О динамической модели парашюта и определении его характеристик Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Т о м /// 197 2

№ 4

УДК 629.734.7

О ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАРАШЮТА И ОПРЕДЕЛЕНИИ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИК

А. Г. Бюшгенс, А. А. Шилов

Рассматриваются уравнения плоских движений парашюта фиксированной геометрии с учетом влияния присоединенных масс воздуха. На основе анализа уравнений получены формулы пересчета параметров и характеристик парашюта при изменении центровки системы. Для определения аэродинамических и динамических параметров системы, необходимых для линейного анализа устойчивости, предлагается метод частотного анализа.

Уравнения движения парашюта. Система груз —парашют предполагается твердым телом фиксированной геометрии и называется для краткости парашютом. При анализе динамики и устойчивости осесимметричного парашюта в случае отсутствия вращений около продольной оси можно ограничиться рассмотрением плоских движений [1]. Особенности геометрии парашюта являются причиной того, что при движении с ускорением купол увлекает значительное количество воздуха, масса которого часто достаточно велика, поэтому уравнения движений парашюта должны учитывать влияние присоединенных масс воздуха. Это влияние характеризуется симметричным тензором Т (Ху), состоящим из 36 элементов [2], из которых 21 различен.

Тензор присоединенных масс характеризует дополнительные инерционные свойства тела при продольном (индекс 11) и поперечных (индексы 22, 33) поступательных перемещениях, а также вращениях около осей системы координат (индексы 44, 55, 66) и инерционные взаимодействия перечисленных видов движения (индексы ¿/, ПРИ 1ф})- Тензор присоединенных масс обычно относят к подвижной системе координат, неизменно связанной с телом. Возьмем в качестве такой системы систему координат хОгу, ось Охх которой является осью симметрии парашюта, а ось Оху лежит в плоскости движения.

4—Ученые записки ЦАГИ № 4

49

В случае плоского движения тела число элементов тензора присоединенных масс сводится к шести.' Отличными от нуля являются х{ь Х22, Хбб, Х12, *16, *26; все прочие присоединенные массы, относящиеся к поступательному перемещению вдоль оси 01 г (индекс £, у = 3) и к вращательному около осей Огх, 01у (индексы у = 4 и I, у = 5), равны нулю. Симметрия парашюта позволяет использовать следующие равенства:

*12 = *16 = 0.

Таким образом, тензор присоединенных масс в системе координат х01у имеет вид

Тоі(Ьц)~

Ненулевые элементы тензора при переносе начала координат вдоль оси симметрии на величину % преобразуются по формулам:

: *и;

*п 0 0 0 0 0

0 *22 0 0 0 Х26

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 Х26 0 0 0 *66

*п =

Х22 = *22!

*еб = *66 + Х22 £2 — 2 Х26 £;

^26------------------Х-22 5 4" *2

26-

О)

Видно, что существует такая система координат хОу (при Ц = Х26/Х22), б которой тензор присоединенных масс Тй (Х.;.) становится

диагональным (Х26 = 0). Систему координат хОу с таким началом

называют центральной, тензор Т0(\^) в ней имеет крайне простой вид — от нуля отличны только три элемента Хп, Х22, Х66. Однако уравнения движения удобнее записывать в системе координат хсу с началом в центре масс парашюта (фиг. 1). В соответствии с (1) ненулевые элементы тензора

ТоОч)) в этой системе координат могут быть записаны в виде

Хїі = Х

її-

\с

/-22

= х„

ч22»

*66 = *66 "Ъ *26 :== *22 ^0>

(2)

где £0 определяет расстояние между началом центральной системы координат О и центром масс парашюта с(?0<0, если точка О лежит ближе к вершине купола, чем центр масс с). Отметим, что под центром масс понимается центр масс „сухого“ (без присоединенных масс) парашюта.

Напишем уравнения движения тела в воздухе, считая, что к телу приложены внешние силы F и моменты М. Обозначая через Q(QX, Qy, 0) количество движения парашюта и присоединенных масс воздуха, а через К(0, 0, К) их момент количества движения

в связанной с телом системе координат хсу, получим

§ + [2, Q] = ~F\ %■ + №, K) + [V, Q] = M,

где 2 — вектор угловой скорости тела Q(0, 0, Ó-); & — угол между связанной осью сх и вертикалью; V (Vx, Vy, 0) — вектор скорости центра масс парашюта. Количество движения Q и момент количества движения К определяются формулами

QX=MVX + Хц Vх,

Qy = MVy + lc22Vy + lc26b-,

/¡С=/é -h xg6 & 4- Х|6 vy,

где М— „сухая“ масса парашюта; / — его момент инерции, из которых с учетом (2) получим , ,

Qx=MVx + luVx-

Qj, = М. Vy -f- Х22 Vy Х22 í0 (3)

f(=/é 4- х66 ó -f- х22 s0 vy 4- x22 Й &.

Суммарная кинетическая энергия тела и присоединенных масс

воздуха определяется выражением

2Т — Хп Vi + Х22 VI + Xg6+ 2Хс26 Vyb + MVl-}- MV2y + I&, или с учетом (2)

2T={M + \n)Vl+MVl + -k2i{Vy + W + {I + \t)&. (4)

Подставляя (3) в векторные уравнения движения, получим

(М + хи) VX-(M + х22) vyb- Х22 Ц0 в* = F¿

(М + х22) Vy + (M + xn) vx Ь 4- Х22 Е0 & = Fy- . (5)

</ + X,* + >-22 Й) ь + Х22 So V, - (Xu - Х22) vx Vy + х22 60 Ь vx = мг,

где

/% = Mg eos & — c^qS-, Fy = — Aígsin & 4~ cn <7^; Mz=*mzqSL\ сг = cx cos я — Cy sin а, сп = сх sin а -\- су cos а.

Видно, что в правых частях уравнений (5) отсутствует „вес“ присоединенных масс, при этом центр тяжести системы не совпадает с ее центром масс. Если в правые части уравнений (5) при ХИ = Х22 —X искусственно добавить „вес“ присоединенных масс A/v^Xgcosü, ДFy = —Xg-sinO, ДУИг = — £0Xg-sin&, то уравнения (5) станут эквивалентными обычным уравнениям движения твердого тела, имеющего массу М 4- центр которой совпадает с центром тяжести системы.

Сравним уравнения (5) с уравнениями, имеющимися в литературе по динамике парашютов [3], [4], [5], Работа [3] использует уравнения, в обозначениях настоящей статьи имеющие вид:

(M + >.u)Vx-(M + l22)Vyü=Fx, (М + Х22) Vy + (M + ln)Vj = Fy]

(I + Чб) & = мг.

(6)

Из сопоставления (5) и (6) видно, что в работе [3] (как, впрочем, и в работах [4] и [5]) пренебрегают сдвигом начала центральной системы координат относительно центра масс „сухого“ парашюта. Предположение о 10 = 0 является достаточно грубым, так как у большинства парашютных систем центр масс элементов конструкции и груза лежит близко к грузу, а начало центральной системы координат располагается в районе купола, т. е. величина £<> имеет порядок длины парашюта L.

Кроме того, в уравнении моментов системы (6) из [3] отсутствует член (Хп—\2)VxVy, что не позволяет получить из левых частей (6) выражения для кинетической энергии* (4) даже в предположении £0 = 0.

Об инвариантности структуры, уравнений движения при изменении центровки. Аэродинамические характеристики парашюта зависят от угла атаки а и безразмерной угловой скорости вращения ш. При этом можно считать, что сх = сх(а), су — су(а, ш), mz =

— mz(ccj w), и предполагать сх, су) тг линейными функциями а и а>

при малых а и со. Коэффициент момента подсчитывается тг{а, ш) относительно центра масс парашюта с.

Проекции скорости на связанные оси имеют вид (см. фиг. 1} Vx = V cos a, Vy = — V sin а.

С учетом этих равенств уравнения движения парашюта (5) можно записать следующим образом:

(М + X11)(l/cosa— VasinaJ-f-ÍAÍ-j-^) Vsina9-= сх qS cos a + cy qS sin a 4- Mg cos (7W X22) (— V sin a — Vo. cos a) 4~ (M + Хи) V cos a& 4-

4- X22 S0 & = cx QS sin a + cy cos a — Mg sin &;

(7)

(/ + X66 + ^22 So) ^ ~\r ^22 (— У sin a — Vcx cos a)

+ Q

ii ■

■ ^22) V2 sin a cos a 4- X22 i0 Ó V cos a — mz(a< “) qSL.

* Интеграл энергии получают, умножая первое уравнение из (6) на Vх, второе на Уу, третье на &, суммируя и интегрируя:

< {

1

[(М + Xjt) Vx 4" (М + Х22) “Ь {I + Х66) &2] I + J* (Хп — Х22) V xVy Ítóí —

= ¡ {FxVx+ Fy Vy + M,b) dt.

Видно, что уравнения (6) приводят к выводу о неконсервативности движения тела и присоединенных масс воздуха при отсутствии внешних сил и моментов.

Г 2 /Ир*

Линеризируя (7) около стационарного решения V = Л/ —=2 ;

Г Схор

« = 0, 9 = 0, 4 = 0, получим (знаки варьирования опущены):

М 1/е + 1/(Хп 9 - Х22 а) + Х22 50 в = - с, qS6 + суа ?Sa-f-с» 9; + Хб6 -f- Х22 So) 4 + Х22?01/0 -+- ()м j — Х22) V2 а = tnz qSLa -j- /я™ ^ у

}(8)

где 6 — угол между вектором скорости и вертикалью.

В случае груза, имеющего малый размер, влияние следа на аэродинамику купола незначительно, и т\ и с* можно полагать равными нулю.

Изменим теперь центровку системы на величину Дл: введением дополнительного груза массы т в вершине конуса строп на расстоянии а от центра масс парашюта. Расстояние между новым и старым центром масс составляет величину &х = та/(М + т). Поскольку момейтные характеристики отнесены к центру масс парашюта с, уравнения движения по-прежнему пишем в системе координат хсу.

Действие груза на парашют сводится к силам реакции (см. фиг 1), при этом уравнения (5) принимают вид

(9)

(М + Хи) (V COS a — Va sin a) + (M + Х22) К® sin a — Х2210 92 ==

= — сх qS cos a -f- cy qS sin a -f- Mg'cos 9-f- Nx;

(M -j- X22) (— V sin a — Va COS a) -f- (M + Хи) 1/9 cos a -(- X22 i0 9 =

— cx qS sin a-\- cyqS cos a— Mgsin9 — Ny;

(/ -j- X66 ~(- X22 ?o) 9 -j- X22 S0 (— V sin a — Va cos a) -f-+ (Хц — X22) V2 sin a cos a -j- X22 S0 91/ cos a — (a, <u) qSL — Ny a.

К грузу со стороны парашюта проложены те же (по абсолютной величине) силы Nx и Ny, поэтому

Nx — mg cos Ъ — m(V cos a — Va sin a) -j- mb (— Vsin a -f- a9); I My = mg sin 9 + m (a9 — l/sin a — Va cos a) -\-mbV cos a. J

Исключая реакции из (9) и (10) и линеаризируя полученные соотношения, имеем

— (М -j- м Х22) Va -j- (М -f- т Хц) VÓ 9 (та 4- Х22|0) =

— сх qSft -f- CyqSa -j- сю

'у 1/

c2\

(/ + та2 -{- Xgg -j- X22 £0) 9- -f- (am + X22 £0) 1/9 -j- (Xtl — X22) V2 a —

= ml qSLa -f m“ - 9 — amgb.

V

(11)

Система (11), естественно, должна сводиться к уравнениям в форме (8), так как изменение центровки не может влиять на структуру уравнений движения. В самом деле, замена переменных и коэффициентов

где Ах = АxfL, Сп = Сх + Су (индекс „н“ соответствует новым переменным) преобразуют (11) к уравнениям в виде (8), которые становятся уравнениями движения относительно общего центра масс „сухого“ парашюта и груза. Формулы (12) при этом дают закон, пересчета параметров к новой центровке, аналогично соответствующим соотношениям динамики самолета. Относительно соотношений (12) можно сделать ряд замечаний. Видно что с“н является значительной величиной (так как Дх~1), поэтому учет с® в уравнениях движения необходим.

- ч -- tn%—Cw

Отметим, что величина /га“н из (12) при Дл; = -------^ имеет

2 сп

минимум. Кроме того, из (12) видно, что статическая устойчивость /йгн и коэффициент демпфирования т“н определяются как моментными характеристиками, присущими куполу m“, так и

величинами Ах и сап.

Частотный метод анализа парашюта в аэродинамической трубе. Как уже говорилось, статические испытания парашютов в трубах дают лишь часть его аэродинамических характеристик: сх, су, ml [6], [7]. Остаются неопределенными важные для динамического анализа параметры Х22> Х66, m“, £0, су, которые оказывается возможным найти при частотных испытаниях парашюта в трубе. Рассмотрим методическую сторону такого эксперимента.

Пусть парашют помещен в рабочую часть вертикальной трубы со скоростью потока V0. В коуше (точка к на фиг. 2) задается возбуждающее перемещение y(t) в направлении, перпендикулярном оси потока.

Запишем уравнения плоских движений парашюта:

/„ = / + МаАх\ Мн — М -\- т\ îo = £0 — &х ; = +сапАх\ ml н = т\ — Axel;

= + mlAx — CnÂx2 — c*Âx,

(12)

(M + Xn J Vx - (M + X22) vy » - X22 Ü0 a* = - cx qS cos a +

-f Cy qS sin a 4- Ai g cos & + Nx cos & -(- Ny sin 9;

(Ai -)- X22) Vy -f- (M -f- Xj j) Vx 4 -j- X22 â = сx qS sin a -f--j-cyqS cos a — AJg-sin ô — Nx sin ô -f Ny cos 8;

(/ + + *22 5o) » + Ц2s0 Vy - (Xn - X22) vx vy + x22 ç0vxé =

= Mz (a, w) qSL — a (Nx sin & — Ny cos ô),

где Д^д., Л/у — проекции силы, приложенной в коуше к парашюту со стороны возбудителя, Л/* — вдоль оси трубы, — вдоль направ-

ления возбуждающего перемещения.

Кроме того, к (13) нужно добавить кинематические соотношения, характеризующие связи, наложенные на несвободный парашют:

К, = .у(0 эт &, + У(*) соей; |

^ 1/у — \/0 эШ 0 | (14)

^а==— ух+ 1/0созЬ‘ '

Учитывая (14), исключая реакции из (13) и линеаризируя полученные соотношения, запишем уравнение моментов из системы (13) в виде

[/* + *66 + *22 (а - дг] » - да?* » - т%к цЭЬЬ - АГ^а» =

у о

= [аМ + Х22 (а - ?„)]у (0 - тагк яБЬ , (15)

*0

где /А = /+ Ма2; т^ = т™ + т\а — а2с“ — с“а; т\и~т\ — сапа.

Фиг. 2

Уравнение (15) при нулевых начальных условиях эквивалентно соотношению

Тр+\

А\р% + Лгр + А,

(16)

где У№ = ^[р> а коэффициенты передаточной функ-

ции могут быть представлены в зависимости от безразмерных параметров парашюта:

■^1=—1г (г& 4- *66Ч-*22(я — Ёо)*]; Аг——^г>

тгк т2к

т

ї

Ая = \

а *

тгк

Т — — —— [а -Ь Х22 (а £0]. тгк

(17)

Здесь

?„ = $„//.,, а = а//., ^ = 2Л^/Р^,

£ = ёа/]/о, Гй=4/М12; Х66 = Х66/Ж3; 1г2 = \2Ъ/М.

Следуя обычной методике частотного анализа, т. е. возбуждая систему гармоническим перемещением _у(£) и измеряя угол между осью трубы и осью симметрии парашюта, можно найти коэффициенты передаточной функции (16) Т, Л„ Л2, Л3. Как видно из (17), знания этих коэффициентов недостаточно для определения по отдельности Х22, Х66, £0, т“, е®. Вследствие этого необходимо предусмотреть измерение боковой реакции Л^, в точке крепления коуша. Найдем выражение передаточной функции от перемещения у(Ь) к реакции Л/у.

Исключая из первых двух уравнений системы (13) реакцию Ых и проводя линеаризацию, получим

ОіР + 0-1

Тр + 1

Л1 р3 + А2р + А,

Ф\Р2 4- В2р Ва)

РУ. (18)

где Д/у = Л/у/^5. Измеряя Л/у, найдем коэффициенты £>г, В], характер зависимости которых от параметров парашюта определяется формулами:

Вх = а-\- Х22 (а —10); 52 = -І- (с; + ас“);

Г

в, = я, = ( 14- х22), о2=4-с»-

г г

(19)

Теперь при известных массовых и статических характеристиках парашюта из (17) и (19) могут быть найдены искомые динамические параметры:

*'22 -- Ґ)і ■

-Вг

1; с™ = рВ2—ас„, тшк=А2тагк\

£>! а Вх -2 Ахтгк ІГі %\( ~ тгк ^ г>

*66 = — гк----------------- -(¿>, — 1)1 а------— Т — Ох

г \ г

Ог~\

1т №#.(¿0))

о'

~0,5

350 Ьы \зо . Н

> О >* §

<г- м1

10

10 [й>]= рад/сек

1т (¿о)) 10 А

0 1 "Л5- Ле (¿0))

Мй>=«0

Фиг. 3

Заметим, что если частотные испытания проводятся в горизонтальной трубе, то вследствие небольшого веса купола и значительного момента гпгк #5/, продольная ось невозмущенного парашюта будет направлена под малым углом к оси трубы и итоговые формулы (20) сохраняются, а в промежуточных выкладках этого раздела следует пренебречь моментом силы веса.

Видно, что среди безразмерных коэффициентов передаточных функций (16) и (18) только Л3 зависит от скорости потока. Если исследование проводится в горизонтальной трубе, то Л3= 1 и варьирование скорости не меняет частотных характеристик.

На фиг. 3—5 показаны примеры амплитудно-фазовых частотных характеристик, соответствующих передаточным функциям (16) и (18)

& = (¿со) у, А/у = ЦТ'ду (т) у,

для парашюта с параметрами М = 0,049 кг; 1=0; 1 = 1,5 м; 5=1 ж2; £ = — 0,5 м; = 0,196 кг;

Фиг 4

Х2 = 0,098 кг; Хб = 0; а=\ м, имеющего аэродинамические коэффициенты сх= 1, с“ =“ — 0,3, Су = 0, т* = — 0,001, т™ — — 0,008, помещенного в поток со скоростью Vo^lO м/сек, возбуждаемого гармоническим перемещением с амплитудой 0,1 м.

Приведенные данные иллюстрируют влияние наиболее важных параметров на амплитудно-частотные характеристики. Видно, что существенная часть характеристик лежит в области реализуемых на практике частот 0—5 гц (круговая частота 0—30 11сек).

ЛИТЕРАТУРА

1. Шилов А. А. Об устойчивости движения парашюта на режиме установившегося снижения. »Ученые записки ЦАГИ-, т. II,

№ 4, 1971.

2. Р и м а н И. С., К р е п с Р. П. Присоединенные массы тел различной формы. Труды ЦАГИ, вып. 635, 1947.

3. Neustadt М., Ericksen R. E., Guiteras J. J., Larri-v e e J. A. A parachute recovery system dynamic analysis. AIAA. J. Spacecraft and Rockets, v. 4, N0 3, 1967.

4. Dean Wolf. The dynamic stability of a nonrigid parachute and payload system. AIAA Paper N0 70-209, 1970.

5. Ludwig R., Heins W. Theoretische Untersuchungen zur dyna-mishen Stabilität von Fallschirmen. Jahrbuch 1962 der Wissenshaftliche Gesellschaft für Luft- und Raumfahrt.

6. Носарев И. M. Устройство для испытания парашюта в аэродинамической трубе. Бюллетень „Окрытия, изобретения, промышленные образцы, товарные знаки“, № 10, 1965.

7. Schulz, Hamei. Einige neuere Ergebnisse der Flugmechanik. Jahrbuch DGLR der Deutshen Gesellschaft für Luft- and Raumfahrt E.V. 1970.

Рукопись поступила lljX 1971 г.