присоединенных масс купола размера 3x3.

В книге [1] приводится подробное описание задачи об определении сил и моментов, действующих на тело при его неравномерном и непоступательном движении в идеальной жидкости. Основные особенности постановки задачи, рассмотренной еще Кирхгофом, заключаются в следующем:

— на бесконечности жидкость неподвижна;

— движение жидкости безвихревое, жидкость несжимаема;

— на поверхности тела удовлетворяется условие непротекания.

В результате решения этой задачи устанавливается, что уравнения движения твердого тела должны быть дополнены кинетическим моментом и количеством движения жидкости (аддитивными к соответствующим величинам, относящимся к телу) и дополнительные величины могут быть выражены в виде интегралов от потенциала ср:

^ = -|рф(г хи)й/Ь, 5 = -|рфтЛт,

-т -

где потенциал ф представим в виде ф = ф • <7

-(

,ф,

)т.

/ 9

У {У()х > Уоу > ^Ог >®д.,С0^,С0г), а обобщенный вектор количества движения представим в виде ([1], стр. 325)

'в'

\fioJ

Отсюда следует, что вращательное и поступательное движения тела взаимодействуют через инерционные члены:

еи0 ак,

л л

= мп.

В общем случае тело совершает движение в движущейся среде. Ограничимся случаем, когда можно движение среды в достаточно большой окрестности вокруг летательного аппарата характеризовать единым вектором — скоростью движения среды, и можно предположить, что та же скорость Ж сохраняется и на больших расстояниях от тела. Пусть воздух движется со скоростью IV, а полюс, фиксированный в твердом теле, со скоростью У0. Относительная (воздушная) скорость равна Уцг = У0 - IV.

Если ввести систему координат, движущуюся с потоком, то на периферии скорость движения среды стремится к нулю, а скорость тела, рассматривавшаяся в гидродинамической задаче, равна скорости У№. Тогда

гвл чм

Л)

Учет этого соотношения касается только расчета сил и моментов, связанных с инерцией воздуха (жидкости).

При записи уравнений движения можно использовать переменные У0, со или Ут, со.

Если ввести явно воздушную скорость полюса ¥т) и скорость ветра Г0 = Уцг0 + Ж, то уравнения движения парашюта в среде (с учетом того, что из движущейся системы координат в неподвижную переносится результат вычислений сил и моментов) приобретают вид:

МЕ ^ЫГ + о — << Л12 /Л Л

МЫ Л21 к22 { ю ,

и 0 МЕ м||4||т

1^0+^ N ^141 ^|4|| 4 ||т +1К1 1 ® У

О)

Ут

О

I со II

1° Л,Ц л12

Л21 ^22

V,

т

V ю у

+

Ъ+Ор+Ъ Ма +14: II + М,

где под , М3 могут подразумеваться силы и моменты от внешних поддерживающих купол устройств (или сообщающих ему принудительное движение) или от груза, прикрепленного к куполу с помощью строп. Хотя отметим, что, как правило, система строп при проведении расчетов — это лишь модель реальной системы строп.

Заметим, что величина Ж — это производная вектора Ж относительно связанных осей. Если абсолютная производная от вектора IV равна нулю, то IV- — | со ||^, а вектор Ш в связанных осях надо вычислять с помощью матрицы пересчета || С ||.

Можно проверить, что с учетом сделанных замечаний о векторе Ж при постоянной скорости 1¥аЬ$ в последнем уравнении члены, зависящие от IV, взаимно уничтожаются (как в уравнениях сил, так и в уравнениях моментов), а движение характеризуется только скоростью

Уравнения движения записаны так, как если бы силы и моменты Еа и Ма определялись расчетным путем без учета присоединенных масс. При использовании экспериментальных данных следует при подготовке банка аэродинамических характеристик учесть поправки на предполагаемое влияние матрицы ||А,Л|| на весовые измерения, что позволяет не только сравнивать результаты расчетов аэродинамических характеристик с результатами измерений в аэродинамических трубах, но и избежать двойного учета присоединенных масс при расчетах динамики и при этом сохранить компактную векторно-матричную структуру уравнений, удобную для блочного программирования.

Поскольку присоединенные массы купола определяются плотностью воздуха, размером и формой купола, то целесообразно вводить безразмер-

ные характеристики

Хц,

Х.Ц хп Ац хпь

^21 Х22 х21ь Л 22 &

Р 5І

что позволяет учитывать изменение инерционных характеристик купола при изменении размеров, но сохранении формы парашютной системы. Из общих уравнений движения, записанных выше, можно выделить частные случаи:

а) IV = О, - М3 = 0, вектор Ор обозначает вес парашюта вместе с грузом, вектор Р0с проведен из полюса, размещенного где-то под куполом парашютной системы, которую считают твердым телом. В частности,

при (й-Уцг= 0 получим уравнение статической балансировки моментов

б) в условиях статического аэродинамического эксперимента под полюсом чаще всего понимается точка крепления строп, она неподвижна, парашют не вращается: К0, со = 0 и, если крепление в коушах шарнирное, то Л/,= 0:

“11

Ж+М0а+ Р0с

ср=о,

где центр масс — это центр масс системы оболочка + стропы, а груз отсутствует.

Можно видеть, что величины моментов М0а в случаях а) и б) — различны, и необходимо при сравнении данных учитывать перенос полюса при расчете || А, и || и М0а. Если в случае а) под М0а подразумевается момент относительно полюса, находящегося в характерной точке купола, то в случае б) момент равен

М,

0 а

= м.

0а

+ Г0а 06 х-Ра

Таким образом, во-первых, для расчетов движения надо знать величину М0а (получать ее иногда приходится из последнего соотношения), а,

а

во-вторых, ошибки измерения больших сил могут заметно искажать момент Мйа . На это обстоятельство следует обратить внимание при срав-

нении данных из различных источников.

Рассмотренный подход позволяет рассматривать несколько структур парашютных систем и случаев использования рассмотренных уравнений:

1. Пусть планирующий парашют представляется в виде жесткого тела, центр масс которого размещен на значительном расстоянии от несущей аэродинамической поверхности. В этом случае г0с — это вектор проведенный от полюса, выбираемого в характерной точке купола, до центра «сухих» масс планирующего парашюта. При Ж = О скорость У0 определяет скоростной напор, от которого зависят размерные силы и моменты

2. Другой вариант записи уравнений движения необходим, если парашют представляет собой элемент пружинно-массовой модели системы груз — парашют. В этом случае также целесообразно помещать полюс в характерную точку купола. Взаимодействие груза и парашюта будет обеспечиваться благодаря введению условных строп с конечной жесткостью и вязкостью, крепящихся к грузу и парашюту в четырех соответственных точках. Это позволяет моделировать (с известной долей правдоподобия) взаимное движение груза и парашюта как вращательное, так и поступательное. Но в каждом конкретном случае адекватность замены реальных строп условными должна обсуждаться отдельно.

3. Третий случай относится к методике обработки и интерпретации результатов измерений в аэродинамической трубе. Чаще всего коуши парашюта фиксируются на весах, а сам парашют может совершать движение по углам атаки, скольжения и крена. Заметим, что в этом случае устойчивость свободного бокового движения планирующего парашюта в трубе обеспечивается за счет бокового смещения купола при крене при фиксированных коушах строп, что отличается от ситуации в полете, когда происходит движение груза. Поэтому при фиксированных коушах и свободном куполе главные результаты эксперимента относятся к изучению продольного движения. В описанном случае уравнения движения следует записывать, выбирая полюс в точке между коушей, поэтому Ж Ф О, К0 = 0 и момент от поддерживающих устройств относительно этой точки равен нулю.

Для определения боковых характеристик устойчивости необходимо принудительно поворачивать купол в потоке аэродинамической трубы и измерять силы и моменты, действующие на купол со стороны устройств, осуществляющих этот поворот, т. е. при таком эксперименте момент и силы от поддерживающих устройств позволяют определять момент М0а .

а

Но поскольку ошибки измерения сил могут существенно исказить величину момента, то для повышения точности выходных данных весы, измеряющие боковые характеристики, следует помещать вблизи купола, т. е. вблизи полюса, используемого при записи уравнений свободного движения планирующего парашюта.

Наряду с результатами измерений сил и моментов от поддерживающих устройств в итоге должны быть представлены данные о М()а с при-

мечаниями о внесенных поправках на учет предполагаемых присоединенных масс. В этом случае цепочку: эксперимент в АДТ — расчет аэродинамических характеристик — расчет динамики свободного движения — сравнение данных расчетов с результатами летных экспериментов можно будет замкнуть.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский JI. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука.—

1987.

2. Р ы с е в О. В., В и ш н я к А. А., Ч у р к и н В. М., Ю р ц е в Ю. Н. Динамика связанных тел в задачах движения парашютных систем.— М.: Машиностроение.—1992.

3. Е a t о n J. A. Added Fluid Mass and Equation of Motion of a Parachute// Aeronautical Quarterly.— 1983.

Рукопись поступила 5/111999 г.