ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАРАШЮТНОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГИМИ СТРОПАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

www.mai.ru/science/trudy/

Труды МАИ. Выпуск №84

УДК 681.516.7

Вынужденные колебания парашютной системы с упругими стропами

Чуркин В.М.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

e-mail: churandr@mail.ru

Аннотация

Рассматриваются вынужденные колебания в вертикальной плоскости парашютной системы с упругими стропами. При записи уравнений движения купол считается симметричным твердым телом, стропы моделируются двумя линейными невесомыми пружинами, а груз - точечной массой. Возмущающее воздействие, вызывающее колебания, представляется дополнительной составляющей вектора скорости, направленной горизонтально и изменяющейся по гармоническому закону. Составляются уравнения вынужденных колебаний системы, в которых учитывается нелинейная зависимость аэродинамической силы купола парашюта от его угла атаки. Методом гармонической линеаризации находятся выражения, определяющие основные параметры колебательных режимов и позволяющие рассчитывать амплитудно-фазовые частотные характеристики системы.

Ключевые слова: парашютная система, упругие стропы, вынужденные колебания, гармоническая линеаризация, параметры колебательных режимов.

Рассмотрим парашютную систему (ПС), составленную из жесткого симметричного относительно оси купола с центром давления Э и центром масс С, лежащими на его оси симметрии, упругих строп в виде двух линейных невесомых пружин и точечного груза. Допустим, что на купол действуют сила тяжести Ок и составляющие аэродинамической силы: нормальная N и касательная Т, а на груз -только сила тяжести Ог. Движение такой модели ПС в вертикальной плоскости можно описать следующей системой уравнений [1]

У1(й-УГ)-у2г2 = -^ + Ст0(1 -ц)сов0 + —1х + —2х ;

2к 2к 1 + ц

та + та

У1(У + йг) + у2г = -С^ -СЖ(1 -ц)в1п0 + -*;

2к 2к 1 + ц

г + у3(У + йг) = - й20 - -Т0 (1 - ц)8с в1п 0 + л[8в(-1Х - —2х) + 8Е(-1У + —2у)]; 21 21

С 1

й 1 + й - уг - хг2 - 2У1Г = сТ0 (1 + ) сов0 - - (—1х + —2х);

2к ц

С 1

У1 + У + хг + уг2 + 2цг = --^(1 + ц>т 0 — (—1у + —2у);

2к ц

0 = г;

х = й1;

у = у, (1)

Здесь введены обозначения

й =

V

У

Оу .

V.

00

V

й2 =

00

V

й1 =

_VlX.

00

V

У1 =

_у1у.

00

V

г =

ю1Т

00

V

хА х = ;

00

1

2

^ m ^

у A .

ь

ь

m

. m + Хп . Jk + А,66 ш1

к =-11; 1 = ^3^; л--

ш

^ + ^ 66

Ц26

126 1 + Ц - Ц я 1 Я Л Л

26 ; У1 —; У 2 26 -6е;-; Уз -Л26 -л6 с (1 ;

1о(ш+КУ 1 1 + ц

1 + ц

л26 = Т , 2 , 6 В ; 6С ; О Е - г" ; - —^2

Jk 66 1Б 1Б 1Б шг уоо

Р ■¡х.У . • _

; ] -1,2;

У0х,У0у - проекции вектора скорости точки О на оси системы xOy;

V - скорость центра давления D купола; У00 - скорость точки О при установившемся спу-ске ПС; ю- угловая скорость вращения купола; 0-угол

тангажа купола; У1х,У1у - проекции вектора скорости груза на оси системы xOy;

С, См - коэффициенты касательной T и нормальной N составляющих

аэродинамической

силы купола

Схема ПС с упругими стропами. Сг = Ог( а); CN = CN( а);

а- угол атаки купола; - проекции на оси системы хОу сил реакций строп

за=12)

Чх = (Ха - 1Е)Р,/1,; Зу = (УА ± вд; ^ - длина} -ой деформированной стропы

ЬЧ(Ха - 1Е)2 + (УА ±Ь)2; хА, уА - координаты груза; 1С,10,1Е,Ь - расстояния между характерными точками

купола

1С = ОС; 10 = ОБ; 1Е = ОЕ; Ь = ЕЕ = ЕЕ2; шк, шг - массы купола и груза

шк + шг = ш;

1К - момент инерции купола относительно оси, проходящей через точку О. Силы реакций строп условимся представлять в виде суммы

Ч = с(11 -1) + ^ ,

от

где с - коэффициент упругости стропы; f - коэффициент «внутреннего» трения стропы; 1 - длина недеформированной стропы

1 = л/И2 + Ь2 ; И = ВЕ;

(Ха -+ (УА ±Ь)ауА

л I ^ А Е' & Ч"А ' л

Предположим, что движение ПС сопровождается воздействием возмущения, которое описывается дополнительной составляющей е вектора скорости V. В реальных условиях таким возмущением может быть ветер или управляющее

воздействие. Рассмотрим случай, когда вектор s лежит в вертикальной плоскости, направлен горизонтально и имеет модуль, изменяющийся по гармоническому закону s = sm sin Qt *. Тогда в уравнениях (1)

u2 = (u + s sin 6)2 + (v + s cos6 + r)2;

f v + s cos 9 + r ^

a = arctg - .

\ u + s sin 9 J

Вынужденные колебания геометрически неизменяемой модели ПС и модели ПС с шарнирно подвешенным грузом под действием такого возмущения исследовались в монографии [1]. Используем ту же методику для анализа вынужденных колебаний модели ПС с упругими стропами. Составим систему упрощенных нелинейных уравнений возмущенного движения ПС, приняв, что в невозмущенном движении купол ПС движется поступательно с постоянной скоростью V00 и постоянным углом атаки a = an, а груз (с координатами x = x *; y = 0) относительно купола не перемещается. Будем считать, что в возмущенном движении

u = cosa + X; v = sin a + x2; r = x3; 9 = x4; ц = x5; Vj = x6; x = x* +x7; y = x8; a = an + x9. Рассматривая колебания ПС в диапазоне частот основного резонанса, представим искомое решение в виде

xi = x¡o + xü; xü = A¡ sin(Qt * +9i); i = 1, . . . ,9. (2)

После гармонической линеаризации нелинейной функции См = См (а) запишем систему упрощенных нелинейных уравнений возмущенного движения ПС в операторной форме (ап8+ьп)х!+ь12х2 + ЬзХ+ЬбХ+ь^х? = о;

а228Х2 + (а238 + Ь23)Х3 + Ь24Х4 + Ь26Х6 + Ь28Х8 + Ь^ + ^^ = 0 ; а328х2 + (8 + Ь33 )Хз + Ь34Х4 + Ь3бХб + Ь38Х8 + Ь39(1о + 1X91) = 0; 8X1 + (8 + Ь45)Х5 + Ь47Х7 = 0;

8Х2 + а538Х3 + Ь54Х4 + (8 + Ь56)Х6 + Ь58Х8 = 0 ;

8Х4 - Х3 = 0;

8х7 - х5 = 0; 8Х8 - Х6 = 0

С С

где алл = а„ = у,; Ь,, = —— соба ; Ь,, = —™эта ; Ь„ =

^ 11 22 ' 1 ' 11 ^ п ' 12 ^ п ' 13

С

V к

Т0 У1

Б1п а ;

п ?

Ь15 = —-; Ь17 = -;—I1 - е1 + е1еь); а 23 = У2; Ь23 = у>со8ап;

11+ц

%(1 -ц); Ь26 =-^; Ь28 = --^(1 -е1 + е,еВ); Ьм = ^;

2к 1 + ц 1 + ц 2к

С

а32 = У 3; Ь33 = У 3со8 а п; Ь34 = ^Т1(1 -ц)5 с ; Ь36 = -2ц^лев(5ве-+5вев);

21

Ь38 = -2ц^л[5в(1 - е1 + е1еВ) + 5ве1еве-]; Ь39 =1; Ь45 = ; Ь47 = 2^(1 - е1+е1е2);

а 53 = х*; Ь 54 = СТ0(1+Ц1); Ь56 = 2^еВ; Ь58 = 2^(1 - е1+е1еВ); 2к

а

ь

т г У00

- . . ; е — . . ; — . . ■

тТ

у2 ' ь 1* ' 1 1*'

И* - х* -1Е; 1* -у/(И*)2 + Ь2 ; СТо -(Ст ),

Т / а-ап ?

10Д- коэффициенты гармонической линеаризации функции См - См(а)

Например, при Ск = С1 а + с2 а3; с < 0; с2 > 0;

30 = С2

2 2 3 3 2

2апХ90 + 3аПХ20 + Х90 + ^ (аП + Х90 )А2

3 = С2

2 3 2 3 2

2(аП + 3аПХ90 + ^ Х20) + ^ А2

2

(3)

Полученные уравнения распадаются на две системы, которые соответствуют постоянным и переменным составляющим искомого решения (2). Из системы для постоянных составляющих находим

2 3 2

(аП + Х90 )(Х20 + 2апХ90 +^ А2 ) - 0-

Отсюда определяем значения смещения центра колебаний х

90

(ХоД --а ; --а ±-/а2 -3А2 .

V 90/1 п? V 90/2,3 п п ^ 9

(4)

Учитывая, что

х9 «(х2 + е + Х)соБа - х ^ а,

представим систему для переменных составляющих таким образом

(§1208 + §12)Х21 + (§1308 + ё13)Х31 + §15Х51 + §17Х71 + (ёк^ + §19)Х91 - 0 ; ё>220^Х21 + (ё>230^ + ё23)Х31 + ё>24Х41 + ё>26Х61 + ё>28Х81 + ё>293Х91 - 0 ;

§320^Х21 + О + ё33)Х31 + В34Х41 + §36Х61 + §38Х81 + §393Х91 - 0 ;

1

1

*

§420ВХ21 + §430ВХ31 + (В + §45 )Х51 + §47Х71 + (§490В + §49 )Х91 0 ; ВХ21 + §530ВХ31 + §54Х41 + ^ + §56)Х61 + §58Х81 = 0 ;

ВХ41 Х31 = 0 ;

ВХ71 Х51 = 0;

ВХ81 - Х61 = 0 (5)

Здесь §120 = а11§1 ; §1=с!§ап; §12=Ь11§1 + Ь!2 ; §ш = -§120 ; §13 = Ь13 - Ь11§1 ;

§15 = Ь15 ; §17 = Ь17 ; §190 =-а11§2 +еш(§120^ с0вф9 - Ьц^п БШ ф9)/(А9^;

§19 =-Ь11§2 +еш(§120^втф9 + Ьпс1§апС08ф9)/А9; §2 ^^тап; §19 =-Ь11§2 ;

§220 = ^22 ; §230 = ^23 ; §23 = Ь23 ; §24 = Ь24 ; §26 = Ь26 ; §28 = Ь28 ; §320 = ^32 ;

§33 = Ь33 ; §34 = Ь34 ; §36 = Ь36 ; §38 = Ь38 ; §39 = Ь39 ; §420 = §1 ; §430 = -§1;

§45=Ь45 ; §47=Ь47 ; §490 = -§2 + (§18т С0^9 ) / А9; §49 = (§1^8ш ^ ф9)/А?;

§530 = а53 ; §54 = Ь54 ; §56 = Ь56 ; §58 = Ь58 •

Системе (5) соответствует характеристическое уравнение

Б(Б) +10» = 0, (6)

8 7

8-у . г \ X""1 ~7-у

где Б(8) = ^ Бу в8-у; о(в) = ^ О у В7

V ? V / / ; у

у=0 у=0

Подстановка б = в уравнении (6) приводит к системе, которая с учетом равенств (3) и (4) позволяет рассчитывать значения амплитуды А9 и фазы ф9, соответствующие заданным значениям частоты & искомых периодических колебаний. Так как характеристическое уравнение (6) имеет 8-ой порядок, то определение значений амплитуды А9 и фазы ф9, соответствующих значениям

частоты Q, и анализ устойчивости колебаний удобнее проводить с помощью построений на комплексной плоскости [2].

Библиографический список

1.Чуркин В.М. Динамика парашютных систем на этапе спуска. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2008. - 184 с.

2. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных атоматических систем. - М.: Физматгиз, 1960. - 792 с.